아인슈타인 표기법

상대성 이론 Theory of Relativity
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1. 개요2. 규칙3. 기타4. 예시5. 관련 문서

1. 개요

Einsteinsche Summenkonvention / Einstein 表記法

아인슈타인 표기법 또는 아인슈타인 합 규약은 주로 상대성 이론에서 사용되는 선형대수학의 표기를 쉽게 하기 위해 알베르트 아인슈타인이 1916년에 고안해낸 표기법이다.[1] 논문에서 명시된 것은 1916년 3월 작성된 일반 상대성 이론의 첫 리뷰 논문 "일반 상대성 이론의 기초"[2]에서 처음 확인되지만, 비공식적으로는 이미 1916년 1월부터 이 표기법을 쓰고 있었다. # ("코멘트: 나는 언제나 합 기호를 생략하네. 두 번 등장하는 첨수는 항상 더해줘야 돼.")

2. 규칙

예를 들어, 다음과 같은 [math( 3 \times 3 )] 행렬 [math( \mathrm{A} )]와 [math( 3 \times 1 )] 행벡터 [math( \mathbf{x}, \mathbf{y} )]를 생각하자.

[math( \mathrm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} , \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} )]

(단, [math( x^i )]는 x의 i제곱이라는 뜻이 아니고 그냥 첨자를 위에 붙인 것이다.)

이때 행렬곱을 이용한 식 [math( \mathbf{y} = \mathrm{A} \mathbf{x} )]를 성분별로 표시하고 싶다면, 다음과 같은 식으로 표현하면 된다.

[math( \displaystyle y_i = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x^j \quad (i = 1,2,3))]

예를 들어, [math( i = 2 )]일 때 [math( y_2 = a_{21} x^1 + a_{22} x^2 + a_{23} x^3 )]이다. 여기서 아인슈타인 합 규약의 핵심은 시그마 기호와 [math( (i=1,2,3) )]를 생략하는 것이다. 상대성 이론의 수식들은 이러한 합 기호가 너무 많이 등장해서 일일이 다 쓰기에는 시간낭비이기 때문이다. 따라서 아인슈타인 합 규약을 이용하여 위 식을 쓰면 다음과 같다.

[math( \displaystyle y_i = a_{ij} x^j )]

이렇게 하면 행렬곱을 문자 단 3개와 첨자로 짧게 나타낼 수 있으며, 시그마 기호는 생략되어 있다. 구체적으로 아인슈타인 합 규약의 규칙은 다음과 같다.

하나의 항 안에 같은 문자로 된 위 첨자와 아래 첨자가 존재한다면(예: [math( a_i b^i )]), 합 기호 [math( \displaystyle \sum_{i=1}^3 )]가 생략된 것으로 본다. 이러한 문자 [math( i )]를 dummy index라고 한다.
하나의 항 안에 위 첨자와 아래 첨자가 짝을 이루지 않고 하나만 존재한다면(예: [math( x_i = y_i )]), 이는 [math( i=1,2,3 )]을 대입해서 만들 수 있는 3개의 등식을 한번에 쓴 것이다. 이러한 문자 [math( i )]는 free index라고 한다.

또한 규칙에 따르면 [math( y_k = a_{ij} x^j )]와 같은 식은 문자가 좌변에 k, 우변에 i로 서로 다르므로 의미가 없다. 따라서 free index는 양변에 같이 존재해야만 한다.

3. 기타

상대성 이론에서는 보통 첨자를 알파벳으로 쓰면 1~3까지 더하고, 그리스 문자 첨자는 0~3까지 더하는 것을 의미한다. 따라서 [math( a_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 )]이지만 [math( a_\mu b^\mu = a_0 b^0 + a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 )]이다.
미분연산자의 분모에는 위 첨자가 들어가더라도 아래 첨자로 간주한다. 예를 들어 [math( \displaystyle a^i \frac{\partial}{\partial x^i} )]는 분모에 [math(i)]가 위 첨자로 들어가 있지만 [math( i )]에 대한 합을 계산해야 한다.[3]

반변벡터는 주로 위첨자, 공변벡터는 주로 아래첨자를 사용한다. 좌표값들로 이루어진 위치 벡터는 반변벡터에 속하므로 상대론에서는 좌표의 첨수를 주로 위에 쓰게 된다.

이 표기법의 영향으로 크리스토펠 기호는 처음에 [math(\left\{ij\atop k\right\})]라 쓰다가 현재는 [math(\left\{k\atop ij\right\})] 또는 [math(\Gamma^{k}_{ij})] 등으로 쓴다.

파이썬 패키지 NumPy에서 {{{#!syntax python

np.einsum
}}}으로 사용 가능하다.

4. 예시

내적: [math(\mathbf{a \cdot b} = \langle {\bold a}, {\bold b} \rangle = a^i b_i)][4]

연쇄법칙: [math(\dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}x^i} \dfrac{{\rm{d}}x^i}{{\rm{d}}t})]

5. 관련 문서

아인슈타인 방정식

[1] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf [2] A. Einstein (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik; Volume 354, Issue 7: 769-822 https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/312 [3] 이는 contravariant(위 첨자)에 대한 미분 그 자체는 covariant(아래 첨자)로 볼 수 있기 때문이다. [4] 왼쪽 두 개는 보통 수학계 선형대수학에서 내적을 나타내는 방식이다. 물리학에서 내적은 아인슈타인 표기법보다는 폴 디랙이 고안한 표기인 [math(left< a|b right>)], 즉 '브라켓'이라고 불리는 표기법을 쓰는 경우가 훨씬 많다.