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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
삼각형의 오심( 五 心), 즉 외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심을 서술하는 문서.정삼각형은 방심을 제외한 사심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 같다. 방심은 정삼각형의 중심(외접원의 중심이자 내접원의 중심)에서 같은 거리에 있다. 이 방심들을 모두 이으면 넓이가 기존보다 훨씬 큰 정삼각형이 만들어진다. 또, 외접원과 내접원은 서로 동심원이다.
중학교 2·3학년 도형의 최종 보스. 이걸 극복해야 수능 기하에서 수월해진다.
2. 외심
外 心 / circumcenter[1]위 이미지에서, △ABC의 외심은 점 O이다.
삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점[2]
교과 과정 기준으로는 중학교 2학년 2학기 삼각형의 성질 단원에 나온다.
외심이라고 하며, 일반적으로 [math(\rm O)]로 표기한다.
각변의 수직이등분선의 교점으로 구할 수 있으며, 외심으로부터 각 꼭짓점의 길이는 같다.
예각삼각형일 경우 삼각형 내부에, 직각삼각형일 경우 빗변의 중점에, 둔각삼각형일 경우 삼각형 외부에 존재한다. 어떤 중2 교사들은 평행사변형과 직각삼각형의 외심을 섞어서 내기도 한다.
2.1. 성질
-
외심에서 각 꼭짓점까지 이은 선분의 길이는 외접원[3]의 반지름 [math(R)]로 모두 동일하다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \overline{\rm OA}=\overline{\rm OB}=\overline{\rm OC}=R )] }}}
- 외심에서 각 변에 내린 수선의 발은 그 변을 수직이등분한다.
- 수직이등분점을 모두 이은 삼각형은 본래 삼각형의 자기 쌍대이다.
- 사인 법칙이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm CB}}{\sin{\angle \rm A}}=\frac{\overline{\rm AC}}{\sin{\angle \rm B}}=\frac{\overline{\rm AB}}{\sin{\angle \rm C}}=2R )] }}}
[math(\displaystyle \begin{aligned} \angle{\rm A}&=\dfrac12\angle{\rm BOC} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm BC} \\ \angle{\rm B}&=\dfrac12\angle{\rm COA} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm AC} \\ \angle{\rm C}&=\dfrac12\angle{\rm AOB} = \dfrac12{\rm acrd}\,\overline{\rm AB} \end{aligned} )] }}}
3. 내심
內 心 / incenter[4]위 이미지에서, △ABC의 내심은 점 I이다.
삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점[5]
외심과 마찬가지로 중학교 2학년 2학기에 배운다.
내심이라고 하며 보통 기호 [math(\rm I)]로 표시한다.
세 내각의 이등분선의 교점으로 구할 수 있다.
이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있다.
어느 삼각형이라도 삼각형 내부에 존재한다.
3.1. 성질
- 삼각형의 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이는 내접원[6]의 반지름 [math(r)]로 모두 동일하다.
- 삼각형의 두 꼭짓점과 내심을 이은 각은 나머지 한 꼭짓점이 이루는 각을 [math(\dfrac{1}{2})]배 한 뒤 [math(90\degree)]를 더한 것과 같다.
- 삼각형의 넓이는 세 변의 길이를 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 내접원의 반지름을 [math(r)]이라 하면, S=[math(\dfrac{1}{2}r(a+b+c))]이다.
- 삼각형의 내심의 위치벡터는 [math(\overrightarrow{\mathrm{I}}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{A}}+b\overrightarrow{\mathrm{B}}+c\overrightarrow{\mathrm{C}}}{a+b+c})]이다.
4. 무게중심
무게 重 心 / centroid / geometric center / barycenter위 이미지에서, △ABC의 무게중심은 점 G이다.
삼각형의 세 중선의 교점
보통 기호 [math(\rm G)]로 표시한다.중학교 2학년 2학기 도형의 닮음 단원에서 배운다.
4.1. 성질
- 평면좌표 상의 세 점 [math(A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right), C\left(x_3,y_3\right))]이 꼭짓점인 삼각형의 무게중심 [math(G)]의 좌표는 [math(\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right))]임을 유도할 수 있다. 즉 (1) 세 중선의 교점과 (2) 삼각형의 세 꼭짓점의 (물리학적) 무게중심 두 점은 일치한다. 대학 과정에서는 이 점과 (3) 삼각형 전체 영역의 (물리학적) 무게중심도 일치하다는 것을 증명할 수 있지만, 증명에 중적분이 필요하기 때문에 맞다고 가정하고 넘어간다. 위의 공식은 고1 입학하면 도형의 방정식 단원에서 배운다.
- 삼각형의 각 변을 일정한 비율로 내분한 점들을 이어 만든 삼각형의 무게중심은 원래 처음의 삼각형의 무게중심과 일치한다.
- 무게중심을 구하기 위하여 그은 선으로 만들어진 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.
- 무게중심에서 꼭짓점까지의 거리와 "반대편의 변을 이등분하는" 점까지의 거리의 비는 2:1이다. 삼각형의 넓이를 구하는 적분방정식의 형태를 빌려 토크방정식을 만들어서 유도할 수 있다.
-
일반적으로 기하학 문제에서 아무 설명없이 삼각형의 중심(Center)이라고 주어진다면 보통 그것은 무게중심을 의미한다. 이는 Centroid라는 단어와 관련이 있다.
- 고급 평면기하학에서 무게중심은 물리적인 의미와는 전혀 별도로, 다른 오심들과 엮여서 수많은 성질들과 정리들을 탄생시키므로 주된 연구대상이 되었다.
- [math(\triangle\rm ABC)]과 이와 같은 평면 위에 있는 점 [math(\rm P)]에 대해, [math(\overline{\rm AP}^{2}+\overline{\rm BP}^{2}+\overline{\rm CP}^{2})]의 값은 [math(\rm P)]가 [math(\triangle\rm ABC)]의 무게중심일 때 최소가 된다. 증명은 xy 평면 위의 삼각형에서 세 점의 좌표를 각각 정한 뒤, P(a,b)에 대해 두 점 사이 거리의 공식을 사용해 식의 값을 정리하면 P가 무게중심일 때 최소임을 알 수 있다.
5. 수심
垂 心 / orthocenter위 이미지에서, △ABC의 수심은 점 H이다.
삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 수선을 그었을때 그 세 수선이 만나는 교점
보통 기호 [math(\rm H)]로 표시한다. 6차 교육과정까지는 중등교육과정 상에 있었지만 7차 교육과정에 오면서 삭제되었다. 기존에는 내심, 외심, 무게중심이랑 같이 배웠다.
수심과 외심의 관계를 설명하는 정리가 바로 세르보어 정리이며, 수심의 성질을 이용해 구점원의 성질을 유도할 수 있다.
5.1. 성질
둔각삼각형의 수심은 삼각형 밖에 있다. 직각삼각형의 경우도, 직각을 끼고 있는 꼭짓점이 수심이 된다.수심에서 꼭짓점까지의 거리와 수심에서 변까지의 거리의 곱이 일정하다.
구면삼각형은 특이하게 수심을 최소 3개, 직각삼각형인 경우에 한해 4개까지 갖는다..
6. 방심
傍 心 / excenter위 이미지에서, △ABC의 방심은 점 IA 외 둘이다.
삼각형에서 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점
아래와 같이 한 삼각형에 3개 존재한다. 보통 방심과 대칭 관계의 점이 [math(\rm A)]인 경우, [math(\rm{I_{A}})]로 표시한다.교육과정에서 수심이랑 함께 삭제된 내용이다. 정규 교과과정 상에서 삭제되었기 때문에 학교에서 배울 때도 쓸데없고 문제도 안 나온다고 하며 무시해버리는 쿨한 선생님들이 많다.[7] 특히 한 내각을 설정해야 하기 때문에 한 삼각형에 방심이 세 개가 존재하며, 따라서 방접원도 세 개가 존재하게 되고 이를 이용해 객관식, 주관식, 서술형으로 문제 내기 귀찮아서 포기하는 경우도 많다. 물론 방심이라는 명칭 없이 모양만 시험 문제에 나올 수는 있다.
6.1. 성질
방심을 모두 이은 삼각형은 원래 삼각형의 쌍대 관계이다. 참고로, 내심에서 성립하는 대부분의 성질은 방심에서도 유사하게 성립한다.7. 오일러 직선
삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 항상 일직선 위에 있는데, 이를 오일러 직선이라고 한다.본 증명으로 들어가자면, AH//OM이고, AH=2OM이므로 AM과 OH의 교점을 G라 하면 닮음에 의해 AG:GM=2:1이므로 G는 삼각형 ABC의 무게중심이다. 따라서 삼각형 ABC의 무게중심은 두 직선 AM과 HO의 교점이고, 따라서 O, G, H는 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 이때 OG:OH=1:3이 된다. 세르보어의 정리를 이용해 구점원의 중심도 그 위에 있음을 보일 수 있다.
8. 오심과 관련된 정리
오심과 관련된 정리 문서 참고.9. 참고
- 오심 외에도 기하학에서 중요하게 다뤄지는 삼각형 관련 점들은 많이 있다. 대표적으로 구점원의 중심이나 제르곤 점[8] 등.
- 2015년 9월 시행 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번에 직각삼각형의 내심과 방심과 관련된 문항이 출제된 바 있다.
[1]
외접원은 영어로 circumscribed circle이다.
[2]
삼각형의 외접원(삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원)의 중심으로 말하는 경우가 많다. 틀리진 않지만 정확한 정의는 아니다.
[3]
삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원
[4]
내접원은 inscribed circle이라고 한다.
[5]
삼각형에 내접원(삼각형의 내부에서 삼각형의 세 변에 모두 접하는 원)의 중심이라고 말하는 경우가 많다. 틀리진 않지만 정확한 정의는 아니다.
[6]
삼각형의 내부에서 삼각형의 세 변에 모두 접하는 원
[7]
실제로 7차 이후의 수능 문제에서 수심 또는 방심을 직접적으로 이용하는 문제는 찾아보기 힘들다.
[8]
각 꼭지점에서 대변과 내접원의 접점을 이은 세 직선이 만나는 점. 체바 정리에 의해 이 세 직선은 항상 한 점에서 만난다.