0과 1 사이의 수

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 성질3. 이용4. 목록5. 관련 문서

1. 개요

the real numbers greater than 0 and less than 1

[math(x \in \mathbb{R}, 0<x<1)]로 정의되며 구간으로 표시하면 [math((0,1))]로 나타내어진다. 다른 표현으로 0 초과 1 미만의 수라고도 할 수 있다. 이 수를 특칭할 만한 용어는 아직까지 없다. 참고로 진분수(proper fraction)는 무리수를 포함하고 있지 않기 때문에 충분조건·하위개념에 지나지 않으며[1] 그 자체가 이 용어를 대변하기엔 좁은 개념이다. ' 확률값' 역시 0과 1을 포함([math(x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 1)])하고 있으므로 이 용어를 대변할 수 없으며, 말그대로 확률값으로 해석될 때가 아니고선 오히려 혼란을 줄 여지가 있다. 단위구간(unit interval)은 보통 0과 1을 포함하여 그 사이의 수로 이루어진 닫힌 구간이므로, '열린 단위구간(open unit interval)'을 이용하여 지칭할 수 있다.

사실 해당 용어가 없는 이유는 굳이 이름 붙일 필요가 없기 때문이다. 가령 "0과 1 사이의 임의의 수 [math(x)]에 대해 명제 [math(P(x))]가 성립한다"는 명제는 다음과 같이 적을 것이다.

임의의 [math(x\in(0, 1))]에 대해 [math(P(x))]가 성립한다.
[math(P(x))] holds for an arbitrary [math(x\in(0, 1))].
[math(\forall x \left(x \in \left(0,\ 1\right) \right) \Rightarrow P\left(x\right))]

이와 같이 구간 표현이라는 간명하고 널리 공유되는 표기 대신 굳이 새로운 이름을 붙이는 게 불필요하다. 입말로도 '0과 1 사이의 수'나 'a number between 0 and 1'은 다소 길긴 하지만, 이들이 이미 널리 쓰이는 중에 새로운 용어가 만들어진다고 하더라도 대다수의 사람들에게 새 용어가 퍼져 통용될 가능성은 거의 없다.

2. 성질

0과 1 사이의 수 [math(\psi)]의 성질은 다음과 같다.

[math(lfloor psi rfloor = 0)]

[math(\{\psi\} = \psi - \lfloor \psi \rfloor = \psi)]

[math(\lceil \psi \rceil = 1)]
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0)]
[math(\displaystyle \lim_{n \to -\infty} \psi^n = \infty)]
[math(displaystyle sumlimits_{n=0}^infty psi^n = frac{1}{1-psi})]
[math(\bold{1}_{\mathbb{N}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{Z}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{R}}(\psi) = 1)][2]
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln \psi)}{\ln \psi})][3]인 경우에만 수렴한다. 나머지 수에 대해서는 복소해석학을 이용해 해석적 확장을 해야 한다.]

3. 이용

지수함수, 로그함수에서 '밑'의 정의역으로 쓰인다. 지수함수에서는 밑의 정의역에 따라 치역의 증감이 달라지기 때문이다.

1보다 큰 수
0보다 크고 1보다 작은 수
0보다 작은 수 [4]

특히 지수함수의 경우 1인 경우는 [math(y=1)]이 되어 상수함수가 되고, 로그함수는 로그의 정의상 밑이 1이 될 수 없다.

비표준 해석학에서는 ' 무한소'라고 불리는, 0에 무한히 가까우면서도 0은 아닌 가상의 수를 정의해서 사용한다.

원뿔곡선 중 타원의 이심률이 0과 1 사이이다.

[math(x \in \mathbb{R}, 0<x<1)] 은 시그모이드 함수를 조작해서 얻을 수 있다. 가령 [math(y=operatorname{erf}(x))]의 경우 정의역이 [math(x \in \mathbb{R}, -\infty<x<\infty)]일 때 공역은 [math(y \in(-1,1))][5]이나 아래처럼 식 조작을 통해 열린 단위구간으로 대응시킬 수 있다.

[math(y=\dfrac{\operatorname{erf}(x)+1}{2})]

또한, 이 함수의 역함수를 쓰면 그 반대로도 대응시킬 수 있다. 그러므로, 이 구간에서만 성립하는 것을 실수 전체에 대응 시키는 것이 가능하다. 특히 집합의 관점에서 이 둘은 같은 농도(cardinality)를 가지므로 얼마든지 서로 대응시킬 수 있다.

4. 목록

0과 1 사이의 수의 개수는 무한하며 이 중 따로 이름이 붙여진 것들을 서술한다. 구체적인 값은 소수점 7번째 자리에서 반올림한다.[출처]

2학년의 꿈 상수 [math(I_1)](약 0.783431) - [math(\displaystyle \int_0^1 x^x \,{\rm d}x)]의 값이다.
가우스 상수 [math(G)](약 0.834627) - [math(\dfrac1{2\pi} B\biggl( \dfrac14, \dfrac12 \biggr))]의 값이다. [math(\Beta)]는 베타 함수이다.
가우스-쿠즈민-비어징 상수(약 0.303663)
골롬-딕맨 상수(약 0.624330)
곰페르츠 상수(약 0.596347) - [math(-e \, \mathrm{Ei}(-1))]의 값이다. [math(\mathrm{Ei})]는 지수 적분 함수.
라플라스 극한(약 0.662743)
란다우 상수(약 0.543209)
란다우-라마누잔 상수(약 0.764224)
뤼로스 상수(약 0.788531)
리우빌 상수(약 0.110001) - 무한급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!})]로 생성되는 수이다. 리우빌의 정리로 알려진 리우빌이 초월수를 고안하면서 만들어낸 수이다.
마이셀-메르텐스 상수(약 0.261497)
번스타인 상수(약 0.280169)
브룬 상수 [math(B_4)](약 0.870588)
블로흐 상수(약 0.471861)
스틸체스 상수 중 일부 - 편의상 5개만 나열하였다.

오일러-마스케로니 상수 [math(\gamma_0)](약 0.577216)
[math(\gamma_3)](약 0.002054)
[math(\gamma_4)](약 0.002325)
[math(\gamma_5)](약 0.000793)
[math(\gamma_{10})](약 0.000205)

쌍둥이 소수 상수(약 0.660162) - 이름처럼 쌍둥이 소수에 관련된 수이다. 발견자의 이름을 따서 하디-리틀우드 상수라고도 한다.
알라디-그린스테드 상수(약 0.809394)
엠브리-트레페텐 상수(약 0.70258)
오메가 상수(약 0.567143) - 방정식 [math(xe^x - 1 = 0)]의 유일한 실근이다. 람베르트 W 함수에 1을 대입하면 얻을 수 있다.

챔퍼나운 상수(약 0.123457) - 소수점 아래의 배열이 자연수를 쭉 이어 적은 형태이다.
카앵 상수(약 0.643411)
카탈랑 상수(약 0.915966)
코플랜드-에르되시 상수(약 0.235711) - 소수점 아래의 배열이 소수만으로 이루어져 있다.
해프너-사낙크-맥컬리 상수(약 0.353236)

항목을 보면 알겠지만 대부분이 무한급수 연구의 부산물인 경우가 많다.[7][8] 하지만 이름이 붙을 정도로 중요성은 매우 높은데, 위의 오일러-마스케로니 상수만 봐도 감마 함수와 상당히 연관되어 있고, 카탈랑 상수와 가우스-쿠즈민-비어징 상수는 정수론의 끝판왕인 리만 가설의 중요한 떡밥 중 하나이다. 1보다 작은 수라고 결코 무시할 게 아닌 셈.

이외에도 이름은 없지만 [math(i^i)](약 0.207880)[9]로 두고 계산할 때가 많다.] 같은 특수한 꼴로 유도되는 수가 존재한다.

또한 정수가 아닌 실수를 정수 부분과 소수 부분으로 나누어 생각하는 경우가 있는데, 이때 소수 부분은 0과 1 사이의 수이다. 또한 10의 정수제곱의 형태로 나타낼 수 없는 수의 상용로그의 지표와 가수에서 가수는 항상 0과 1 사이의 값을 가진다.

5. 관련 문서

[1] 즉, 진분수면 0과 1 사이의 숫자에 포함되나 그 역은 성립하지 않는다. [2] [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\psi), \bold{1}_{\mathbb{I}}(\psi))]의 값은 해당 수의 유리수 여부에 따라 다르다. 가령 [math(\dfrac{1}{2})]는 유리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0)]이지만, 오메가 상수 [math(\Omega)]는 무리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\Omega\right) = 0, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\Omega\right) = 1)]이다. 다만 오일러-마스케로니 상수 같은 경우 유리수/무리수 여부가 아직 밝혀지지 않았으므로 현 시점에서는 '부정'이다. [3] [math(\uparrow \uparrow)]는 4차 연산자, [math(W)]는 람베르트 W 함수이다. 이 함수는 실수 범위에서 0과 1 사이의 수를 비롯해서 [math(\left(1, \sqrt[e]{e}\;\!\right]) [4] 이 경우 복소평면에만 나타낼 수 있다. [5]

[출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant를 참고함. [7] 위 항목의 수를 보면 알겠지만 아예 초월수로 인정을 받았거나, 무리수임이 확실시되는 수들이다. 다만 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수는 유리수인지 무리수인지 알려져 있지 않다. [8] 위 목록 중 무한급수와 관계 없어 보이는 녀석들이 몇 있지만 챔퍼나운 상수, 코플랜드-에르되시 상수는 무한급수 점화식을 세울 수 있으며, 이상적분으로 정의된 2학년의 꿈 상수도 이리저리 풀다 보면 무한급수([math(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n \ln^n x}{n!})])가 튀어나온다. 그리고 오메가 상수를 정의하는 람베르트 W 함수가 무한급수([math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)} x^n)])로 정의된다. [9] [math(i^i = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)})]([math(k \in \mathbb{Z})])에서 [math(k=0)]으로 지정했을 경우. 보통 [math(\theta \in (-\pi,\pi])