프레넬 적분 함수

특수함수 Special Functions
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all"	[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.
<colbgcolor=#383B3D> 적분	오차함수(error function)^{( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수)} · 베타 함수^{( 불완전 베타 함수)} · 감마 함수^{( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수)} · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식	르장드르 함수[math(^\ast)] ( 구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수	브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수
급수	제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론	소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타	헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수

}}}}}}}}}}}} ||

삼각함수 · 쌍곡선함수 Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	<colbgcolor=#f080b0> 기본 개념	기하학{ 평면기하학( 삼각형 · 삼각비 · 원 · 쌍곡선)} · 해석학{ 좌표계 · 복소평면 · 함수( 초월함수 · 특수함수)}
삼각함수	사인곡선( 위상수학자의 사인곡선) · 역함수 · 도함수 · 역도함수 · 관련 함수 · 삼각함수의 덧셈정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 오일러 공식 · 푸리에 해석( 푸리에 변환) · 삼각 적분 함수 · 구데르만 함수 · 프레넬 적분 함수 · 디리클레 함수 · 바이어슈트라스 함수 · 볼테라 함수 · 에어리 함수 · 야코비 타원 함수
쌍곡선함수	현수선 · 쌍곡선 적분 함수 · 구데르만 함수	}}}}}}}}}

프레넬 적분 함수(Fresnel integral)는 특수함수의 일종으로, 각각 [math(S(x))], [math(C(x))] 두 종류가 있다. 정의는 다음과 같다.[1]

[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)& \equiv\int_{0}^{x} \sin{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,{\rm d}t \\ C(x)&\equiv\int_{0}^{x} \cos{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,{\rm d}t\end{aligned} )]

친척인 삼각 적분 함수와 비슷하게 [math(\sin)]과 [math(\cos)]만 적분이 정의된다.

두 함수는 모두 무한급수로 나타낼 수 있으며, 각각 나타내면 아래와 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} )]

또한 두 함수로 부터

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}S(x)}{{\rm d}x}&=\sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,{\rm d}x=S(x)+\mathsf{const.} \\ \frac{{\rm d}C(x)}{{\rm d}x}&=\cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,{\rm d}x=C(x)+\mathsf{const.} \end{aligned} )]

또한 얻을 수 있다. 여기서 [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다.

둘 다 홀함수로써

[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=-S(-x) \\ C(x)&=-C(-x) \end{aligned} )]

가 성립하며,

[math(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} S(x)=\lim_{x \to \pm\infty} C(x)=\pm\frac{1}{2} )]

임이 알려져있다. (단, 복부호 동순)

아래는 본 함수의 그래프 개형을 나타낸 것이다.

[math(S(x))]의 최댓값은 [math(x=\sqrt{2})]에서

[math(\dfrac{1+i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{2 \pi} \right) -i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{2 \pi} \right)\right] )]

이며, [math(C(x))]의 최댓값은 [math(x=1)]에서

[math(\dfrac{1-i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{\pi} \right) +i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{\pi} \right)\right] )]

이다. 홀함수이므로 최댓값의 반수가 최솟값이 된다. 이 두 수는 환원 불능(casus irreducibilis)이므로 [math(i triangleq sqrt{-1})] 없이 표기할 수 없다.

위에서 [math(\mathrm{erf})]는 오차함수(Error function)이다.

여담으로, 오일러 나선이라는 특수한 나선을 그릴 때 사용된다.

[1] 단, [math(\displaystyle \int_{0}^{x} \sin{t^2}\,{\rm d}t \equiv S(x))], [math(\displaystyle \int_{0}^{x} \cos{t^2}\,{\rm d}t \equiv C(x))]로 정의하는 경우도 있다.

프레넬 적분 함수

분류