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수학기초론 Foundations of Mathematics |
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1. 개요
Gödel numbering논리식의 각 기호를 숫자로 대응시키는 전단사 함수, 또는 그러한 절차를 말한다. 쿠르트 괴델이 불완전성 정리를 증명하는 과정에서 각각의 논리식을 자연수에 일대일 대응시키기 위해 제안되었다.
2. 상세
각 부호에 1, 2, 3, ... 등의 자연수를 대응하고, 식의 위치에 2, 3, 5, ... 등의 소수를 대응시켜 소인수 분해를 이용해 pos1sign1pos2sign2...의 자연수에 논리식을 대응한다. 예를 들어, 1이 1, 2가 2, +가 3, =이 4의 값을 갖는다면, 1+1=2에 대응되는 자연수는 21335174112 = 78440670가 된다.| 숫자변수 | 속성 변수 | ... | |||||||||||||
| 상징 | 0 | s | ¬ | ∨ | ∀ | ( | ) | x1 | x2 | x3 | ... | P1 | P2 | P3 | ... |
| 숫자 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 11 | 13 | 17 | 19 | ... | 289 | 361 | 529 | ... |
예를 들면, Nagel과 Newman이 사용한 괴델 부호화에서 기호 "0"에 대한 괴델 수는 6이고 기호 "="에 대한 괴델 수는 5이다. 따라서 그들의 체계에서 공식
"0 = 0"의 괴델 수는 [math(2^6)] × [math(3^5)] × [math(5^6)] = 243,000,000이다.