1. 무게중심과 질량중심
먼저 무게란 지구가 지구상의 물체에게 가하는 중력의 세기이다. 즉, 무게중심이란 지구 중력이 질량을 가진 어떤 물체에 작용할 때 물체가 넘어지지 않고 안정적으로 서있을 수 있는 지점이다. 질량중심과 혼용되기도 하는데, 가만히 있는 정적인 물체는 질량 중심과 무게중심이 같지만, 중력가속도가 다른 상황에서는 무게=질량 등식이 성립하지 않으므로, 구분하여 사용해야 한다.2. 역학에서의 의미
2.1. 무게중심과 균형점
일상생활에 접목하여 설명해보면, 무게중심은 곧 물체의 균형점이라 할 수 있다. 좀 더 풀어서 설명하면 해당지점에 실을 매달거나, 뾰족한 받침대 위에 조심스럽게 올렸을 때 물체가 균형을 유지해서 어느 한쪽으로도 기울지 않는 지점이다. 때문에 원, 구, 정다면체 등 대칭형 물체의 무게중심은 (그 물체의 밀도가 일정하다고 가정할 때) 기하학적 중심과 일치한다. 알기 쉬운 예시로 책돌리기, 동전쌓기, 돌탑쌓기, 카드탑 등을 생각하면 된다. 몇몇 예시들은 평평한 면을 이용해서 균형을 잡는 것들이지만, 그런 경우에도 어느 정도 무게 중심에 가깝게 놓아야 쓰러뜨리지 않고 쌓을 수 있다.가장 간단한 형태인 시소의 경우, 양측에 아무것도 올려져 있지 않으면 정 가운데에 그 균형점이 있겠지만, 양측에 서로 다른 무게의 물체가 올려져 있다면, 균형점은 양측 물체 질량비와 서로 반비례하는 지점에, 즉 무거운 쪽과 가까운 곳에 위치한다.
2.2. 무게중심과 안정성
2.2.1. 정적 안정성 (Static Stability)
일반적으로 물체는 무게중심이 낮을수록 안정적이고, 무게중심이 높을수록 불안정해진다. 간단한 예로 손바닥 밀치기 게임을 해보면, 자세가 낮을수록 잘 안 넘어진다는 것을 알 수 있다. 스케이트보드 역시 비슷한 자세를 취하고, 씨름이나 레슬링, 유도 등 상대를 넘어뜨려야 이기는 스포츠의 경우는 넘어지지 않기 위해 엉덩이를 뒤로 빼는 자세를 취하는 것을 볼 수 있다.무게중심에 따른 안정성은 물체를 놓는 모양에 따라서도 달라진다. 도미노를 세로로 세우면 쉽게 쓰러지지만, 가로로 세우면 무게 중심을 낮춰 잘 안 쓰러지게 할 수 있다. 다른 물체 역시 세우는 방향에 따라 무게중심을 달리하여 불안하게 놓거나, 아니면 안정적으로 둘 수 있다.
무게중심은 바닥에 수직방향으로 작용하는 중력의 영향을 받으므로, 무게 중심이 중선에 가까울수록 안정적이다. 등산을 가거나, 약수터, 절 등에 가보면 돌들을 쌓은 돌탑을 볼 수 있다. 가장 밑에 놓인 바위는 무관하니까 제외하고, 제일 위에 놓인 돌부터 그 아래 있는 돌들의 각각의 무게중심이 서로 하나의 수직선에 가까워야 흔들리지 않고 안정적인 돌탑을 쌓을 수 있다. 이는 동전쌓기나 의자쌓기, 기타 물건 쌓기의 경우도 마찬가지이다.
2.2.2. 동적 안정성 (Dynamic Stability)
동적인 상태에서는 반대가 된다.이 상황에서 무게중심을 이야기할 때는 힘[1]의 중심과 같이 설명하는 것이 좋으며, 정적인 상태에서는 무게중심이 힘의 중심보다 낮을수록 안정하고, 동적인 상태에서는 무게중심이 힘의 중심보다 높을수록 안정하다. (제어성(제어 편의성)과도 연관이 있다.) 망치나 장도리로 예를 들면, 바닥면에 망치를 세울 경우 쇳덩이 부분이 낮은 곳에 있을 경우 안정적이지만, 손바닥 위에서 균형을 잡을 경우에는 손바닥 위에 쇳덩이 부분보다 자루부분이 놓일 경우, 망치가 기울어져도 손을 빠르게 움직여서 안정적으로 세울 수 있다. 균형감각을 요구하는 서핑보드에서 파도를 타는 동안 상체는 거의 가만히 있으면서 하체와 보드를 민첩하게 움직이는 것도 이것과 관련이 있다.
비슷한 예로 자전거나 오토바이 같이 정적인 상태에서 불안정한 경우라도 움직이기 시작하면, 안정적으로 서서 움직이는 것과 같다. 자전거를 천천히 움직이는 것보다 빨리 움직이는 것이 안정적인 이유가 바로 바로 이것이다. (자전거나 오토바이의 경우는 자이로스코프 효과의 영향도 존재한다.)
3. 수학 교과과정 속의 무게중심
일반적인 무게중심의 수학적 정의는 질량중심 항목에 적혀 있지만, 정의에 중적분이 필요하기 때문에 중등 교과과정에서는 다루지 않는다.3.1. 삼각형의 무게중심
3.2. 일반적인 다각형의 무게중심
사각형 이상의 일반적인 다각형은 꼭짓점들의 무게중심과 다각형 내부의 무게중심이 다르다. 꼭짓점들의 무게중심은 단순히 n개 꼭짓점 좌표들의 평균으로 나타나지만, 내부 영역의 무게중심을 구하는 방법은 아래와 같이 복잡한 편이다.사각형의 경우 정사각형, 평행사변형, 마름모는 직관적으로 대각선의 교점이 곧 무게중심임을 알 수 있지만, 그외의 경우는 우선 대각선을 하나 그어서 사각형을 두개의 삼각형으로 나눈 뒤에, 각 삼각형의 무게중심을 그어서 서로 이어준다. 그리고 두 삼각형의 무게중심을 이은 선분을 두 삼각형의 넓이 비에 따라 다시 나눠서 구할 수 있다. 아니면 반대 방향으로 다시 대각선을 그어서 다시 두 삼각형의 무게 중심을 구해서 이은 뒤에, 처음 대각선에서 나온 선분과 두번째 대각선에서 나온 선분의 교점을 구하는 방식으로도 구할 수 있다.
사다리꼴의 경우 대각선으로 자르고 무게중심을 구한 다음 두 무게중심을 잇는 직선과 밑변과 윗변의 중선이 만나는 곳이 무게중심이 된다.
일반적인 다각형의 경우, 도형을 대각선으로 나누어 양쪽 다각형의 무게중심 [math(p_A,p_B)]를 구하면 원래 다각형의 무게중심 [math(p)]는 [math(p_A,p_B)]를 이은 선분 위에 있다. (일반적으로 두 도형의 합집합의 무게중심은 두 무게중심의 내분점 위에 있다.) 이런 선분을 2개를 구해 교점을 구하면 된다. 따라서 n각형의 무게중심을 구하려면 변의 개수가 (n-1) 이하인 다각형의 무게중심을 구할 줄 알아야 하고, 그 과정도 귀찮은 편이다. 그래서 변의 개수가 늘어날수록 무게중심을 찾는 일은 급격히 어려워진다.
3.3. 사각형의 무게중심 좌표를 구하는 방법
[math(x= \dfrac{(x_1-x_3)((y_2-y_4)(x_1+x_3) + y_2x_2-y_4x_4)-(x_2-x_4)((y_1-y_3)(x_2+x_4)+x_1y_1-y_3x_3)}{3(y_2-y_4)(x_1-x_3)-3(y_1-y_3)(x_2-x_4)})]y=((y2-y4){(x1-x3)(y2+y4)+x1y1-x3y3}-(y1-y3){(x2-x4)(y1+y3)+x2y2-x4y4})/(3(x1-x3)(y2-y4)-3(x2-x4)(y1-y3))
4. 관련 문서
[1]
예를 들어 양력이 발생하는 중심점인 공력중심