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수와
연산 Numbers and Operations |
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暗算 / mental arithmetic
1. 개요
숫자를 쓰는 등의 작업 없이, 오직 머릿속에서만 계산을 하는 것이다. 암산을 하는 테크닉은 다양한 방법이 있다.2. 암산 기술
2.1. 필산식
머리 속에서 아라비아 숫자를 써가면서 하는 암산 방법.2.2. 주판식
주판의 사용에 익숙해졌을 때 할 수 있는 방법. 머리속에 '가상의 주판'을 만들어놓고 가상의 주판을 움직여서 암산을 행하는 방법이다. 주판식 암산의 위력은 생각보다 굉장하다.필산식 암산의 경우 백의 자리만 암산해도 대단한 경우가 많은 반면, 주판식 암산의 경우에는 천의 자리 정도는 해야 좀 한다 하는 소리를 듣고, 잘한다 라는 소리를 들으려면 만의 자리 정도는 가뿐히 계산해 주어야 한다. 초등부 대회에서도 고난이도 레벨은 천의 자리를 넘어가는 경우가 흔하다.
장점으로는 주판을 까먹을 리가 없으므로 반영구적인 암산이 가능하며, 정수에 한해서는 연습량에 따라 한계가 없는 계산이 가능하다.
반면에 단점으로는 초기 주판을 외우는 시간이 오래 걸린다는 점이며, 필산식 암산이나 암기식 암산과는 달리 자릿수를 한자리씩 올리는 데 상당한 노력이 필요하다는 점이다. 또한, 나눗셈의 경우에는 약간 방식이 특이하여 전문적인 선생이 아닌 이상 추후에는 제각기 방식이 달라진다.
리처드 파인만의 경우는 주판식 암산은 손을 쓰는 테크닉에 불과하기 때문에 수를 이해하는 데는 큰 도움이 되지 않는다고 한다. [1]
2.3. 암기식
미리 다수의 계산값을 암기하여 암산에 응용하는 방법이다.- 구구단을 뛰어넘어 19×19단의 값을 외우는 19단을 강조하는 경우가 있다. 수학자 John Leslie는 25×25단을 외우는 것이 좋다고 주장했다.
- 로그표 : 리처드 파인만의 자서전 (Surely You are Joking, Mr. Feynman, 1985, Richard Feynman)에 따르면 노벨 물리학상 수상자 한스 베테는 로그표를 암기하여 곱셈을 쉽게 덧셈으로 바꿔서 풀었다고 한다.
- 마찬가지로 리처드 파인만은 각종 수의 루트값, 승수값, 로그값, 나눗셈값을 암기하여 활용하였다. 존 폰 노이만도 같은 방법을 썼다고 한다.
3. 단점
- 기억력에 크게 의존하기 때문에, 암산에 필요한 식을 잊어버리면 낭패다.[2]
- 풀이 과정이 시각적 기호(= 수식)상으로 명시되지 않기 때문에 풀이를 도중에 틀리기 쉽다.
- 풀이의 대상이 복잡하면 복잡할수록 손으로 푸는 것에 비해 시간 대비 효율이 떨어진다. 당장 3×3 행렬의 역행렬을 암산만으로 계산해 보라.[3][4][답]
4. 기타
- 서구권으로 유학간 동양인 학생들이 이 때문에 많은 컬쳐쇼크를 받는다. 서구권에서는 계산기를 사용해서 하나하나 다 계산하기 때문에 남들에 비해 매우 빠른 속도로 숙제나 과제를 끝내기 때문이다.[6] 서구권 대학에서 수학관련 교수들이 동양인이면 서양인 학생들이 수강하기 매우 꺼리는 수업 1순위. 그 이유는 수식을 하나하나 다 설명해서 진행하는 서양인 교수들과 달리, 동양인 교수들은 암산으로 계산해도 되는 부분들은 중간에 수식을 다 건너뛰면서 설명하기 때문이다. 같은 암산법을 배운 동양인 학생들은 어느 정도 따라가지만 그렇지 않은 서양인 학생들은 말그대로 죽을 맛.
- 가끔 미분방정식 같은 걸 암산하는 괴물도 있다.
5. 같이보기
[1]
실제로는 초등학교 저학년까지의 경우, 주산을 배우면서 보수의 개념과 곱셈, 나눗셈에 대한 새로운 방향에서의 개념이 잡히므로 도움이 안 될 수가 없을 것이다. 그러나 중학생 이상 정도의 수학 지식을 갖고 있는 경우 파인만의 말이 꼭 틀린 것만은 아니다. 주판은 어디까지나 자연수(그리고 소수점 아래 몇 자리 이내의 소수)만을 계산하려고 만든 도구이지, 수 체계 교육용 교구가 아니기 때문.
[2]
예능프로에서도 보면 알겠지만 '구구단을 외자' 게임만 하더라도 틀리는 경우가 많다. 물론 시간제이기때문에 시간에 쫓기는 점도 있겠지만 막상 풀려면 기억에 혼란이 생기기 때문이다.
[3]
참고로 3×3 행렬의 역행렬 공식은 [math(\displaystyle \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \quad x_{13} \\ x_{21} \quad x_{22} \quad x_{23} \\ x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \end{bmatrix}^{-1} = {1 \over x_{11}x_{22}x_{33} - x_{11}x_{23}x_{32} - x_{12}x_{21}x_{33} + x_{12}x_{23}x_{31} + x_{13}x_{21}x_{32} - x_{13}x_{22}x_{31}} \begin{bmatrix} x_{22}x_{33} - x_{23}x_{32} \quad x_{13}x_{32} - x_{12}x_{33} \quad x_{12}x_{23} - x_{13}x_{22} \\ x_{23}x_{31} - x_{21}x_{33} \quad x_{11}x_{33} - x_{13}x_{31} \quad x_{13}x_{21} - x_{11}x_{23} \\ x_{21}x_{32} - x_{22}x_{31} \quad x_{12}x_{31} - x_{11}x_{32} \quad x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21} \end{bmatrix} )] 이다(...). 다만, 실제로 3×3 행렬을 풀 때에는
가우스-조르당 소거법, 즉 3×3 항등행렬을 첨가해 3×6으로 만든 뒤 왼쪽 3×3 행렬을
기본행연산을 사용하여 항등행렬로 만드는 방법을 쓴다. 공식이 더 복잡하고 느리다!
[4]
예제를 들고 왔으니 직접 계산해 보아라.
[math(displaystyle begin{bmatrix} 1 & 19 & 37 \ 23 & 101 & 3 \ 7 & 41 & 31 end{bmatrix}^{-1} )]
[답]
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} -47/22 & -44/29 & 115/44 \\ 173/352 & 57/352 & -53/88 \\ -59/352 & -23/352 & 21/88 \end{bmatrix} )]
[6]
서구권에선 계산기를 써도 되는 대신에 계산 과정을 하나하나 다 적어야 한다. 사실 어느 나라던 기본적으로 수학, 과학, 공학 쪽은 이런 식으로 공부한다.