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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
에르미트 함수(Hermite function) 혹은 에르미트 다항식(Hermite polynomial)은 아래의 에르미트의 미분 방정식[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}}-2x \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+2n y=0 )]
을 만족시키는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 에르미트(Charles Hermite; 1822 - 1901)의 이름에서 따온 것이다.
단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 이곳(영어)을 참고하라.
2. 상세
해당 미분 방정식은 급수해 해법으로 풀 수 있으며, 위 방정식의 해를 다음의 꼴로 가정하는 것부터 시작한다.[math(\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned} )]
로 바꿀 수 있고, 각 항의 계수를 비교함으로써 계수에 대한 점화식
[math(\displaystyle a_{m+2}=-\frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m} )]
따라서 위 방정식의 해는
[math(\displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1} )]
으로 쓸 수 있으며, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{0}& \equiv a_{0} \left[1-\frac{2n}{2!}x^{2}+\frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-\frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ \cdots \right] \\ y_{1}& \equiv a_{1} \left[x-\frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+\frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-\frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ \cdots \right] \end{aligned} )]
이때, [math(n)]이 0을 포함한 자연수라면, [math(y_{0})] 혹은 [math(y_{1})]은 다항함수 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 에르미트 함수라 하고, 기호로 [math(H_{n}(x))]로 나타낸다.
3. 분석
3.1. 종류
다음은 몇몇 에르미트 함수의 목록을 나타낸 것이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
H_0(x) &= 1 \\
H_1(x) &= 2x \\
H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\
H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \\
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \\
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \\
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \\
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \\
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240
\end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래의 그래프는 [math([-2,\,2])] 구간에서 몇몇 에르미트 함수의 그래프를 나타낸 것이다.위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 [math(x=0)] 위의 미분 계수는 0이 된다.
[math(y)]축 위의 함숫값은 아래와 같다.
[math(\displaystyle H_{n}(0)=\begin{cases}
0 & \text{ for odd } n \\
(-2)^{n/2}(n-1)!! & \text{ for even } n
\end{cases} )]
3.3. 생성 함수
에르미트 함수의 생성 함수는 다음과 같다.[math(\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n} )]
3.4. 로드리게스 공식
에르미트 함수는[math(\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}e^{-x^{2}} )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 에르미트 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)이라 한다.
[math(\displaystyle y=e^{-x^{2}} )]에서 양변을 미분하면,
[math(\displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy \;\to \;y'+2xy=0 )]
으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 미분하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle y''+2y+2xy'=0 )]}}}
일반 라이프니츠 규칙을 상기해 이것을 [math(x)]에 대하여 [math(n)]번 미분하면
[math(\displaystyle y^{(n+2)}+2y^{(n)}+2\sum_{k=0} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+1)}=0 )]
이때, 일반 라이프니츠 규칙에 따라 [math(f^{(k)}={{\rm d}^{k}f}/{{\rm d}x^{k}})], [math( binom{n}{k}={}_{n}mathrm{C}_{k})]임을 참고하고, 이 결과는
[math(\displaystyle y^{(n+2)}+2xy^{(n+1)}+2(n+1) y^{(n)}=0 )]
이때, [math(y^{(n)} \equiv u)]이라 놓으면,
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^{2}u}{{\rm d}x^{2}}+2x \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+2(n+1)u=0 )]
함수 [math(\displaystyle u(x)=(-1)^{n} e^{-x^{2}}f(x) )]를 고려하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left( -2xf+ \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} \right) \\ \frac{{\rm d}^{2}u}{{\rm d}x^{2}}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}} \right] \end{aligned} )]
임을 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}} \right]+2x \left( -2xf+ \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} \right)+2(n+1) f&=0 \\ \frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}}-2x\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+2nf&=0 \end{aligned} )]
으로 정리되고, 이것은 명백한 에르미트의 미분 방정식이다. 따라서
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n} e^{-x^{2}}H_{n}(x) \; \to \; H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}e^{-x^{2}} )]
으로 쓸 수 있다. 다만, 다른 특수 함수와 같이 상수를 고려하는 과정은 거치지 않았는데, 그 이유는 에르미트 함수의 로드리게스 공식의 상수는 1이기 때문이다.
3.5. 재귀 관계
에르미트 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.- [math(\dfrac{{\rm d}H_{n}(x)}{{\rm d}x}=2nH_{n-1}(x))]
- [math(H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x))]
3.6. 직교성
에르미트 함수는 가중함수 [math(e^{-x^{2}})]에 대하여 실수 전체 구간에 대해 다음의 직교성을 가진다.[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x=2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} )]
여기서 [math(\delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
이것을 증명하기 위해 [math(n \neq m)]일 때를 우선적으로 증명하자. [math(H_{n}(x))], [math(H_{m}(x))]이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))], [math(e^{-x^{2}}H_{n}(x))]을 곱한 뒤 빼면,
[math(\displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)\left[ \frac{{\rm d}^{2}H_{n}(x)}{{\rm d}x^{2}}-2x \frac{{\rm d}H_{n}}{{\rm d}x} \right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)\left[ \frac{{\rm d}^{2}H_{m}(x)}{{\rm d}x^{2}}-2x \frac{{\rm d}H_{m}}{{\rm d}x} \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{{\rm d}H_{n}(x)}{{\rm d}x}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{{\rm d}H_{m}(x)}{{\rm d}x} \right) \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
양변을 실수 전체에 대해 적분하면,
[math(\displaystyle \left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{{\rm d}H_{n}(x)}{{\rm d}x}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{{\rm d}H_{m}(x)}{{\rm d}x} \right) \right]_{-\infty}^{\infty}+2(n-m) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x=0 )]
이때, [math(x \to \infty)], [math(x \to -\infty)]에서 [math(e^{-x^{2}} \to 0)]임을 상기하면, 좌변의 제1항은 0이 되고, [math(n \neq m)]임을 상기하면,
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x =0 \quad (n \neq m) )]
임을 얻을 수 있다.
[math(n=m)]일 때를 증명하자. 적분
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,{\rm d}x \equiv C_{n} )]
이라 놓자. 재귀 관계를 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ]\,{\rm d}x \\&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x)\,{\rm d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x)\,{\rm d}x \\
&=2n \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2}\,{\rm d}x \\ &=2nC_{n-1}\end{aligned} )]
이에 [math(\displaystyle C_{n+1}=2(n+1)C_{n} \; \to \; C_{n}=2^{n}n! C_{0} )]을 얻고,
[math(\displaystyle C_{0}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} )]
로 가우스 적분 문서의 결과를 참고하여 적을 수 있으므로
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,{\rm d}x=2^{n} n! \sqrt{\pi} \quad (n=m) )]
의 결과를 얻는다.
3.6.1. 푸리에-에르미트 급수
푸리에 급수로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 마찬가지로 실수 전체에서 정의된 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}H_{n}(x) )]
으로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-에르미트 급수(Fourier-Hermite series)'라 한다. 각 계수를 구하기 위해 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))]를 곱한 뒤 실수 전체에 대해 적분하자.
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x )]
에르미트 함수의 직교성에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,{\rm d}x&= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} \\ &=2^{n} n! \sqrt{\pi} a_{m} \end{aligned} )]
이에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n} n! \sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x)\,{\rm d}x )]