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최근 수정 시각 : 2022-04-21 00:13:54

최소공배수

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1. 개요2. 찾는 법3. 성질4. 증명5. n 이하의 모든 자연수의 최소공배수6. 관련 문서

1. 개요

· least common multiple, LCM

초등학교 5학년 때 약수(divisor or factor)와 배수(multiple)를 배운 뒤에 최대공약수 (greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. 공배수(common multiple)란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수(least common multiple)는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math(a,b)]의 최소공배수를 기호로 [math(\text{lcm}\left(a,b\right))] 혹은 [math(\text{LCM}\left(a,b\right))]로 표기하며,[1] 더욱 줄이면 [math(\left[a,\,b\right])]로 표기하기도 한다.[2]

간혹 최공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문. 마찬가지로 최공약수 또한 어떤 수 집합이든 무조건 1이므로 의미가 없다.

2. 찾는 법

예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 예로 60갑자는 10갑(갑을병정...)과 12자(자축인묘...)의 조합을 의미하는 것으로, 60가지의 조합이 있어 60갑자라고 부르는 것이다. 이처럼 최소공배수는 나열에 해당하는 경우의 수를 구할 때 사용한다. 같은 방법으로 세 수 이상의 최소공배수도 구할 수 있다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,
[math(10=2\cdot5)]
[math(12=2^2\cdot3)]
이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[3] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

위에서 봤듯이 최소공배수는 대수학적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 특수함수에 속한다.

최대공약수 [math(\gcd)]를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다:
[math(\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)})]

단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 순환논법이 될 수 있음을 주의해야 한다.

세 수 이상의 최소공배수를 구하려면 다음과 같이 함수를 계속 취해주면 된다.
세 수 [math(a,\,b,\,c)]에 대해서
[math(\mathrm{lcm}(a,\, b,\, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,\, b),\, c) \equiv \dfrac{| abc |}{\gcd\left( \frac{| ab |}{\gcd(a,\,b)},\, c \right)})]
이 성립한다.

3. 성질

두 정수 [math(a,b)]에 대하여,
  1. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab)]
  2. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab)]
  3. [math(a\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
  4. [math(b\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
최대공약수는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.

4. 증명

1. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m)], [math(n)]에 대해 [math(a=Gm,b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, lcm[math(\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab)]

2. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m,n)]에 대해 [math(a=Gm)], [math(b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab)]

5. n 이하의 모든 자연수의 최소공배수

<colbgcolor=#CEF>n <colbgcolor=#EEE>n 이하의 모든 자연수의 최소공배수
3 6
4 12
5 60
6
7 420
8 840
9 2,520
10
11 27,720
12
13 360,360
14
15
16 720,720
17 12,252,240
18
19 232,792,560
20
21
22
23 5,354,228,880
24
25 26,771,144,400
26
27 80,313,433,200
28
29 2,329,089,562,800
30
31 72,201,776,446,800
32 144,403,552,893,600
33
34
35
36
37 5,342,931,457,063,200
38
39
40

6. 관련 문서



[1] [math(\text{lcm})]은 least common multiple의 줄임말 [2] 다만 [math(\left[a,\,b\right])]은 폐구간 표현과 겹치므로 사용에 주의할 필요가 있다. [3] 2는 중복되는 소인수인데, 12쪽의 2가 차수가 크므로 그 차수만큼(2번) 곱해준다. 콩까지마