1. 개요
continuity equation · 連 續 方 程 式어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식. 어느 구간에서 자신이 원하는 양이 얼마나 들어가고 빠지는지를 나타내기 위해서 쓰는데, 그래서 아무것도 변하지 않는다고 하는 보존법칙들을 기술하기 위해서도 이 법칙이 요긴하게 쓰인다.
1.1. 연속 방정식의 일반형
어떤 물리량 [math(\displaystyle q)]에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.[math(\displaystyle \frac{d}{d t} \iiint_{V} \rho_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r = - \oiint_{\partial V} \mathbf{J}_{q} (\mathbf{r},\, t ) \cdot d \mathbf{a} + \iiint_{V} s_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r )]
여기서 [math(\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q})]는 각각 단위 부피당 [math(\displaystyle q)], 단위 시간당 단위 면적을 통한 [math(\displaystyle q)]의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 [math(\displaystyle q)]의 직접 공급을 뜻한다.
이로부터 위 식의 좌변은 단위 시간당 어떤 영역 [math(\displaystyle V)] 내의 [math(\displaystyle q)]의 (시간에 따른) 변화율, 우변의 첫째 항과 둘째 항은 각각 영역 [math(\displaystyle V)]의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 [math(\displaystyle q)]의 양, (외부 공급 장치 등을 이용한) [math(\displaystyle q)]의 직접적인 공급을 의미한다.
위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.
[math( \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} ( \mathbf{r},\, t ) )]
2. 유체역학에서의 연속 방정식
|
유체역학 Fluid Mechanics |
||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:2em; word-break:keep-all" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
<colbgcolor=#0D98BA>유체와 힘 | <colbgcolor=#fff,#191919> 유체 · 뉴턴 유체 · 비뉴턴 유체( 멱법칙 유체 · 오스트발트-드 웰 관계식 · 허쉘-버클리 유체 · 리-아이링 이론) · 압력 · 부력( 아르키메데스의 원리) · 항력( 수직항력 · 스토크스 법칙) · 양력 · 표면장력 · 상 |
| 유체동역학 | 유동( 압축성 · 점성 · 탄성) · 난류 및 층류 · 레이놀즈 수송 정리( 체적 검사) | |
| 상수 | 마하 수 · 레이놀즈 수 · 프란틀 수 · 레일리 수 · 그라스호프 수 · 슈미트 수 · 네버러 수 | |
| 방정식 | 베르누이 방정식 · 연속 방정식 · 파스칼의 원리 · 오일러 방정식 · 나비에-스토크스 방정식 · 하겐-푸아죄유 법칙 · 브라운 운동 방정식 · 스탈링 방정식 | |
| 응용 및 현상 | 날씨 · 모세관 현상 · 마그누스 효과 · 케이 효과 · 카르만 효과 · 사이펀의 원리 · 대류 현상 · 슬립 스트림 | |
| 해석 | 전산유체역학 | }}}}}}}}} |
2.1. 질량에 대한 연속 방정식
유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.[math( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)]
2.1.1. 유도
밀도가 [math(\displaystyle \rho)]인 유체가 어떤 폐곡면 [math(\displaystyle S)]를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.[math( \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho\, d^3 r = -\oiint_{S} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a} )]
여기서 [math(V)]는 폐곡면 [math(S)]로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.
위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.
[math( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)]
2.1.2. 비압축성 유체
비합축성이면 [math(\rho)]가 상수이니[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0)]
또는
[math( \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{a} = 0)]
가 된다. 후자를 파이프 같이 단순한 유체 흐름의 상황에 적용하면 아주 간단한 형태가 된다.
[math( \displaystyle A_1\mathbf{u}_1 = A_2\mathbf{u}_2)]
2.2. 운동량에 대한 연속 방정식
3. 전자기학에서의 연속 방정식
|
전자기학 Electromagnetism |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; min-height:2em; word-break:keep-all" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px" |
기초 개념 | ||
| 관련 수학 이론 | <colbgcolor=#fff> [math(boldsymbol{nabla})] · 디랙 델타 함수 · 연속방정식 · 분리 벡터 | ||
| 전기와 자기 | 전자기력 · 전자기 유도 ( 패러데이 법칙) · 맥스웰 방정식 · 전자기파 · 포인팅 벡터 · 전자기학의 경계치 문제 · 전자기파 방사 | ||
| 정전기학 |
<colbgcolor=#fff>
전하 ·
전기장 ·
전기 변위장 ·
전기 퍼텐셜 ·
가우스 법칙 ·
전기 쌍극자 모멘트 유전율 · 대전현상 · 정전용량 · 시정수 · 정전기 방전 |
||
| 정자기학 |
자성 ·
자기장 ·
자기장 세기 ·
자기 퍼텐셜 ·
자기 쌍극자 모멘트 ·
로런츠 힘 홀 효과 · 비오-사바르 법칙 · 앙페르 법칙 · 투자율 |
||
| '''[[회로이론|{{{#fff | 전압 · 전류 · 전기 저항 ( 띠틈 ) · 전력 ( 전력량 ) · 직류 · 교류 · 키르히호프 법칙 · 중첩의 원리 · 삼상 | ||
| 소자 |
수동소자 :
RLC회로 (
커패시터 ·
인덕터 ·
레지스터),
변압기 능동소자 : 전원 · 다이오드 · 트랜지스터 · 연산 증폭기 |
||
| 응용 및 심화개념 | |||
| 관련 학문 | 상대론적 전자기학 · 양자 전기역학 · 전자공학 · 전기공학 · 제어공학 | ||
| 토픽 | 광자 · 와전류 · 다중극 전개 · 전기음성도 · 반도체 · 맥스웰 변형 텐서 · 생체신호( 생체전기) · 게이지 장( 역장 · 장이론) | ||
| 음향 | 음향학 · 앰프 ( 파워앰프 · 프리앰프 · 인티앰프 · 진공관 앰프) | ||
| 열 | 반 데르 발스 힘( 분산력) · 복사 · 전도( 전도체) · 초전도체 | ||
| 광학 | 렌즈 · 프리즘 · 거울 · 색수차 · 뉴턴의 고리 · 편광 · 분광학 · 산란 · 광전효과 · 물질파 | ||
| 전산 | 논리 연산 · 논리 회로 · 컴퓨터과학 · CG · 폴리곤 | ||
| 그 밖에 | |||
| 틀:전기전자공학 · 전기·전자 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
3.1. 전하에 대한 연속 방정식
3.2. 에너지에 대한 연속 방정식
4. 확산/ 열에 대한 연속 방정식
열의 밀도를 [math(u)], 에너지 선속을 [math(\mathbf{q})]라 하고, 마찰력 등으로 인한 내부 열 생성은 없다고 가정하면,[math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{q} = 0)]
열이 아니라 물질에 적용해도 수학적으로 똑같다. [math(\phi)]를 물질의 밀도 (단위는 mol/m^3), [math(\mathbf{J})]를 물질의 확산 선속 (단위는 mol/m^2/sec)이라 하면,
[math(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0)]
이 둘은 각각 푸리에의 법칙과 픽의 1 법칙과 연계하면 열 방정식과 확산 방정식으로 이어진다. 이 두 방정식 역시 수학적으로 동일.