|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
|
이산수학 Discrete Mathematics |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" |
이론 | |
| <colbgcolor=#3CC> 기본 대상 | 수학기초론( 수리논리학 · 집합론) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률 | |
| 다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수열 | 등차수열( 뛰어 세기) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의( 점화식) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수 | |
| 조합 | 경우의 수( 공식) · 순열( 완전순열 · 염주순열) · 치환 · 분할( 분할수) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론 | |
| 그래프 | 수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기( 해밀턴 회로) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 | |
| 기타 | P-NP 문제미해결 · 4색정리 · 이항정리( 파스칼의 삼각형) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설미해결 · 콜라츠 추측미해결 · 시행착오 ( 예상과 확인) · 불 논리 · 브라에스 역설 | |
| 관련 문서 | 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 | }}}}}}}}} |
1. 개요
더블카운팅(Double Counting)은 조합론에서 어떠한 등식을 증명할 때 양 변의 의미가 같음을 밝힘으로써 식의 값도 같다고 증명하는 것이다. 즉, 하나의 집합을 두 가지의 방법으로 셀 수 있다는 것을 통해 두 식이 같음을 증명하는 방법이다.예를 들면 다음 등식은 더블카운팅을 이용해 증명할 수 있다.
[math(2+4+6+···+2(n-1)=n(n-1))] [출처]
위 문제의 증명과정은 다음과 같다.1부터 [math(n)]까지의 자연수중 서로 다른 두 수를 뽑아 만든 순서쌍의 집합을 [math(S_{n})]이라고 하자.
곱의 법칙에 따라 [math(S_{n})]의 원소의 개수는 [math(n(n-1))]이다.[이유]
또한 집합 [math(S)]의 순서쌍중 큰 수가 [math(i)]인 순서쌍의 개수는 [math(2(i-1))]개이다. 왜냐하면 순서쌍 [math((x,y)~~({\sf where}~x>y))]에서 [math(x=i)]며 [math(x>y)]이므로 가능한 자연수 [math(y)]는 [math(i-1)]개이다. 한편 [math((x,y))]와 [math((y,x))]의 개수는 같으니 [math(S_{x})]의 원소의 개수를 [math(2+4+6+···+2(n-1))]로도 쓸 수 있다.
결국 좌변과 우변 모두 집합 [math(S_{n})]의 원소의 개수를 구하는 방법이라고 할 수 있다. 즉 두 식의 의미가 같으니 두 식의 값도 서로 같을 수밖에 없다. 따라서 등식이 증명된다.
이렇게 증명하기 어려워 보이는 문제도 더블카운팅을 이용해 쉽게 증명할 수 있다. 그렇기 때문에 더블카운팅의 포인트는 주어진 식을 다른 각도에서 다른 문제로 생각해보는 창의력이 중요하다고 할 수 있다.곱의 법칙에 따라 [math(S_{n})]의 원소의 개수는 [math(n(n-1))]이다.[이유]
또한 집합 [math(S)]의 순서쌍중 큰 수가 [math(i)]인 순서쌍의 개수는 [math(2(i-1))]개이다. 왜냐하면 순서쌍 [math((x,y)~~({\sf where}~x>y))]에서 [math(x=i)]며 [math(x>y)]이므로 가능한 자연수 [math(y)]는 [math(i-1)]개이다. 한편 [math((x,y))]와 [math((y,x))]의 개수는 같으니 [math(S_{x})]의 원소의 개수를 [math(2+4+6+···+2(n-1))]로도 쓸 수 있다.
결국 좌변과 우변 모두 집합 [math(S_{n})]의 원소의 개수를 구하는 방법이라고 할 수 있다. 즉 두 식의 의미가 같으니 두 식의 값도 서로 같을 수밖에 없다. 따라서 등식이 증명된다.
가령 위의 예시 문제에서 등식에서부터 자연수의 집합과 이를 2개씩 뽑아 만든 집합의 개수를 구하는 문제를 생각해내지 못하면 더블카운팅을 쓸 수 없다.
참고로 위의 예제는 이항정리의 특수한 케이스로, 아래의 식으로 정의된다:
[math(\displaystyle \sum_{p=q}^{n} \binom{n}{p} \binom{p}{q} = 2^{n-q} \binom{n}{q} )]
[math(\binom{p}{q})]는 조합이다.
2. 유용성
개요에서 보았듯이 도대체 양변이 어떤 관련이 있는 등식이지? 란 생각이 들때 돌파구가 되어줄 수 있다. 또한 문제 자체를 다르게 보는 창의력이 상당히 요구되기 때문에 KMO 등 외부 수학 경시대회에서도 종종 출제된다.
[출처]
문제 출처: 올림피아드 프라임 조합I
[이유]
집합 [math(S)]의 순서쌍은 자연수 n개중 1개를 뽑고 이어 n-1(이미 뽑힌 한개 제외)개중 1개를 뽑아 만들어지기 때문이다.