Cauchy's functional equation
1. 개요
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.[math(f(x+y)=f(x)+f(y))]
덧셈군 [math((G,+))]에 대하여 위를 만족하는 함수 [math(f:G\to G)]는 [math(G)]의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 [math(f(x)=ax)]의 꼴뿐이지만([math(a)]는 상수), 선택공리에 따르면 실수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다. 더 나아가 복소수가 되면 선택공리조차 필요 없다. 켤레를 생각해보자.
2. 유리수 범위 해법
함수 [math(f:\mathbb Q\to\mathbb Q)]가 임의의 유리수 [math(x,y)]에 대하여 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))]를 만족한다고 하자.[math(x=y=0)]을 대입하면 [math(f(0)=f(0)+f(0))]이므로 [math(f(0)=0)]이다. 그리고 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(f(n+1)=f(n)+f(1))]이므로 수학적 귀납법에 의해 [math(f(n)=nf(1))]이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(f\!\left(\dfrac 1m\right)=\dfrac 1mf(1))]임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 [math(f\!\left(\dfrac nm\right)=\dfrac nmf(1))]이므로, 임의의 양의 유리수 [math(q)]에 대해 [math(f(q)=qf(1))]이다.
양의 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(f(q+(-q))=f(q)+f(-q))]이므로 [math(f(-q)=-f(q))]이다. 따라서 모든 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(f(q)=qf(1))]이 성립한다.
[math(f(1)=a)]로 놓으면 [math(f(x)=ax)]를 얻는다.
3. 실수 범위 해법
함수 [math(f:\R\to\R)]가 임의의 실수 [math(x,y)]에 대하여 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))]를 만족한다고 하자.그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 [math(q)]와 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(qx)=qf(x))]임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 [math(x)]에 대해 [math(f(x)=f(1)\cdot x)]임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
- [math(f)]가 어떤 한 점에서 미분가능하다.
- [math(f)]가 어떤 한 점에서 연속이다.
- [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 단조이다.
- [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 유계이다.
4. 상수배 함수가 아닌 해
4.1. 존재성
유리수체 위의 실수 집합은 벡터 공간을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 [math(\{1\})]는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 [math(\mathcal B)]가 존재한다. [math(\mathcal B)]가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(\mathcal B)]의 유한 부분집합 [math(\{v_1,v_2,\dots,v_n\})]이 유일하게 존재하여 [math(x=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n)]을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 [math((a_1,a_2,\dots,a_n))]이 유일하게 존재한다.이때 아무렇게나 함수 [math(g:\mathcal B\to\R)]를 정의했을 때 [math(f(v_i)=g(v_i))]이 되도록 함수 [math(f)]를 정의하면 [math(f)]가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 [math(g)]를 다음과 같이 정의할 수 있다. ([math(v_i\in\mathcal B)])
[math(g(v_i)=\begin{cases}1\,\ (v_i=1)\\ \\0\,\ (v_i\ne 1)\end{cases})]
이렇게 정의하면 유리수 [math(q)]와 [math(\mathcal B-\{1\})]의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 [math(\alpha)]가 있을 때, [math(q+\alpha)]의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 [math(f(q))]와 같아진다. 따라서 [math(f)]는 상수배 함수가 아니다.