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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
error function · 誤 差 函 數오차함수는 특수함수와 초월함수의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호는 영문명에서 따온 [math(\operatorname{erf}(x))]를 사용한다.
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) \equiv \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \,{\rm d}t )]
위 식의 양 변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \!\left[ \frac{\sqrt\pi}2 \operatorname{erf}(x) \right] \!= e^{-x^2}
)]
이므로 다음과 같이 쓸 수도 있다. (단, [math(C)]는 적분상수)
[math(\displaystyle \int e^{-x^2} \,{\rm d}x = \frac{\sqrt\pi}2 \operatorname{erf}(x) + C )]
즉, 가우스 함수([math(e^{-x^2})])의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것이다.
한편, 위의 정의에서 [math(t=xu)]로 치환하면 [math({\rm d}t=x\,{\rm d}u)]이므로, 오차함수를 다음과 같이 조금 다른 형태의 적분식으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac{2x}{\sqrt\pi} \int_0^1 e^{-x^2u^2 } \,{\rm d}u )]
아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다. 이러한 개형을 시그모이드라고 부른다.
1.1. 특성
- [math(\left| \operatorname{erf}(x) \right| < 1)]을 만족한다.
-
피적분함수가
우함수이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 [math(\operatorname{erf}(x))]는
기함수가 된다. 따라서 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = -\operatorname{erf}(-x) )]}}}
- [math(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \operatorname{erf}(x) = -1)], [math(\displaystyle \lim_{x\to0} \operatorname{erf}(x) = 0)], [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \operatorname{erf}(x) = 1)]이 성립한다.
- 복소 선적분을 이용하여 오차함수의 정의역을 복소수 전체로 확장할 수 있다. [math(\operatorname{erf}(x))]의 정의식의 적분 위끝에 복소수 [math(z)]가 들어간다고 하면, 이는 0에서 [math(z)]로 가는 임의의 조각적으로 매끄러운(piecewise smooth) 경로를 따라 복소 선적분한 값으로 이해한다. 가우스 함수는 전해석함수(entire function)이므로 이 적분값은 시작점과 끝점이 같은 모든 경로에 대해 같은 값을 가진다. 따라서 오차함수는 복소수 범위에서 잘 정의된다.
-
모든 복소수 [math(z)]에 대하여 다음이 성립한다. (단, [math(z^{\ast})]는 [math(z)]의 켤레 복소수이다.)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(z^\ast) = \operatorname{erf}^\ast (z) )]}}} -
오차함수를 테일러 전개하면 아래와 같다. 자세히 보면 알겠지만, 다항함수가 합성된 지수함수의 매클로린 급수를 다시 적분하고 실수배를 한 형태이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \operatorname{erf}(z) = \frac2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! \cdot(2n+1)} )]}}} -
쌍곡선 함수 중 [math(y=\tanh{x})]의 그래프와 개형이 상당히 닮았고, 그 때문에
이걸 주제로 한 논문까지 나와 있을 정도다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
}}}
2. 관련 함수
2.1. 여오차함수
complementary error function · 餘 誤 差 函 數여오차함수는 [math(1)]에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는 [math(\operatorname{erfc}(x))]로 쓴다.
[math(\displaystyle \operatorname{erfc}(x) \equiv 1-\operatorname{erf}(x) )]
식의 형태를 보면 오차함수를 [math(x)]축에 대칭 이동한 후 [math(y)]축 방향으로 [math(+1)]만큼 이동한 것이다.
한편,
[math(\displaystyle \frac2{\sqrt\pi} \int_0^\infty e^{-t^2} \,{\rm d}t = 1 )]
임을 이용하면 다음과 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfc}(x) &= \frac2{\sqrt\pi} \int_0^\infty e^{-t^2} \,{\rm d}t -\frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2} \,{\rm d}t \\
&= \frac2{\sqrt\pi} \int_0^\infty e^{-t^2} \,{\rm d}t +\frac2{\sqrt\pi} \int_x^0 e^{-t^2} \,{\rm d}t \\
&= \frac2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
이상에서 여오차함수는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfc}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
여오차함수도 오차함수의 경우와 같이 [math(t=xu)]로 치환함으로써 조금 다른 형태의 적분식으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfc}(x) = \frac{2x}{\sqrt\pi} \int_1^\infty e^{-x^2u^2} \,{\rm d}u
\end{aligned} )]
아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
2.2. 정규분포의 누적 분포 함수
2.3. 복소오차함수
imaginary error function · 複 素 誤 差 函 數복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는 [math(\operatorname{erfi}(x))]로 쓴다.
[math(\displaystyle
\operatorname{erfi}(x) \equiv -i\operatorname{erf}(ix) = -\frac{2i}{\sqrt\pi} \int_0^{ix} e^{-t^2} \,{\rm d}t
)]
이때, 적절한 변수 치환을 위해 [math(t \equiv iv)]라 놓으면, 위 적분은 다음과 같이 쓸 수 있고
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfi}(x) &= -\frac{2i}{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-(iv)^2} i\,{\rm d}v \\
&= \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{v^2} \,{\rm d}v
\end{aligned} )]
[math(t)], [math(v)]는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로, 우리는 위 결과를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfi}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{t^2} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
또한, 위 식의 양 변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \!\left[ \frac{\sqrt\pi}2 \operatorname{erfi}(x) \right] \!&= e^{x^2} \\
\Rightarrow \int e^{x^2} \,{\rm d}x &= \frac{\sqrt\pi}2 \operatorname{erfi}(x) + C
\end{aligned} )]
임을 얻는다.
복소오차함수도 여오차함수와 오차함수의 경우와 같이 [math(t=xu)]로 치환함으로써 조금 다른 형태의 적분식으로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{erfi}(x) = \frac{2x}{\sqrt\pi} \int_0^1 e^{x^2u^2} \,{\rm d}u
\end{aligned} )]
아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
2.4. 프레넬 적분 함수
2.5. 불완전 감마 함수
3. 관련 공식
-
[math(\displaystyle \int_0^\infty \frac1x \operatorname{erf}\biggl(\frac1x\biggr) \operatorname{erfc}\biggl(\frac1x\biggr) {\rm d}x = \frac{2G}\pi \approx 0.5831218081 \quad)] (단, [math(G)]는
카탈랑 상수)
증명은 카탈랑 상수 문서 참고.
-
[math(\displaystyle \int_0^1 (\operatorname{erf}^{-1} (\sqrt x))^2 \,{\rm d}x = \frac12 +\frac1\pi \approx 0.8183098862 \quad)] (단, [math(\operatorname{erf}^{-1}(x))]는 [math(\operatorname{erf}(x))]의 역함수)
[math(\operatorname{erf}^{-1}(\sqrt x) = u)]로 치환하자. 그러면 [math(\displaystyle \sqrt x = \operatorname{erf}(u) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^u e^{-t^2} \,{\rm d}t)]이므로 다음의 과정을 통해 [math({\rm d}x)]를 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt x &= \operatorname{erf}(u) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^u e^{-t^2} \,{\rm d}t \\
\Rightarrow \quad \frac{{\rm d}x}{2\sqrt x} &= \frac2{\sqrt\pi} \,e^{-u^2} \,{\rm d}u \\
\Rightarrow \quad {\rm d}x &= \frac4{\sqrt\pi} \,e^{-u^2} \sqrt x \,{\rm d}u = \frac4{\sqrt\pi} \,e^{-u^2} \operatorname{erf}(u) \,{\rm d}u
\end{aligned} )]
이제 준 적분에 적용하고 [math(u^2=x)]로 치환하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 (\operatorname{erf}^{-1} (\sqrt x))^2 \,{\rm d}x &= \int_0^\infty u^2 \cdot \frac4{\sqrt\pi} \,e^{-u^2} \operatorname{erf}(u) \,{\rm d}u \\
&= \frac4{\sqrt\pi} \int_0^\infty u^2 e^{-u^2} \cdot \frac{2u}{\sqrt\pi} \int_0^1 e^{-u^2t^2} \,{\rm d}t \,{\rm d}u \\
&= \frac4\pi \int_0^1 \int_0^\infty u^2 e^{-u^2(1+t^2)} \cdot 2u \,{\rm d}u \,{\rm d}t \\
&= \frac4\pi \int_0^1 \int_0^\infty x e^{-x(1+t^2)} \,{\rm d}x \,{\rm d}t \\
&= \frac4\pi \int_0^1 \biggl[ -\frac{xe^{-(1+t^2)x}}{1+t^2} -\frac{e^{-(1+t^2)x}}{(1+t^2)^2} \biggr]_{x\to0}^{x\to\infty} \,{\rm d}t \\
&= \frac4\pi \int_0^1 \frac1{(1+t^2)^2} \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
[math(t = \tan u)]로 치환하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 (\operatorname{erf}^{-1} (\sqrt x))^2 \,{\rm d}x &= \frac4\pi \int_0^1 \frac1{(1+t^2)^2} \,{\rm d}t \\
&= \frac4\pi \int_0^{\pi/4} \frac1{\sec^4u} \cdot \sec^2u \,{\rm d}u \\
&= \frac4\pi \int_0^{\pi/4} \cos^2u \,{\rm d}u \\
&= \frac4\pi \int_0^{\pi/4} \frac{\cos2u+1}2 \,{\rm d}u \\
&= \frac4\pi \biggl[ \frac14 \sin2u +\frac12 u \biggr]_0^{\pi/4} \\
&= \frac4\pi \biggl( \frac14 +\frac\pi8 \biggr) \\
&= \frac12 +\frac1\pi
\end{aligned} )]
}}}||
4. 여담
- 위에서 봤던 것 처럼 [math(f(x)=e^{\pm x^{2}})] 꼴의 함수는 역도함수가 초등함수로 표현되지 않기 때문에[1][2], 역도함수를 직접 그려보지 않는 이상은 그래프의 형태와 성질 모두 추론하기 어렵다. 이와 관련된 문제가 나오면 적분 연산 자체나 보기에서 주어진 식들을 응용하여 문제를 해결해야 할 수밖에 없다. 그렇기 때문에 수능에서 미적분 파트의 상위권 변별 문제에서 간간이 등장하는 함수이다.[3]
- 실제로 지식iN 같은 데서 미적분 관련 질문들 중 [math(f(x)=e^{\pm x^{2}})] 꼴의 함수의 적분을 어떻게 하는지 물어보는 고등학생들의 질문이 간간이 보인다.[4]
- 통계학에서는 매우 중요한 함수이다. 주로 정규 분포와 엮어서 등장하게 된다. 물리학에서도 통계역학 파트에서 간간이 등장하는 함수이다.
- 그래프 개형이 쌍곡선 함수 중 하나인 [math(\tanh x)] 와 비슷하다. 그리고 이러한 그래프에 관해 나온 합답형 문제가 2017학년도 6월 고3 모의평가 가형 21번에 출제되었다.
5. 관련 문서
[1]
즉, 고등학교 수학이나 대학 신입생 기초 미적분학 수준으로는 적분 공식으로 적분할 수 없는 함수이기 때문에
[2]
참고로 이 함수를 치환적분과 부분적분으로 표현하려하면 식이 무한급수 형태가 되어버린다. 그 이유는 이 함수가 지수함수와 이차함수의 합성함수라서 치환적분을 하려면 도함수가 곱해져 있어야 하는데, 없으니 직접 만들어야 하고, 여기에 치환적분을 적용하면 도함수를 표현하기 위해 곱해진 함수가 치환되면서 지수가 정수로 나눠 떨어지지 않기 때문이다. 여기에 부분적분을 계속 적용하면 항이 무한히 많아진다.
[3]
실제로 2017학년도 9월 모의수능 수학 영역 가형 21번에서 이 함수의 변형 형태가 나왔다. 이 식이 나온 보기는 적분이 불가능하기에, 다른 보기에 나오는 식을 변형해서 문제를 해결해야 한다.
[4]
이 적분을 풀려면 극좌표계와 이상적분의 개념을 이해하고 있어야 한다.