방정식

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1. 개요2. 종류

2.1. 미지수가 하나인 다항방정식2.2. 미지수가 둘 이상인 다항방정식2.3. 미지수가 삼각식 형태인 다항방정식(이른바 삼각방정식)2.4. 미지수가 지수/ 로그의 형태인 다항방정식2.5. 미지수가 미분되어 있는 형태인 방정식2.6. 미지수가 적분되어 있는 형태인 방정식2.7. 미지수가 행렬, 텐서 형태인 방정식

3. 방정식의 해법4. 여담5. 나무위키에 개별 문서가 있는 방정식

1. 개요

equation / 方程式

미지수가 1개 이상 존재하는 등식에서 미지수의 값을 정하면 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이다. 미지수의 해를 구하는 것을 '방정식을 푼다'고 한다. 형식적으로, 방정식과 등식은 구분할 수 없다. 등식 중에서 미지수의 값에 상관없이 항상 참이 되는 등식은 방정식이 아니라 항등식이라고 한다.[1]

방정식에 '方程'이라는 이름이 붙은 것은 중국 고대 수학서인 《구장산술( 九章算術)》[2]의 8장 방정에서 1차 연립방정식을 네모난 모양으로 상수들을 써놓고 풀었기 때문이다. 현대에도 계산기 등에서는 1차 연립방정식을 같은 방법으로 행렬을 이용해서 푼다.

인도나 중동, 유럽과 다르게 중화권의 수학에서는 문자까지 사용한 발달이 이루어지지 못하였는데, 그 이유는 중국에서는 고대부터 제곱근이나 세제곱근을 구하는 알고리즘을 확립하고, 고차방정식의 수치해법으로서 호너법( Horner's method)과 같은 방법들이 11세기~13세기에 걸쳐서 확립되었기 때문이다. 그래서 이차방정식의, 더욱이 고차방정식의 근의 공식을 구하는 방향으로 노력이 이루어지지 않았다. 방정식을 문자식으로 나타내는 것은 중국에서 고차방정식의 수치해법과 거의 동시에 등장했으나, 계수마저 완벽하게 문자로 된 일반방정식을 나타내는 문자식은 등장하지 않았다. 심지어 서양의 수학이 전해진 후기 중국 수학에서도 일반적인 문자식은 등장하지 않았다. 언제든 원하는 정밀도( 精密度)로 방정식의 해를 구할 수 있었던 실용주의적인 중국 수학의 관점에선, 일반 방정식을 생각할 필요성이 없었기 때문이다.

방정식은 조건명제라고 해서 그 자체로는 명제로 치지 않는다. 명제가 되려면, 그 문장 그대로를 누가 봐도 참인지 거짓인지을 똑같이 판정할 수 있어야 하기 때문이다. 물론, 어떤 방정식은 특정한 수의 범위(실수, 복소수 등)의 모든 수를 대입하여도 참이 되는 경우가 존재하는데, 이러한 방정식을 항등식이라 한다.[3] 이때, 방정식을 참이 되게 하는 미지수를 해 혹은 근이라고 부른다.[4]

복소수 범위에서 다항방정식은 닫혀 있다. 즉, 상수가 아닌 다항함수는 반드시 복소수 영점을 가진다.

18세기 즈음, 모든 방정식이 해가 존재하는지를 증명하는 대수학의 기본정리가 화두였다. 많은 사람이 증명을 시도했고, 사실 매우 근접한 경우도 꽤 많고 증명하는 방법도 매우 다양하게 나와 있는 정리이다. 그렇기 때문에 카를 프리드리히 가우스가 증명했다는 것도 약간 애매한 사실이다.

방정식을 잘 이해한다면 수학을 사용하는 이공계에서 큰 힘이 된다. 한국에서는 초등학교 2학년 때[5]부터 배우기 시작하여, 중학교부턴 미지수[6]를 사용한다. 지수방정식이나 고차식의 방정식은 구조적으로 더 특이하다. 결국, 방정식을 제대로 이해한다면 이공계열로 가기 정말 좋다. 특히 중3 1학기, 고1 수학(상)에서 곱셈 공식과 인수분해 공식을 먼저 만나고, 나중에는 조립제법을 쓰게 되어 있다. 하지만 미분에서는 이 공식들이 필요한 순간이 생긴다. 미지수는 보통 [math(x)]를 쓰며, 미지수가 2개일 때는 [math(x)]와 [math(y)]를 주로 쓴다.

미지수가 아니라 아예 미지함수를 찾는 미분방정식 등의 진화형이 있다. 물리학의 시작과 끝, 알파와 오메가라 할 수 있는 것이 미분방정식. 잘 알려진 F=ma부터가 간단한 미분방정식이다. 공학에서도 자주 볼 수 있다. 수많은 공학도를 도와주는 강력한 친구.

경영/경제 계열 학생은 삼차방정식 이상의 방정식을 볼 수 있는 기회가 적은 대신, 다원[7]일차 연립방정식을 만난다.

이차방정식까지의 일반적 해법([math(x\in\mathbb{Q})], [math(x\notin\mathbb{Q}^C)]인 해[8])은 이미 고대 그리스 시대에 발견된 것으로 전해진다. 하지만 삼차방정식 이후는 15세기에 가서야 발견되었다.

EBS의 다큐프라임 "넘버스 3부 자유의 수 - [math(x)]" 편에서 방정식의 역사에 대한 내용을 방영했다.

2. 종류

2.1. 미지수가 하나인 다항방정식

[math(a_nx^n +\cdots +a_1x +a_0 = 0)]와 같이 하나의 미지수 [math(x)]에 대한 다항식의 꼴로 정리되는 방정식. '일원방정식'이라고도 한다.

당연히 이때 [math(a_n\neq0)]이고 [math(n)]은 자연수이다. 이 [math(n)]에 따라 [math(n)]차 다항방정식이라고 불린다.

방정식의 정리는 비교적 간단하다. 이항해서 한쪽에는 [math(0)]만 남기고 동류항끼리 묶어버리면 그만이다.

일반적인 해법이 존재하는 일원다항방정식은 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 사차방정식이 있다. 오차 이상의 방정식은 특수한 경우에 한해서 풀 수 있고 일반적인 대수적 해법이 없다.

2.2. 미지수가 둘 이상인 다항방정식

[math(n)]개의 미지수와 [math(n)]개의 식으로 구성된 방정식은 연립방정식 문서 참고.
[math(n)]개의 미지수와 [math(n)]개보다 적은 식으로 구성된 방정식은 부정방정식 문서 참고.

2.3. 미지수가 삼각식 형태인 다항방정식(이른바 삼각방정식)

[math(
\cos(2\theta) + 5\cos\theta +2 = 0
)][9]

삼각식이 포함된 방정식을 삼각방정식이라고 한다. 삼각식이 두 종류 이상 나올 때도 있는데, 이 경우 한 종류의 삼각식으로 통일시켜야 하는데 식이 상당히 복잡해진다. 이런 형식은 고등학교 수학Ⅰ(2015)에서 배운다. 다만, 한 종류의 삼각식으로 통일시킨 뒤 치환만 하면 그냥 평범한 방정식이 되니까, 그 평범한 방정식을 풀기만 하면 된다.

삼각함수가 주기함수인 관계로, 특수해와 일반해의 개념을 알고 있어야 한다. 일반해는 모든 미지수의 값을 함수의 형태로 응축한 형태(정수 [math(n)]을 포함한 일반항)이며, 특수해는 주치([math(0\leq\theta<2\pi)]) 내의 미지수 값이다.

2.4. 미지수가 지수/ 로그의 형태인 다항방정식

[math(
9^x = 27^{2x-4}
)] [10]

[math(
\log_2x +\log_2(x-2) = 3
)][11]

각각 지수방정식, 로그방정식이라고 한다. [math(n)]차방정식보다 좀 풀기가 번거로운[12] 녀석으로, 지수와 로그의 성질을 알아둬야 풀기가 그나마 편해진다. 시험 문제로 나올 때에는 상용로그표가 주어지기도 한다. 2015 개정 교육과정에서는 수학Ⅰ(2015)에서 배운다.

다만 밑이 복소수인 방정식은 미적분을 해야 하며, [math(p^x = qx)] 꼴처럼 미지수가 지수와 다항식 모두에 있는 경우는 람베르트 W 함수라는 특수함수를 이용해야 한다.

2.5. 미지수가 미분되어 있는 형태인 방정식

자세한 내용은 미분방정식 문서 참고하십시오.

2.6. 미지수가 적분되어 있는 형태인 방정식

[math(\displaystyle
g(s) = s\int_0^\infty K(st) f(t) \,{\rm d}t
)]

적분방정식이라고 한다. 부정적분의 경우 미분해 버리면 장땡이지만, 일반적인 적분방정식은 구간이 정의되어 있는 정적분/이상적분이라서 어지간한 미분방정식 뺨치게 어렵다는 것이 문제. 물론 아예 답이 안 보이다시피한 편미분방정식보다는 낫다는 것이 함정.

미적분의 특성상 미분방정식은 발산 정리와 스토크스 정리를 통해 적분방정식으로 상호 변환이 가능하다.

상당수의 초월함수는 정의 자체가 적분방정식의 꼴이다(대표적으로 감마 함수 [13]). 심지어는 타원의 둘레를 구하는 과정조차도 적분방정식이다.

2.7. 미지수가 행렬, 텐서 형태인 방정식

[math(\displaystyle
G_{\mu\nu} +g_{\mu\nu} \Lambda = \dfrac{8\pi G}{c^4} \,T_{\mu\nu}
)]

텐서방정식이라고 한다. 간단히 말하자면 최소 행렬, 혹은 그 이상[14]이 통째로 미지수인 방정식이다. 위 식은 대표적인 텐서 편미분방정식인 아인슈타인 방정식이며, 다름 아닌 일반 상대성 이론과 관련되어 있다.

1학년의 꿈도 변수가 행렬일 때 해가 존재하는 행렬방정식이다.

3. 방정식의 해법

자세한 내용은 방정식/풀이 문서 참고하십시오.

4. 여담

어째 방정식과 얽힌 후술할 인물들의 최후가 좋지 않다.

3차방정식의 해법을 발견한 타르탈리아는 지롤라모 카르다노에게 '절대 발설하지 마라'는 조건 하에 비밀리에 이 해법을 가르쳐준다. 그러나 카르다노는 이 공식을 책으로 출판해서 세간에 발설하는 것으로도 모자라 그것도 자기 이름으로 내는 통수를 친다. 이 사실을 알게 된 타르탈리아는 카르다노를 영원히 저주하게 된다. 카르다노는 수학계 사상 최대의 사기꾼이라는 평가가 많다. 그리고 오늘날에도 이 삼차방정식의 해법은 '카르다노의 공식'으로 알려진다. 지못미. 다만 타르탈리아의 삼차방정식의 풀이법은 완전한 형태였던 것은 아니고 볼로냐에서 타르탈리아 이전에 페로가 알아낸 불완전한 삼차방정식의 해를 안 카르다노는 더 이상 약속을 지킬 필요가 없다고 생각해 자기 이름으로 삼차방정식의 풀이법을 공개하게 된다.

처음부터 일반적인 삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d = 0)]의 해를 구할 수 있는 것은 아니었고, 페로는 [math(x^3 = cx+d)]의 풀이법을 알아냈고 타르탈리아는 [math(x^3 = bx^2+d)]의 풀이법을 알아냈다. 그리고 타르탈리아는 페로의 제자와의 대결 과정에서 페로의 해법도 독자적으로 찾아냈다. 그런데 카르다노와 페로가 알아낸 건 모든 삼차방정식은 [math(x)]를 적절하게 치환해서 [math(x^3 = cx+d)] 꼴로 쓸 수 있다는 것이었고, 페로의 풀이를 바탕으로 모든 삼차방정식을 풀 수 있다고 발표함으로써 타르탈리아와의 약속을 깨지 않고도 발표할 수 있었다.

그리고 이런 사기에 가까운 방법으로 3차방정식의 근의 공식의 주인이 된 카르다노도 결국 무사하지 못했다. 그의 아들은 자기 아내를 독살해버리고 사형을 당했으며, 그 역시 후에 이단으로 몰려 감옥에 간 것으로도 모자라 자기 책을 출판하는 걸 금지당한다. 그리고 카르다노는 자신이 죽을 것이라 예언한 날에 맞춰 자살한다.
4차방정식의 해법을 발견한 루도비코 페라리는 이후 알코올 중독에 찌들게 되었고 싸움과 도박을 서슴지 않는 막장 인생을 살다가 결국 자신의 여동생에게 독살당한다.
5차방정식의 해법이 존재하지 않는다는 사실을 발견한 닐스 헨리크 아벨은 철저히 가난에 찌든 인생을 살다가 결국 가난과 질병으로 영양실조와 같이 병으로 죽었다. 더 큰 비극은 죽은 지 얼마 안 돼 대학교수 채용임명서가 집에 왔다는 것이다.[15]

게다가 5차방정식을 풀 수 있기 위한 조건을 발표한 에바리스트 갈루아는 철저히 투쟁으로 가득찬 처참한 인생을 살다가 결국 여자를 가지고 권총으로 결투 중 사망한다. 게다가 이 결투가 조작이라는 의혹이 있다.[16]

이쯤 되면 방정식에 대한 학생들의 원한이 과거로 시간이동이라도 한 게 아닌가 싶다. #

매체에서는 방정식으로 뭐든지 할 수 있는 것처럼 묘사되는 경우가 많은데, 우주의 생명을 없앨 수 있는 방정식이나 미래를 예측하고 생명체의 몸을 변형시키는 방정식, 중력을 조작하는 방정식 등 어떤 특수한 방정식을 찾아내거나 개발하여 힘을 휘두르는 전개가 대표적이다.

5. 나무위키에 개별 문서가 있는 방정식

[1] 일부 중등교육과정 교과서 집필진과 미국의 교과서에서는 방정식의 일부를 항등식으로 정의하였으나, 한국에서의 주된 견해는 방정식과 항등식을 따로 보는 것이다. 이 논문 참고. [2] 아홉 글로 이루어진 산술 서적이라는 뜻이다. [3] 항등식은 물론 명제다. [4] 방정식은 보통 항등식이라 하지 않는다. 이는 위에 기술한 방정식의 정의와 상충하기 때문인데, 항등식은 대입되는 값에 상관없이 항상 참인 식이며, 방정식은 미지수나 미지함수에 들어가는 값에 따라 참ㆍ거짓이 결정되기 때문이다. 오히려 항등식과 방정식은 등식의 하위분류이다. [5] 미지수가 [math(\square)]으로 처리되어 있을 뿐 일차방정식이랑 다름없다. 자연수의 혼합계산이나 분수ㆍ소수ㆍ정수ㆍ유리수의 혼합계산에서도 마찬가지. 대부분 [math(p+\square = q)] (단, [math(p)], [math(q)]는 임의의 상수)꼴로 되어있다. 방정식을 이항하는 걸 생각할 수 있는데, 저 나이 때 저렇게 네모 칸 뚫어놓은 방정식을 시키는 건 손가락으로 셈하든, 머리 속에서 빼빼로 몇 개를 놨다 뺐다를 하든 직접 계산하는 사고력을 기르기 위한 과정을 배우기 위함이라 이항을 아직 배우지 않는다. [6] 정확히는 문자 [7] 미지수가 둘 이상 [8] 그 당시는 당연히 유리수를 벗어나는 수 체계는 생각할 수 없었다. 음수는 당시 서양의 사상으론 받아들이기 어려웠다. 놀랍게도 근세에 와서야 이차방정식의 모든 해를 구할 수 있게 된 것. [9] 이 방정식을 [math(\cos2\theta = 2\cos^2\theta -1)]로 고쳐서 풀면, [math(2\cos^2\theta +5\cos\theta +1 = 0)]이 된다. 이때 [math(-1\leq\cos\theta\leq1)]이므로 [math(\cos\theta = \dfrac{-5+\sqrt{17}}4)]이 된다. [10] 이 방정식을 [math(3^{2x} = 3^{3(2x-4)})]의 형태로 고쳐서 풀면 [math(2x = 6x-12)]이므로 해는 [math(x = 3)]이 된다. [11] 이 방정식을 [math(\log_2x(x-2) = \log_28)]의 형태로 고쳐서 풀면 [math(x^2-2x-8 = 0)]이 되고, 진수의 성질에 의해 [math(x>2)]이어야 하므로 해는 [math(x = 4)]가 된다. [12] 지수방정식은 밑 혹은 지수를 같게 통일해야 하고 로그방정식은 밑이 같으면 진수가 같도록 해를 찾아야 하는데, 밑이 다르면 밑 변환 공식을 써서 밑을 통일해야 하고 진수 조건을 일일이 다 따져야 하기 때문이다. 해를 구해도 진수 조건에 맞지 않으면 그 해는 답이 될 수 없다. [13] 계승함수라고도 한다. [14] 수의 묶음 자체가 박스나 4차원 등의 형태인 것. [15] 당시 그의 나이는 고작 26세였다. [16] 이 당시 갈루아는 정부에 찍힌 상황이였다. 더 큰 비극은 죽어서도 묻힌 무덤까지 전쟁으로 박살나서 흔적도 안 남았다는 사실이다. 21살이라는 너무나도 아까운 나이로 죽었기에 비운의 수학자로 자주 언급된다. 워낙에 옹고집이고 물러설 줄 모르는 성격도 한 몫 하기는 했다.