1. 개요
Stark-Effekt · Stark 效 果독일의 물리학자 요하네스 슈타르크(Johannes Stark; 1874-1957)가 발견한 효과로, 외부의 전기장에 의해 원자나 분자의 방출 스펙트럼이 여러 개로 분화되거나 움직이는 현상이다. 전기장 속에 수소 광원을 놓을 때 수소 원자의 스펙트럼 선이 갈라지는 현상을 요하네스 슈타르크가 관측함으로써 처음 밝혀졌다.
2. 상세
전기 쌍극자 모멘트 [math(\mathbf{p})]를 가진 물질이 외부 전기장 [math(\pmb{\mathscr{E}})]에 놓이게 될 경우 그 물질의 에너지는 [math(\displaystyle V=-\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \pmb{\mathscr{E}} )]만큼 변하게 된다. 이때, [math(\mathbf{p})]가 회전 운동에 의하여 평균화되거나 전기 쌍극자 모멘트를 가지지 않는 물질에서도 외부 전기장의 영향으로 분극이 유도되는데, 이를 1차 슈타르크 효과라 한다. 이후에 해당 효과로 인해 생성된 분극이 외부 전기장과 상호 작용하여 물질의 에너지 변화가 발생하는데, 이를 2차 슈타르크 효과라 한다.슈타르크 효과가 일어날 때, 선 스펙트럼이 움직이는 양을 슈타르크 이동이라 하고, 갈라진 정도를 슈타르크 분리라 한다.
3. 수소 원자에 대한 슈타르크 효과
간단한 논의를 위해 수소 원자가 [math(\mathbf{e}_{z})]방향, 크기가 [math(\mathscr{E})]인 균일한 전기장 영역에 있다고 가정하자.이 경우 수소 원자에 대한 해밀토니언은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &=\biggl[ \frac{\mathcal{P}_{r}^{2}}{2 \mu}+\frac{L^{2}}{2\mu r^{2}}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\frac{e^{2}}{r} \biggr]+e \mathscr{E}z \\ & \equiv \mathcal{H}^{(0)}+\mathcal{H}' \end{aligned})]
으로 쓸 수 있다. [math(z)]는 구면 좌표계에서 [math(z=r\cos{\theta})] 형태로 쓸 수 있음을 참고한다.
만약 장의 크기가 그리 크기 않다면, 시간에 무관한 섭동 이론을 쓸 수 있다.
이 문단에서는 수소 원자의 고유 상태 [math(\varphi_{nlm_{l}}=|n,\,l,\,m_{l} \rangle)]의 디랙 표기법을 사용하여 표현하였다.
3.1. 바닥 상태
우선 [math(n=1)]인 상태에 대하여 적용해보자.[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{1}^{(1)}&= \langle 1,\,0,\,0|\mathcal{H}'|1,\,0,\,0 \rangle \\ &=e \mathscr{E} \langle 1,\,0,\,0 | z |1,\,0,\,0 \rangle \\&=0 \end{aligned})]
따라서 1차 보정 에너지는 없다. 다만, [math( \langle 1,\,0,\,0|\mathcal{H}' | n,\,l,\,m_{l} \rangle )]값이 항상 0이 아님에 유의하여야 한다. 따라서 2차 보정 에너지는
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{1}^{(2)}&=e^{2}\mathscr{E}^{2} \sum_{n \neq 1}\sum_{l,\,m}\frac{|\langle 1,\,0,\,0|z | n,\,l,\,m_{l} \rangle|^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{n}^{(0)}} \neq 0 \end{aligned})]
으로 바닥 상태에서도 에너지 변화가 일어나게 된다. 한편, 다음을 만족한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} |E_{1}^{(2)}| < \frac{8}{3}a_{0}^{3}\mathscr{E}^{2} \end{aligned})]
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3.2. 들뜬 상태
이번엔 [math(n=2)]인 상태에 대해 적용해볼 것이다. 불행히도 [math(n=2)]의 경우 축퇴가 되어있다. 따라서 축퇴 섭동 이론을 사용하여야 한다.서로 축퇴된 에너지를 갈라지게 하는 기저를 구성하기 위해 다음의 영년 방정식을 고려하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}
\langle 2,\,0,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,0,\,0 \rangle -E' & \langle 2,\,0,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,1 \rangle & \langle 2,\,0,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,0 \rangle & \langle 2,\,0,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,-1 \rangle\\
\langle 2,\,1,\,1 |\mathcal{H}'| 2,\,0,\,0 \rangle & \langle 2,\,1,\,1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,1 \rangle-E' & \langle 2,\,1,\,1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,0 \rangle & \langle 2,\,1,\,1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,-1 \rangle\\
\langle 2,\,1,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,0,\,0 \rangle & \langle 2,\,1,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,1 \rangle & \langle 2,\,1,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,0 \rangle-E' &\langle 2,\,1,\,0 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,-1 \rangle \\
\langle 2,\,1,\,-1 |\mathcal{H}'| 2,\,0,\,0 \rangle & \langle 2,\,1,\,-1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,1 \rangle & \langle 2,\,1,\,-1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,0 \rangle &\langle 2,\,1,\,-1 |\mathcal{H}'| 2,\,1,\,-1 \rangle-E'
\end{vmatrix}=0 \end{aligned})]
이때, 위 영년 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\mathbb{E} \equiv -3e \mathscr{E} a_{0} \end{aligned})]
라 하면 다음과 같이 단순한 꼴로 바뀌어진다.
[math(\displaystyle\begin{vmatrix}
-E' & 0 & -\mathbb{E} & 0\\
0 & -E' & 0 & 0\\
-\mathbb{E} & 0 & -E' & 0\\
0&0 &0 & -E'
\end{vmatrix}=0 )]따라서
[math(\displaystyle E'=\begin{cases}
\mathbb{E} \\
0 \\
-\mathbb{E}
\end{cases} )]
이므로 [math(E_{2})] 상태는 3가지의 경우 [math(E_{2}^{(0)}+\mathbb{E})], [math(E_{2}^{(0)})], [math(E_{2}^{(0)}-\mathbb{E})]로 갈라진다.
이제 각 에너지에 대한 고유 상태를 찾아보자. 우선 다음과 같이 두자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi=a| 2,\,0,\,0 \rangle +b| 2,\,1,\,1 \rangle+c| 2,\,1,\,0 \rangle+d| 2,\,0,\,-1 \rangle \end{aligned})]
각각의 계수를 찾으려면 다음의 연립 방정식을 풀면된다.
[math(\displaystyle\begin{bmatrix}
-E' & 0 & -\mathbb{E} & 0\\
0 & -E' & 0 & 0\\
-\mathbb{E} & 0 & -E' & 0\\
0&0 &0 & -E'
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\
b\\
c\\
d
\end{bmatrix}=0)]
이상의 결과를 도식화 하면 다음과 같다.
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