반증(수학)

수학기초론 Foundations of Mathematics
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1. 개요2. 상세3. 기타4. 반증된 추론의 목록

1. 개요

"이게 플라톤이 말하는 인간이다."

디오게네스, 플라톤이 인간을 두 발로 걷는 깃털 없는 짐승이라 정의하자 털 뽑은 닭을 들고와서 이렇게 말했다.

反證 / counterexample[1], disproof[2]

어떤 명제가 거짓임을 증명하는 사례.

2. 상세

단 하나의 반증으로도 어떤 보편적 법칙이 옳을 것이라는 추론을 도로아미타불로 보내버릴 수도 있다. 반증이 단 하나라도 발견되면, 예외를 인정하지 않는 법칙의 세계에서는 그 추론은 법칙으로 인정받을 수가 없기 때문이다.

'3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 자연수는 소수이다.'라는 추론을 예로 들 수 있다. 이 추론의 반례는 333333331이 있기에 반증할 수 있다. 반증이 하나만 나오더라도 이 추론은 거짓이 되므로 법칙으로 인정받을 수 없다.

실해석학은 고등학교 수학 수준에서의 함수에 대한 반증으로 뒤통수를 후려치는 학문으로 유명하다. 실수 전체의 집합에서 불연속인 디리클레 함수, 항상 연속인데 항상 미분불능한 바이어슈트라스 함수, 미분 가능한데 그 도함수는 정적분이 안 되는 볼테라 함수 등... 위상수학 역시 한 반례 하는 학문으로, 이들을 다루는 교과서 중엔 아예 통수를 치는 반례만 모아놓은 공략집 형태의 교과서도 있을 정도이다.

3. 기타

수학 귀신에서, 첫날 밤에, 수학 귀신이 [math(1×1=1)], [math(11×11=121)], [math(111×111=12321)]...의 규칙을 발견했다고 로베르트에게 자랑스럽게 얘기했는데, 로베르트가 [math(1111111111×1111111111)]에서는 안 될거라고 말한다. 수학 귀신은 그것을 계산해본 뒤에 원하는 값이 나오지 않는다는 것을 발견하고는[3] 로베르트에게 '그게 안 된다는 걸 어떻게 알았냐'는 물음에, 로베르트는 '그냥'이라고 대답하자 수학 귀신이 '그냥'이 어딨냐며 빡쳐서 점점 부풀어 오르다가 폭발한다. 이후 열한 번째 밤에 이에 대한 설명을 한다.

4. 반증된 추론의 목록

분류:반증된 추론 참고.

[1] 수학에서는 counterexample을 쓰고, 법학에서는 counterevidence를 쓴다. [2] disprove의 명사꼴. 'prove or disprove'라는 명령문은 수학과에서 치르는 각종 수학 시험의 클리셰 중 하나이다. disprove는 대개 반례(counterexample)를 제시하는 것으로도 족하지만, 간혹 어떤 조건을 추가하면 명제를 참으로 만들 수 있는지 추가하고 증명하는 식의 기출변형도 나온다. [3] [math(1111111111^2=1234567900987654321)]로 수학 귀신이 원하는 예쁜 값이 안 나온다.