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특수함수 Special Functions |
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| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
1. 개요
Weierstraßsche [math(\wp)]-Funktion / Weierstrass 楕 圓 函 數카를 바이어슈트라스가 만든 특수함수의 하나로, [math(\wp)][1]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\}} ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2}
))]
[math(\ell)]은 격자점, [math(\Lambda)]는 [math(\ell)]의 집합이다.
2. 상세
복소수 위에서 매끄러운 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 미분이 가능하고, 연속이다.이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.
이름과는 달리 타원과는 별 상관없다. 이 함수는 타원곡선과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문이다.
[math([ \wp'(z) ]^2 = [ \wp(z) ]^3 + A \wp(z) + B)]
이 함수의 그래프는 원환면(일명 도넛 모양)임이 알려져 있다.[2]
&와 비슷하게 저 [math(\wp)]를 예쁘게