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특수함수 Special Functions |
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| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
1. 개요
Möbius function뫼비우스 함수는 수론적 함수로, 다음과 같이 정의된다.
[math(\mu(n)=\begin{cases}1&(n=1)\\(-1)^{\omega(n)}&(n\;{\sf is\;square\;free\;integer})\\0&({\sf otherwise})\end{cases})][1]
정의역은 [math(\mathbb{N})]이며, 주로 정수론에서 사용된다.
1.1. 예시
[math(\mu (1))] = [math(1)][math(\mu (7))] = [math(-1)]
[math(\mu (45))] = [math(0)]
[math(\mu (30))] = [math(\mu (2 \times 3 \times 5))] = [math((-1)^3)] = [math(-1)]
[math(\mu (144))] = [math(0)] [2]
2. 성질
• 곱셈적이지만 완전 곱셈적은 아니다.[3]
• [math(\displaystyle\sum_{d|n}\mu (d)=[\frac{1}{n}]=\begin{cases} 1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases})]
• [math(f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}g(d))]이면, [math(g(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d}))][4]
• [math(\mu(n)\mu(n+1)\mu(n+2)\mu(n+3)=0)][5]
• [math(\displaystyle\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d})]
• [math(\displaystyle\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})\tau(n)=1)][6]
• [math(\displaystyle\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})\sigma(n)=n)][7]
정수론이 아니라 대수학에서도 자주 쓰이는데, 소수 [math(p)]와 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 정수체 [math(Z_{p}\left[x\right])] 상에서의 [math(n)]차 모닉 기약다항식[8]의 개수는 다음 관계가 있다.
• [math(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(d)p^{\frac{n}{d}})]
• [math(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(d)p^{\frac{n}{d}})]
[1]
[math(\omega(n))]은
소인수 계량 함수
[2]
제곱 인수가 있으므로 0이 된다.
[3]
즉 [math((m,n)=1)]이면 [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이지만, [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이 언제나 성립하지는 않는다. 예를 들어 [math(\mu(2)\times\mu(2)=1)]이지만 [math(\mu(2\times2)=0)]이다.
[4]
이를 뫼비우스 반전공식이라 하며,
디리클레 합성곱을 통해 유도할 수 있다.
[5]
연속된 4개의 자연수에는 반드시 4의 배수가 있기 때문.
[6]
[math(\tau(n))]은 약수의 개수
[7]
[math(\sigma(n))]은 약수의 합
[8]
해당 체에서 인수분해되지 않는 기약다항식 중에서도 최고차항의 계수가 1인 다항식. 예를 들어서 유리수체 [math(\mathbb{Q})] 위에서 [math(x^2-2=0)]은 인수분해되지 않는 기약 다항식이지만, [math(\mathbb{Q})]에 [math(\sqrt{2})]를 추가하여 확장한 [math(\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right])] 위에서는 [math(x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}))]로 인수분해되어 기약 다항식이 아니다.