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수 체계

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수 체계
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1. 개요2. 상세3. 종류
3.1. 자연수
3.1.1. 범자연수3.1.2. 소수3.1.3. 초자연수(슈타이니츠 수)
3.2. 정수3.3. 유리수3.4. 무리수3.5. 실수3.6. 복소수
3.6.1. 허수3.6.2. 환원 불능
4. 기타 수 체계
4.1. 사원수와 팔원수4.2. 유한 체4.3. p진 정수, p진 유리수4.4. 이원수4.5. 분할복소수
4.5.1. 허수단위 i, 멱영원 ϵ, 멱일원 j의 특수한 성질
4.6. 가우스 정수4.7. 아이젠슈타인 정수4.8. 기수4.9. 서수4.10. 초실수4.11. 초현실수4.12. 각종 대수 구조
5. 여담6. 둘러보기 틀

1. 개요

수학에서 다루는 수들의 체계.
복소수
실수 허수
유리수 무리수
정수 정수가 아닌 유리수 비순환소수 대수적 무리수 초월적 무리수
범자연수 음의 정수 분수
자연수 0 순허수 순허수가 아닌 허수
양의 정수
1 소수 합성수 유한소수 순환소수 이진분수(또는 이진유리수)

2. 상세

기본적으로 수 체계에 요구되는 성질들이 있는데, 덧셈과 곱셈이라는 연산이 잘 정의되어야(well-defined) 하며[1], 그 원소의 수가 무한해야 한다.[2] 그리고 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 사이에는 분배법칙이 성립해야 한다.

집합론이 수학의 베이스가 되면서, 오늘날에는 딱히 수 체계를 특별취급하지는 않는다. 모든 수 체계는 결국 집합일 뿐이며, 그 수 체계를 이루는 수 역시 집합일 뿐이다.

다만, 자연수, 정수, 실수체계 등은 역사적으로 중요하게 취급되었고, 연구도 많이 된 상태이기 때문에 집합론 안에서 집합을 이용하여 그 구조를 그대로 재현하여 자연수, 정수, 실수라 정의하여 사용하며, 그동안의 연구결과들도 집합론의 언어에 맞춰 재현시켜 쓰고 있다 보면 된다. 대수학에서 배우는 반군, 군, 환, 체 등은 이러한 수 체계의 성질만을 추상화시켜 뽑아다가 정의한 구조체라 볼 수 있다. 역시 뭐 특별한 게 아니고 대부분 다 집합으로 정의된다.[3]

현대 수학에선 자연수가 모든 수의 시작이다.[4] 즉, 자연수로부터 차곡차곡 쌓아올라가 정수, 유리수, 실수, 그리고 복소수 순으로 만들어 수 체계가 생성되는 것이다. 이러한 체계는 근대와 현대에 걸친 대수학과 해석학의 눈부신 발전이 이뤄낸 성과 중 하나라고 볼 수 있다.

중요한 점은, 아래 구성방법은 대학 수학과 학부과정에서 표준적으로 쓰이는 하나의 '예시'라는 점이다. 집합론에서 수 체계들은 동형사상(isomorphism)[5]을 제외하고 유일하다. 이 말인즉슨, 아래 구성된 수체계들과 동형사상 관계인 모든 구조들 역시 수체계라는 것이다. 즉, [math(\{0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\})]뿐만 아니라 그것과 같은 구조를 갖는 [math(\{aaa,\,aaaa,\,aaaaa,\,\cdots\})] 도 마찬가지로 자연수라 할 수 있다.[6] 뿐만 아니라, 굳이 집합론 안에서만 정의가 가능한 것도 아니다. 범주론을 통해서도 자연수를 구성할 수 있고, 유형 이론으로도 구성이 가능하다.

또한, 페아노 산술(Peano arithmetic)[7]로 자연수를 구성할 경우, 자연수 구조는 더이상 유일하지 않고, 여러가지 비표준적인 모델이 등장한다. 게중에는 실수처럼 셀 수 없는 자연수 모델도 있다.

수 체계 집합의 기호는 보통 칠판체를 사용한다.

3. 종류

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범자연수 [math(\mathbb N_0)]
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3.1. 자연수

natural number

[math(1)], [math(2)], [math(3)], [math(4)] 등 정수 중에서 양의 정수만을 의미하며, 가장 간단한 수의 집합이다. 기호 표현으로는 첫 글자를 따서 [math(\N)]으로 쓴다. 경우에 따라서는 양의 정수라는 뜻에서 [math(\Z^+)]라 표현하는 경우도 있다.

모든 것의 시작. 집합론을 빼면, 수학의 시작은 사실상 여기다. 자연수가 없으면 그게 과연 수학일까?[8] 그렇다 보니, 자연수는 구성하는 것이 아니라 정의하는 것이라고 보는 편이 낫겠다. 자연수 집합은 일단 페아노 공리를 만족시키는 집합으로 정의되는데, 자세한 건 자연수 문서 참고. 참고로 이러한 정의는 단지 정의일 뿐이지, 자연수 집합의 존재를 보장해 주진 않는다. 그 존재성은 다른 방법으로 보장되어야 하는데, 물론 이는 집합론 수준의 이야기이다. 현재 가장 널리 받아들여진 ZFC 공리계[9]는 이러한 집합의 존재를 보장해 준다. 따라서 수학자들은 안심하고 자연수를 쓸 수 있는 것이다. 단, ZFC만으로는 구체적으로 어떠한 집합이 자연수 집합인지는 알 수 없다. 자연수 집합에 대한 일반적인 정의는 ZFC 공리계 문서의 무한공리 문단 참고.

자연수의 모든 성질들은 페아노 공리들로부터 도출된다. 일단 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 이끌어낼 수 있으며, 덧셈과 곱셉의 정의를 도입하면 이 연산들이 닫혀 있고 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙, 분배법칙 등을 만족시킨다는 걸 이끌어 낼 수 있다. 이로부터 알 수 있는 건, 자연수 집합이 덧셈과 관하여 반군, 곱셈에 관하여 항등원이 있는 모노이드를 이룬다는 것이다.[10] 참고로, 페아노 공리를 그대로 따르는 자연수 집합엔 [math(0)], 즉 덧셈의 항등원이 존재하지 않는다.

3.1.1. 범자연수

범자연수는 [math(\N_0 = \{ 0,~1,~2,~3,~\ldots\})]으로 정의되는 집합이다.[11] 영어로는 whole numbers라고 한다.

존 폰 노이만의 방식을 따라 공집합을 [math(0)]으로 정의하고 [math(1=\{0\})], [math(2=\{0,1\})], ...식으로 정의하기도 한다. 자연수가 페아노의 공리를 만족시키는 모든 집합인 것은 맞지만 오직 "양의 정수"의 집합 [math(1,\,2,\,3,\,4,\ldots)] 등만이 자연수가 될 수 있는 것은 아니다. 즉, '양의 정수만을 의미하며'라는 구문은 약간 어폐가 있다.

간단한 예로 [math(0)]을 포함한 [math(0,\,1,\,2,\,3,\ldots)] 또한 자연수의 집합이 될 수 있고, 심지어 [math(-1,\,0,\,1,\,2,\ldots)] 게다가 [math(-1/2,\,1/2,\,3/2,\ldots)]또한 자연수의 집합이 될 수 있다. 자세한 것은 자연수 문서 참고. 하지만 보통 자연수로부터 정수, 유리수, 실수, 복소수 등을 만들어낼 때에는 [math(1,\,2,\,3,\ldots)] 인 경우(혹은 처음부터 [math(0,\,1,\,2,\,3,\ldots)]인 경우)만 생각한다. 물론 그 외에도 별다른 이야기가 없으면 [math(\{1,\,2,\,3,\ldots\})]을 자연수 집합이라고 말하는 것이 보통이다.[12]

3.1.2. 소수

' 소수'가 아닌, '소쑤'라고 읽어야 하며, 과거에는 '솟수'라고 표시했다.

[math( \mathbb{P} = \{ 2,~3,~5,~7,~\cdots \})]처럼 약수가 1을 제외하고 하나뿐인 자연수 집합.
파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 소수(수론) 문서
를
의 번 문단을
의 부분을
참고하십시오.

3.1.3. 초자연수(슈타이니츠 수)

에른스트 슈타이니츠(Ernst Steinitz)가 체론에 대한 작업의 일환으로 만들었다. 모든 소수에 대한 형식곱으로 정의되며, 정의가 형식곱인 이상 이항연산은 곱셈에 대해서만 정의가 된다.

3.2. 정수

Integer

[math(n)]이 자연수일 때, [math(n+x=0)][13]을 만족시키는 모든 [math(x)], 모든 [math(n)], [math(0)]을 통틀어 '정수'라고 한다. 그리고 특정 [math(n)]에 대한 [math(x)]의 표기를 [math(x=-n)]으로 한다.

정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, [math(\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \} )]를 음의 정수라고 한다. [math(0)]은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞글자에서 따온 [math( \mathbb{Z} )]를 사용한다.

하지만 조금만 깊게 들어가면 수학전공 쪽에는 아예 '정수론' 이라는 과목이 따로 있을 정도로 복잡해지며, 수학이란 학문이 정수 체계만 가지고도 어디까지 괴상한 짓을 할 수 있는지 보여준다. 공부하는 입장에선 정수론과 해석학이 같은 학문이란 게 믿겨지지도 않을 정도로 느낌이 다른데, (해석학이 엄정한 알고리즘과 연역적 정의에 의해 돌아간다면 정수론은 딱 두뇌퍼즐 느낌이다) 그 둘이 해석적 정수론 같이 서로 엮이기 때문에 어느 한쪽을 소홀히 할 수가 없다.

자연수로부터 정수를 엄밀하게 만들어내는 건 말처럼 쉽지가 않다. 하지만 그냥 뭉뚱그려 설명하자면 다음 한마디로 끝나버린다. "자연수 집합에 덧셈의 항등원([math(0)])을 추가하여[14] 가환 모노이드(commutative monoid)[15]를 만든 다음, 이 모노이드로부터 만들어진 그로탕디에크 군(Grothendieck group)을 정수라고 정의한다.[16] 그로텐디크 군을 통해 정수를 만드는 과정을 최대한 간단하게 설명하자면 이렇다.
  1. 두 자연수의 순서쌍들 [math(\left(a, b\right))]와 [math(\left(c, d\right))]가 다음을 만족시키다고 할 때, 이 둘을 같다고 친다.[17]
    [math(a + d = b + c)]
  2. [math(\left(a, b\right))]와 [math(\left(c, d\right))]의 덧셈을 [math(\left(a + c, b + d\right))]로, 곱셈을 [math(\left(ac + bd, ad + bc\right))]로 정한다.[18][19]
  3. 이러한 '변형된' 동치류(이 순서쌍)들의 집합이 바로 정수.

위에서 설명한 두 순서쌍 사이의 동치관계는 결국 [math(\left(a, b\right))]의 차와 [math(\left(c, d\right))]의 차가 동일하다, 즉 [math(a-b=c-d)]를 나타낸 것이다.

과정 중에 나오는 이름에서도 알 수 있듯이, 정수는 덧셈에 관하여 군, 그것도 교환법칙이 성립하므로 가환군이다. 사실상 모든 군 중에서 가장 기본적인 녀석들 중 하나. 다만 곱셈에 대해선 모노이드[20]이지만 군은 아니다. 이때 정수는 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이룬다. 덧붙여서, 여기까지만 해도 정수론에 필요한 모든 기본적인 성질들[21]을 유도할 수 있다.

3.3. 유리수

Rational number

실수 중에서도, [math(p/q)] ([math(p,q)] 는 정수([math(q\ne 0)]))꼴로 나타낼 수 있는 수들의 집합을 의미한다. 원래 어원상 유리수가 맞지만 rational의 수학적 의미는 '비율이 있는'이므로 유비수[22]가 맞다는 주장도 존재. [math(q)]가 [math(1)]이냐 아니냐에 따라서 정수와 '정수가 아닌 유리수' 로 구분한다. 기호표현으로는 [math(\mathbb{Q})] 이다.

유리수는 그냥 정수의 분수체(field of quotient)로 정의된다. 간단히 말하자면 이렇게 만들어지는 집합.
  1. 두 정수의 순서쌍들 [math(\left(a, b\right))]와 [math(\left(c, d\right))][23] 다음을 만족시킨다고 할 때 이 둘이 같다고 친다(…).[24]
    [math(ad = bc)]
  2. [math(\left(a, b\right))]와 [math(\left(c, d\right))]의 덧셈을 [math(\left(ad + bc, db\right))]로, 곱셈을 [math(\left(ac, bd\right))]로 정의한다.[25]
  3. 이러한 '변형된' 순서쌍들의 집합이 바로 유리수가 된다.

즉, [math(\left(a, b\right)\sim\left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc)]로 동치관계를 정의하게 되면 '변형된 순서쌍' [math(\left(a, b\right))]이 사실 분수 [math({a \over b})]에 대응하는 것이다. 예를 들어보자면 [math({1 \over 2}, {2 \over 4}, {3 \over 6},\cdots)] 이러한 분수들은 [math(\left(1, 2\right), \left(2, 4\right),\left(3, 6\right), \cdots)] 이러한 순서쌍의 형태로 표현되고, 동치관계에 의하여 [math({1 \over 2}, {2 \over 4}, {3 \over 6},\cdots)]들은 동치류(여기까지는 아직 같은 수가 된 건 아니다)가 되며 그 동치류들의 대표원으로 [math({1 \over 2})]을 사용하겠다는 것이다. 정확하게는 동치류의 대표원이면 [math(\left[{1 \over 2}\right])]라고 표현해야 하겠지만 지금까지 사용해왔던 관점을 존중하여 [math({1 \over 2})](흔히 말하는 기약분수)로 쓰겠다는 것이다. 사실 정수를 만드는 것과 대동소이 하므로 여기까지는 의무교육 때 졸지만 않았다면 쉽게 따라 올 수 있다. 다만 실수는 전혀 만만치 않은데, 복소수의 경우는 오히려 벡터공간이라 생각하면 이해가 쉬운 게 아이러니.

참고로 유리수 집합은 표수가 [math(0)]인 가장 작은 체이다. 그래서 소체(prime field)라고 한다.

재밌는 사실은 자연수 집합과 정수 집합, 그리고 유리수 집합은 그 크기(cardinality)가 동일하다. 이 말은 이들 집합 간에 일대일 대응(bijection)이 존재한다는 뜻. 기묘해 보일 수도 있겠지만, 사실. 이것 때문에 게오르크 칸토어는 모든 무한집합이 다 같은 크기를 가진다는 추측을 했다고 카더라. 하지만 칸토어는 그 추측이 틀리다는 걸 나중에 밝혀내는데...

3.4. 무리수

irrational number

제곱근이 들어가는 숫자들,[26][27] 원주율 [math(pi)], 자연로그의 밑 [math(e)] 등이 대표적인 예이다. 간단하게 실수 중에서 유리수인 것들을 제외하고 남은 것들이다. [math(\frac pq)] 꼴로 표현할 수 없기 때문에 순환하지 않는 무한 소수가 된다. 기호 표현으로는 [math(\mathbb{Q}^{\sf c}\cap \R)] 또는 [math(\R \setminus \mathbb{Q})]. 'irrational'의 첫 글자를 이용해 [math(\mathbb{I})] 로 표기하기도 한다.

유리수보다는 무리수가 훨씬 더 많으며, 무리수의 바다에 가끔씩 유리수가 떠 있다고 이해하면 쉽다.

실수는 유리수를 포함하는 더 큰 집합인만큼 훨씬 더 다양한 수들을 포함하고 있다. 그중 유리수가 아닌 수들을 가리켜 무리수라고 부른다. 대표적인 예로 [math(\sqrt2)], [math(\pi)], [math(e)]. 무리수들은 다시 대수적 무리수[28]와 초월수로 나뉘는데, 간단하게 말해 이들을 분류하는 기준은 이들을 근으로 가지는 정수 계수 방정식이 존재하느냐 마느냐이다. 예컨대 [math(\sqrt2)]는 [math(x^2-2=0)]의 근으로 대수적인 수이나, [math(\pi)]는 대수적인 수가 아니라는 게 밝혀졌다. 마찬가지로 초월수가 대수적 수보다 훨씬 많다.

3.5. 실수

Real number

완비순서체(Complete ordered field)라는 말로 요약할 수 있다.[29] 기호 표현으로는 [math(\R)]. 앞에서 그랬듯이, 모든 완비순서체는 실수와 동치이다.

실제 현존하는 수라는 의미다. 거리, 시간과 같이 우리가 일상에서 접하는 (주로 물리적 실체와 관련된) 수는 실수다. 실수체계는 수직선 상에 점을 찍을 수 있는 수를 실수라고 생각하면 이해하기 쉬우며 어느 점을 찍더라도 유리수 혹은 무리수이다. 제곱해서 0보다 크거나 같은 수가 나오는 수이다. 다만 유리수보다는 무리수의 수가 훨씬 더 많다. 유리수는 셀 수 있을 정도로 많다면 (countably infinite) 무리수는 셀 수 없을 만큼 많다 (uncountably infinite). 실수를 이용하여 수직선을 채울 수도 있다.

실수를 도입하는 방법에는 크게 두 가지 방법이 있다. 첫째는 구성적 방법으로 페아노 공리계에 의해 자연수를 정의하고 정수를 거쳐, 정수의 분수체로 유리수를 구성하고 유리수계의 결함을 보완하기 위해 실수계를 구성하는 방법이다.[30] 둘째는 공리적 방법으로 자연수를 페아노 공리계에 의해 인정했듯이, 실수도 공리적으로 인정하자는 관점이다. 어떤 공집합이 아닌 집합 위에 덧셈과 곱셈이라는 연산이 정의되어 있고, 그 집합이 체의 공리, 완비성 공리, 순서공리의 세 공리들을 만족시킨다고 할 때, 그 계를 실수라고 정의하는 것이다.

실수계를 구성적 방법으로 도입하는 것은 매우 어려운 일이다. 이에 대한 자세한 설명은 해당 문서 참조.

3.6. 복소수

Complex number

실수 계수 방정식들 중엔 근이 없는 방정식이 있다. 대표적인 예가 [math( x^2 + 1 = 0 )]. 이들 방정식도 근을 갖도록 실수를 확장한 것[31]이 바로 복소수. (이때 생겨나는 수가 바로 허수이다.) 기호 표현으로는 [math(\mathbb{C})].

대수적으로 닫혀있는(Algebraically closed) 수 체계이다.[32] 실수와 허수를 아울러서 포함한다.

복소수의 가장 강력한(!) 특징 중 하나는 바로 복소수 계수의 모든 방정식이 근을 가진다는 것. 이를 가리켜 대수학의 기본정리라고 부른다.[33] 또한 [math(e)]와 자연 로그를 이용한 무궁무진한 활용[34]이 있어 공돌이들의 구원자(…)라고도 불린다. 한편, 다양한 수학분야에서 대수적으로 닫힌(algebraically closed), 즉 그 안의 모든 방정식이 근을 갖는 체는 굉장히 유용한데, 일단 복소수 체라는 강력하고도 익숙한(?) 녀석이 있으니, 이름에 비해서 여러모로 유용한 물건이다.[35]

사원수 이상의 수에 대해 배우지 않는 이상, 우리가 일상생활에서 어떤 수를 만나든 모두 이 복소수 내에 포함된다. (예를 들어, 숫자 [math(3)]은 복소수 내의, 실수 내의, 유리수 내의, 정수 내의, 자연수 내의 무한한 수들 중 하나일 뿐이다.)

[math( z = a+bi )]([math(a,b \in \mathbb{R})], [math( i=\sqrt{-1} )]) 꼴로 나타내어지며, [math(b=0)]이면 실수, [math(a=0)]이면 순허수이다.

이원수의 [math(\epsilon)]과 마찬가지로, 허수단위 [math(i)]역시 2×2실행렬에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( i = \left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right) )]

2×2 행렬로 표기시는 다음처럼 표기된다.
[math( z=a+bi = \left(\begin{array}{cc}a \quad b \\ -b \quad a\end{array}\right) )]

이 표기에 익숙해지면 왜 복소행렬에서 켤레 전치가 실행렬의 전치를 대체하는지, 복소수체 [math(z = a+bi)]와 [math( j=-i)]를 이용해 정의한 복소수체 [math(\bar{z}=a+bj)]를 구별하는 것이 왜 어려운지[36] 등을 알게 된다.

복소수 [math( z = a+bi )] 에 대해 유일하게 켤레수가 대응되는데 [math(z)]의 켤레복소수는 [math( \bar{z} = a-bi )] 이다. 둘을 곱하면 [math( z \bar{z} = a^2 + b^2 )] 로, [math(z)]의 크기의 제곱이 된다.[37]

복소수체계의 특성상 실수범위 내에서는 잘 되던 사칙연산의 일부, 미분, 적분 등등이 괴상하게 돌아가기 때문에 심히 까다로워서[38] 고등학교 과정에서는 1학년 때 맛보기만 살짝하고 넘어간다. 특히 정의역이 복소수인 함수( 복소함수)는 짤없이 고교 교육과정 외.[39] (치역이 복소수인 함수라면 [math(n)]차방정식 단원에서 분명히 다룬다.)

3.6.1. 허수

Imaginary number.

1572년 라파엘 봄벨리가 실수로는 나타낼 수 없는 이차 방정식의 근을 나타내기 위하여 수의 개념을 확장하여 정의했다. 간단히 생각해서 [math(x^2 = -1)] 을 풀어보려고 추가한 것이라 이해하자.

단순하게는 허수단위 [math(i)]([math(=\sqrt{-1})]) 가 보이면 허수이다. 물리학이나 공학등에서는 [math(i)]는 허수단위 이외에도 상당히 많은 용도가 있기 때문에[40] 헷갈리는 것을 방지하기 위해 [math(j)]로 표기하는 경우도 있다.

[math(z = a+bi)] ([math(a,b\in\mathbb{R})], [math(b\ne 0)])[41]꼴로 나타내어지는데, 이중 [math(a=0)]인 경우에는 순허수라 부른다.

3.6.2. 환원 불능

복소수로 표현되지만 그 내용물은 실수인 꼴을 말한다. 삼차방정식, 삼각함수 등에서 환원 불능 꼴의 해를 볼 수 있다.

4. 기타 수 체계

여기서부터는 흔히 다루지 않는 체계이다.

4원수 이상의 수 부터는 교환법칙마저 잘 성립하지 않기 때문에 일반인은 이해하기 어렵다.

4.1. 사원수와 팔원수

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복소수까지 구성하는 게 보통이지만, 맨 위에서 언급한 사원수(quaternion)도 있고, 심지어 팔원수(octonion), 십육원수(sedenion)도 있다.

사원수에서는 [math( i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1)] 이 성립하는 3개의 단위 [math(i,\,j,\,k)] 가 추가된다. 이 사원수의 가장 중요한 특징은, 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다는 점이다. 즉, 두 사원수 [math(a)], [math(b)] 에 대해서 [math(ab = ba)] 라고 쓸 수 없다.[42] 예를 들어 [math(ij = k\ne -k=ji)]이다.
<colbgcolor=#f5f5f5,#2d2f34> [math(a \times b)] [math(b)]
[math(1)] [math(i)] [math(j)] [math(k)]
[math(a)] <colbgcolor=#f5f5f5,#2d2f34> [math(1)] [math(1)] [math(i)] [math(j)] [math(k)]
[math(i)] [math(i)] [math(-1)] [math(k)] [math(-j)]
[math(j)] [math(j)] [math(-k)] [math(-1)] [math(i)]
[math(k)] [math(k)] [math(j)] [math(-i)] [math(-1)]

사원수는 비행기의 자세 제어에 쓰일 수 있는데, 오일러가 만든 오일러각을 이용하여, 3차원 회전을 사원수 곱셈으로 표현이 가능하다. 하지만 사원수 계산의 난해함으로 인해서 도태되었다가, 컴퓨터가 발달한 현재는 모든 계산을 컴퓨터를 이용해서 처리 가능하므로 3차원 그래픽에서 다시 각광받게 되었다. 이에 관해서는 네이버캐스트에 유용한 글이 있으므로 참고하자.

16원수, 32원수, 64원수 등, 이론상 무궁무진하게 만들어낼 수도 있지만 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 확장될수록 교환법칙, 결합법칙과 같은 당연하게 여겨졌던 법칙들이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다. 예를 들어 16원수는 [math(||a\cdot b||\neq||a||\cdot||b||)]가 되어 버려서 노름이 보존되지 않는다.

4.2. 유한 체

대학교 수학 과정을 밟으면 아주 기괴한 수 체계를 만날 수 있다. 바로 유한 체(finite field)라는 것인데, 일단 그 베이스는 소수 [math(p)]에 대하여 집합 [math(\{0,\,1,\,2,\,\cdots,\,p-1\})]이 통상적인 덧셈과 곱셈에 [math(bmod ,p)]를 취해서 나온 연산에 대하여 닫혀 있으며, 이들 연산은 하나의 제대로 된 환을 이루고, 심지어 [math(0)]을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가진다.[43][44] (예컨대, [math(p = 7)]일 때 [math(3 * 5 (=15) \equiv 1 \pmod p)]이므로, [math(3)]의 역원은 [math(5)]이며, [math(5)]의 역원은 [math(3)]이다.) 이를 보고 정신 나간 수학자들은 아예 이러한 집합을 체로 보겠다고 한다! 즉, 저 집합에 나누기를 도입하자는 것이며, 그게 잘 작동한다는 말. 어떻게 보면 대담한 발상이기도. 역시 쓸모가 있으니까 배우는 것일텐데, (그것도 학부 과정에서 말이다) 결과적으론 쓰임새가 미친듯이 많다. 정수론에서 거의 처음부터 배우는 건 물론이고, 가장 쉽고 단순한 첫 번째 유한 체라는 독보적인 위치 때문에 대수학에서도 엄청난 위상을 발휘하고 있다. 일단 이런 정수에서 파생된 유한 체에서 파생된 체와 유리수를 베이스로 두는 무한 체의 경우로 나눠서 설명하는 경우가 많으니...[45] 대개 유한 체를 대수적으로 확장한 (algebraic extension) 경우를 많이 생각하며, 일단 이런 유한 체를 포함하는 대수적으로 닫혀 있는 체(algebraically closed field)가 존재하니,[46] 여러모로 무시 못할 분야...

4.3. p진 정수, p진 유리수

대학교 수학 과정에서 배우는 기괴한 수 체계들 중에는 유한 체 외에도 [math(p)]진 정수([math(p)]-adic integer)와 [math(p)]진 유리수([math(p)]-adic rational)가 있다. [math(p)]진 정수들의 환(보통 [math(\mathbb{Z}_{p})]라고 쓴다)은 여러 가지 방법으로 정의가 되는데, 그 중 하나는 [math(\lim \mathbb{Z}/\left(p^n\right)\mathbb{Z})], 즉 [math(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})]의 inverse limit으로 정의하는 방법이다. 이렇게 정의된 환 [math(\mathbb{Z}_{p})]의 분수체, 즉 [math(\text{Frac}\left(\mathbb{Z}_{p}\right))]가 바로 [math(p)]진 유리수들의 체로 정의되고, [math(\mathbb{Q}_{p})]라고 쓴다. 매우 쓸모없어 보이는 정의인데, 정수론 분야에서 쓸모가 아주 많다. [math(p)]진 정수를 사용하지 않는 정수론 교재를 보기 힘들 정도. 게다가 이 괴상한 체를 사용해서 해석학을 전개하는 [math(p)]-adic analysis라는 분야도 있다! 여러모로 신기한 분야이다.

4.4. 이원수

Dual number
복소수와 유사한 것으로 이원수(Dual number)라는 것도 있다. [math( a+b\epsilon)]형태로 표현되며 [math( \epsilon^2 = 0 \left(\epsilon \ne 0\right) )]으로 정의된다. 생긴 건 복소수랑 비슷하게 생겼지만 성질은 꽤나 다르다. 간단히 [math( \left(a+b\epsilon\right)^2 )] 만 계산해 보아도, 상당히 특이한 결과가 나옴을 알 수 있다.

[math( \left(a+b\epsilon\right)^2 = a^2 + 2ab\epsilon )] 이고, [math( \left(a+b\epsilon\right)^3 = a^3 + 3a^2b\epsilon )] 이 된다. 임의의 정수 n에 대하여 [math( \left(a + b\epsilon \right)^n = a^n + na^{n - 1}b\epsilon)] 이 된다.

참고로, 사원수는 복소수의 확장이지, 이원수의 확장은 아니다.

와닿지도 않고 다룰 가치가 있는 건지 의심이 갈 수도 있지만, 이런 [math( \epsilon )]을 행렬을 이용하면 명시적으로 표현할 수 있다.

[math( \epsilon = \left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 0 \quad 0\end{array}\right) )]

일반 실수 [math(r)]을 [math(rI)]([math(I)]는 2×2 단위행렬)에 대응시키는 사상을 생각하고 여기에 [math(\epsilon )]를 추가시켰다고 보면 된다. 즉 [math( a+b\epsilon = \left(\begin{array}{cc}a \quad b \\ 0 \quad a\end{array}\right) )]

이원수를 복소수와 조합하여 새로운 수 체계(사실상 2×2 실행렬을 허수단위를 이용해서 표현한 것에 불과하지만)를 만들 수 있는데 이는 이원복소수(dual complex numbers, [math(a + bi + c\epsilon + di\epsilon )] die로 표현된다.)라고 부른다.

사원수와 조합하여 만들어지는 이원사원수(dual quaternions, [math(q_r + q_d\epsilon)], [math(q_r, q_d)]는 사원수)수 체계는 특정 조건 하에서 3차원 상의 회전과 이동을 동시에 표현하고 연산할 수 있으며, 컴퓨터 그래픽스에서 종종 활용된다.

여담이지만 [math( a+b\epsilon)]은 [math(a\neq 0)]라는 조건에서 가환환을 이루기 때문에 역수(곱셈역원)를 이원수체 내에서 정의하면,
[math(\left( a + b\epsilon \right)^{-1} = \dfrac{\overline{ a + b\epsilon }}{ \left( a + b\epsilon \right) \overline{ a + b\epsilon } } = \dfrac{\overline{ a + b\epsilon }}{ a^2 } = \dfrac{ a - b\epsilon }{ a^2 })]

이 된다.

[math(\epsilon^x)] 에서 [math(x < 0)]인 경우는 정의되지 않으며[47], [math(x \ge 2)]인 경우에는 그 값은 0이다.

4.5. 분할복소수

Split-complex number

쌍곡선 복소수라고 생각하면 쉽다.

이원수와 마찬가지로 [math( a+bj)] 형태로 표현되며 [math(j^2 = 1 \left(j \ne \pm 1\right))] 으로 정의되는 수 체계. 여기서의 [math(j)]는 사원수의 [math(j)]와는 전혀 다른 허수단위이다.

위의 이원수와 합쳐서 고급 수학을 배우려는 아해들을 멘붕시키는 주범. 그냥 이원수처럼 2×2실행렬로 치환해서 풀자.

[math( j = \left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ 1 \quad 0\end{array}\right) )]을 쓰면 된다.

4.5.1. 허수단위 i, 멱영원 ϵ, 멱일원 j의 특수한 성질

[math(f(x)=e^{x})]라고 할 때, [math(x)] 대신 허수단위 [math(i)], 멱일원 [math(j)], 멱영원 [math(\epsilon)]을 대입하면 다음 관계가 성립한다. 정확하게는 [math(\displaystyle f(x)=e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}})]에 대입한다.

4.6. 가우스 정수

4.7. 아이젠슈타인 정수

4.8. 기수

Cardinal
집합의 크기를 표현하기 위해서 자연수를 확장한 수 체계이다. 유한집합의 크기는 자연수에 대응되지만, 무한집합의 크기를 표현하기 위해서 초한기수라는 것을 도입한다.

4.9. 서수

Ordinal
순서를 가진 집합(well ordered set)의 크기를 표현하기 위해서 자연수를 확장한 수 체계이다. 기수와 마찬가지로 유한집합은 자연수에 대응되지만, 무한집합의 경우는 상당히 복잡한 체계를 가진다. 서수(수학) 문서 참고.

4.10. 초실수

Hyperreal numbers

초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]란, 무한소를 포함하며, [math(\mathbb{R})]에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 [math(\mathbb{R}^{*})]에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 [math(\mathbb{R}^{*})]에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 [math(\mathbb{R})]에서도 만족시키는 [math(\mathbb{R})]의 확대 체(extension field)이다.

초실수체 문서 참조

4.11. 초현실수

Surreal numbers
무한대와 무한소를 하나의 수로 취급한다는 점에서 초실수와 유사하지만, 집합이 아닌 전순서 모임(totally ordered proper class) 이다.

서수(초한서수)와 유사점이 많으며, 실수를 확장한 것이므로 실수와는 다르다.

무한대를 [math(\omega )], 무한소를 [math(\epsilon )] 으로 표기하며, [math(2\omega )], [math(\omega -1)], [math(\omega /2)], [math(\omega ^2)], [math(\sqrt{\omega })] 또는 [math(2\epsilon )], [math(\epsilon -1)], [math(\epsilon /2)], [math(\epsilon ^2)], [math(\sqrt{\epsilon })] 같은 것도 다 정의되고, [math(\omega +\epsilon )], [math(\omega -\epsilon )] 같은 것도 얼마든지 정의된다. 또한, 어느 두 수를 선택하여도 대소 관계가 성립한다.

무한대가 존재하는 이런 수 체계에서도 '가장 큰 수'는 여전히 정의되지 않는다. 당연한 게, 모든 수에 대해서 '임의의 정수배'나 [math(n+1)]을 할 수 있는 시점에서 '가장 큰 수'가 있을 수가 없기 때문이다.

4.12. 각종 대수 구조

수 체계를 일반화하여 대수 구조를 수 체계로 볼 수도 있다.

대표적인 대수 구조로는 군, 환, 체, 벡터 공간 등이 있다.

5. 여담

몇몇 수 체계에 특화된 학문이 있다.

6. 둘러보기 틀

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[1] 모든 원소에 대해 연산이 성립할 때 '잘 정의되었다' 고 한다. [2] 아닌 경우도 있다. 페이지 맨 아랫부분 참고. 물론 논쟁의 소지가 있다. [3] 군, 환, 체 등을 고교 때 배우는 나라들도 몇몇 있다. 하지만, 공학을 중시하는 한국에서는 아무래도 이런 종류의 지식보다는 공학과 더 가까운 미적분 관련 테마를 더 중시하는 듯하다. [4] 애초부터 수학의 최하단 베이스인 집합을 정의할 때조차도 기본적으로 자연수 집합, 혹은 페아노의 공리들을 만족시키는 집합의 존재가 보장되도록 정의해야 한다. [5] 보통 대수를 상상하겠지만, 집합론에서 보다 일반적인 동형사상이 존재한다. 물론, 그다지 차이는 없고 모든 연산자뿐 아니라, 관계에 대해서도 조건을 충족시켜주면 된다. [6] 두 대상이 동형이면(둘 간에 동형사상이 존재할 때) 보통 수학자들은 그냥 동일한 것으로 본다. 동형사상을 '이름 바꾸기'라고 부르기도 한다는 점을 보면 된다. [7] 페아노 공리계의 '약한' 조건. [8] 쿠르트 괴델의 불완전성 정리는 자연수 체계를 포함하는 수학 체계만 다루는 정리이다. [9] '집합은 이거다'라고 딱 정해주는 것쯤으로 보면 된다. 눈치챘겠지만, 집합을 정해주는 공리계는 ZFC만 있지 않다. 다만 ZFC가 그중 가장 널리 쓰이는 체계이며, 사실 어느 공리계든 자연수 집합의 존재성을 보장해 주는 건 변치 않는다. [10] 집합이 해당 연산에 대해 닫혀 있고 그 연산이 그 집합 안에서 결합법칙을 만족시키면, 그 집합을 '반군'이라고 부른다. 덧붙여서, 해당 연산에 대한 항등원(identity)이 존재하면 그 집합을 모노이드라고 부르며, 거기다가 그 집합의 모든 원소가 해당 연산에 대한 역원(inverse)을 가진다면 비로소 그 집합은 군(대수학)이 된다. [11] 어디까지나 비공식적으로 널리 쓰일 뿐이지, 대한수학회 확인 결과 정식적으로 번역된 용어가 없으므로 유의할 것. [12] 그리고 페아노의 공리를 만족시키는 다른 집합들은 단순히 자연수 집합과 일대일 대응이 있다고만 말하는 것이 보통이다. 어느 방향으로 추상화를 하느냐에 따라 그 집합들을 자연수 집합과 동일시하고 다룰 수도 있고 그냥 크기만 같다는 것만 이용해 먹을 수도 있기도 하다. [13] 이때 [math(x)]를 '덧셈에 대한 역원'이라고 한다. [14] 이것도 쉬운 건 아니다. 일단 기존 덧셈과 잘 맞는가를 확인한 다음, 곱셈과의 관계도 면밀하게 확인해야 한다. [15] 덧셈에 대하여 교환 법칙이 성립하는 모노이드. [16] 아래의 방법에 따르면 굳이 [math(0)]을 추가한 모노이드를 이용할 필요도 없고, 그냥 자연수 집합으로만 만들어도 된다. 단지 표기의 편의 문제. 일단 저 아래에 양수, [math(0)], 음수를 어떻게 표기할 것인가를 생각해 보자. [17] 최대한 간단하게 설명하고자 애매한 표현을 썼다. 정확한 표현을 쓰고자 한다면 동치관계(equivalent relation)와 동치류(equivalent class)를 이용해야 하는데, 이것들은 집합론 용어들이다. [18] 엄밀하게는 이 연산이 잘 정의된 연산임을 확인해야 한다. [19] 여기서 곱셈을 정의하는 방식은 원래 그로텐디크 군을 만드는 과정에 없는 내용이다. 정수를 구성하기 위해 특별히 도입된 것. [20] 어떠한 정수이든 정수 1을 곱하면 자기 자신이 되니까. 물론 이것도 정수의 곱셈 정의를 통해 증명할 수 있다. [21] 나머지 정리라든가 음수 곱하기 음수가 양수인 것 등등 [22] 아리스토텔레스가 무리수란 단어를 만들때만 해도 ratio-란 어근은 '합리적인'이란 뜻 뿐이었으나 기원전 4세기에 활동한 에우독소스가 비율이란 뜻을 추가하면서 대차게 꼬여버렸다. [23] 단 여기서 [math(b)]와 [math(d)]가 [math(0)]이어서는 안 된다. [24] 위와 같은 이유로 이런 표현을 쓴다. [25] 정수 과정에서도 언급했듯 이 연산들이 잘 정의되어 있는가를 확인해야 한다. 또한, 자세히 보면 이 연산들은 사실 [math({a \over b})]와 [math({c \over d})]의 덧셈(= [math({ad + bc \over bd})])과 곱셈(= [math({ac \over bd})])을 추상화한 것이다! [26] 숫자가 정수인 경우에는 소수, 소인수분해 했을 때 지수가 홀수인 수만 포함. [27] [math(\sqrt4)]와 같이 근호 안의 수가 1, 4, 9, 16, 25 등과 같은 제곱수인 경우는 유리수이다. [28] 유리수도 대수적인 수이다. [29] 순서(ordered)는 대소관계를 비교할 수 있다는 뜻이고(복소수는 순서가 없다.) 장체(field)는, 0을 제외하곤 곱셈에선 역이 존재하며, 덧셈에선 군의 형태를 가진다는 것이고(유리수, 복소수도 이 성질은 만족시킨다), 완비(complete)는 점점 가까워지는 수열은 모두 수렴한다는 뜻으로 유리수와 실수를 구분짓는 결정적인 단서이다. 이에 대한 엄밀한 표현은 실해석학 책을 찾아볼 것(...) [30] 이 방법의 하나로 데데킨트 절단(Dedekindscher Schnitt)이 있다. [31] 그 확장 방법을 크로네커 확장(Kronecker extension)이라고 부른다. 일단 수학과에서 다루는 개념 정도로 알면 된다. [32] '연산에 대해서 닫혀있다'는 말과는 다르다! 대수적으로 닫혀있다는 뜻은 대수적 확대체에 대해서 닫혀 있다는 뜻이다. 다르게 말하자면 복소수를 대수적으로 확대해도 결국 복소수가 나온다는 말. 대수적 확대 같은 걸 무슨 말인지 알아먹게 설명하기 위해선 문서 하나 정도의 설명이 필요한데, 그냥 이와 동치인 말로 설명하자면 복소수를 계수로 갖는 모든 다항방정식은 복소수 내에서 적어도 하나의 근을 가진다는 뜻이다. [33] 다만 실수의 구조 문제로 인하여 해석학이 동원되어야 증명되는 정리. 즉 '대수학'만으로 증명되는 정리가 아니란 뜻. 크게 두 가지 증명 방식이 있는데, 하나는 복소해석학을 이용한 증명, 그리고 또 하나는 갈루아 이론과 중간값 정리를 활용한 증명. [34] 일단 다루기 까다로운 삼각함수들을 다루기 쉬운 지수함수로 바꾼다는 점에서 이미 엄청나다. [35] 여담으로, 유리수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체가 복소수 체만 있진 않다. 사실, 유리수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체들 중에서 가장 작은 체는 따로 있으며, 복소수 체는 그러한 체들 중에서 상당히 큰 녀석. 물론 복소수 체는 그 가장 작은 체를 포함한다. [36] 복소수가 순서체가 아님을 증명할 때 [math(i)]를 양수라 가정하면 [math( j=-i)]도 양수가 되어 모순을 보이는 등으로 이용할 수 있다. [37] 즉 복소수 [math( a+bi )] 의 "크기"는 [math( \sqrt{a^2 + b^2} )]가 되는데, 고등학교 교육과정을 배운 사람들은 허수는 대소비교가 안 될 텐데?라고 반문할 수 있을 것이다. 복소수의 크기는 복소수를 평면으로 강제로 표현한 복소평면의 개념이 들어간다. (고등학교 교육과정에 없다.) 쉽게 말해서, 실수부분 a를 x축에, 허수부분 b를 y축에 나타낸 것이라고 생각하면 된다. 그러면 [math( a+bi )]는 순서쌍 [math( (a, b) )]에 대응되며, 이때 그 점에서 "원점까지의 거리"를 복소수의 크기로 정의하면 위와 같은 결과를 얻는다. 사실 여기서 언급되는 복소수의 크기는 "복소수의 절댓값"의 정의와 같다. [38] 다만 그 괴상함의 원리를 터득하는 순간 실함수의 미적분까지 매우 편해진다. [39] 대표적으로 삼각함수는 복소수가 들어가면 쌍곡함수로 바뀌는데, 고교 과정에서는 쌍곡함수는 다루지 않게 되었다. [40] 공학 분야의 복소수 전류 등 [41] [math(b=0)] 이면 실수 [42] [math(a)] 나 [math(b)] 가 실수인 경우에는 등호가 성립되지만, 일반적인 사원수에 대해서는 성립되지 않는다. [43] 소수가 [math(1)]과 자기 자신을 제외한 다른 약수를 가지지 않는다는 성질에 기인한다. [44] 대수학을 배웠다면 이 상황에서 역원이 유일하다는 걸 기억해낼 수도 있겠다. [45] 정확하게 표현하자면, characteristic [math(0)]인 경우(유리수에 베이스를 둔다)와 characteristic [math(p)]인 경우([math(p\ne 0)]. 즉 유한 체에 베이스를 둔다)로 나눠서 다룬다고 표현한다. [46] 이인석, '대수학' 참고. 아예 대학원 과정인 Lang의 'Algebra' 같은 책을 읽는 것도 좋겠다. [47] [math(\epsilon^{-1})]인 경우부터가 분모를 유리화하려고 하면 [math(\dfrac \epsilon {\epsilon^2} = \dfrac \epsilon 0)]이 되어버리기 때문이다.

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