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최근 수정 시각 : 2024-03-16 09:08:49

구데르만 함수

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1. 개요2. 항등식3. 극한값 및 미적분

1. 개요

구데르만 함수(Gudermannian function)는 람베르트[1]가 만들고 후에 독일의 수학자 구데르만의 이름이 붙은 특수함수의 일종으로, 실수 [math(x)]에 대해 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &\equiv \int_0^x \operatorname{sech}t \,{\rm d}t
\end{aligned})]

구데르만 함수의 역함수는 [math(-\dfrac\pi2 < x < \dfrac\pi2)]인 실수 [math(x)]에 대해 정의되고 다음과 같이 표현할 수 있으며, 람베르트의 이름을 따서 Lambertian function이라고 부르기도 한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{igd}(x) = \int_0^x \sec t \,{\rm d}t
\end{aligned})]
[유도 과정]
-------
[math(x=\operatorname{gd}(y) \iff \operatorname{igd}(x)=y)]의 양 변을 미분하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{igd}(x) &= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac1{\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}y}} = \frac1{\dfrac{\rm d}{{\rm d}y} \operatorname{gd}(y)} \\
&= \frac1{\operatorname{sech}y} = \cosh y
\end{aligned} )]

한편, 아래의 항등식 문단에서 나오는 공식 중 [math(\operatorname{gd}(y) = (\operatorname{arcsec} \circ \cosh)(y) \cdot \operatorname{sgn}(y))]를 이용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned}
x &= \operatorname{gd}(y) = (\operatorname{arcsec} \circ \cosh)(y) \cdot \operatorname{sgn}(y) \\
\Rightarrow \quad \sec x &= \sec(\operatorname{gd}y) = \cosh y
\end{aligned} )]

따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{igd}(x) &= \cosh y \\
&= \sec x
\end{aligned} )]

이 식을 적분하면 원하는 식을 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^x \frac{\rm d}{{\rm d}t} \operatorname{igd}(t) \,{\rm d}t = \operatorname{igd}(x) = \int_0^x \sec t \,{\rm d}t
\end{aligned} )]

위 두 함수는 해석적 연속을 통해 다음과 같이 정의역을 모든 복소수 [math(z)]로 확장할 수 있다. 자세한 내용은 영문 위키피디아 문서를 참고하라.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(z) &\equiv 2\arctan \Bigl( \tanh\frac z2 \Bigr) \\
\operatorname{igd}(z) &\equiv 2\operatorname{artanh} \Bigl( \tan\frac z2 \Bigr)
\end{aligned})]


형태에서 보듯 특정 삼각함수, 쌍곡선 함수의 정적분으로 정의된다. 이 두 함수는 서로 역함수 관계이며 원점 대칭함수( 기함수)이다.

그래프는 다음과 같으며, [math(\rm(a))]와 [math(\rm(b))]는 각각 [math(y=\operatorname{gd}(x))], [math(y=\operatorname{igd}(x))]의 그래프이다.

파일:Plotting_Gudermannian function.png
[math(y=\operatorname{gd}(x))]와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.

2. 항등식

이 두 함수는 다음과 같이 나타낼 수도 있다. 아래에서 [math(\operatorname{sgn}(x))]는 부호 함수이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= (\arcsin \circ \tanh)(x) \\
&= (\arccos \circ \operatorname{sech})(x) \cdot \operatorname{sgn}(x)\\
&= (\arctan \circ \sinh)(x) \\
&= (\operatorname{arccot} \circ \operatorname{csch})(x) \\
&= (\operatorname{arcsec} \circ \cosh)(x) \cdot \operatorname{sgn}(x) \\
&= (\operatorname{arccsc} \circ \coth)(x) \\
&= 2\arctan(e^x) -\dfrac\pi2 \\
&= 2(\arctan \circ \tanh) \!\left( \frac x2 \right) \\
\\
\operatorname{igd}(x) &= \ln \left| \sec x + \tan x \right| \\
&= \ln \left| \tan \!\left( \frac\pi4 +\frac x2 \right) \right| \\
&= (\operatorname{artanh} \circ \sin)(x) \\
&= (\operatorname{arsinh} \circ \tan)(x) \\
&= 2(\operatorname{artanh} \circ \tan) \!\left( \dfrac x2 \right)
\end{aligned} )]

위의 수식들 중 일부를 증명해보자.
정의식을 조금만 변형해보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= \int_0^x \operatorname{sech}t \,{\rm d}t = \int_0^x \frac1{\cosh t} \,{\rm d}t = \int_0^x \frac{\cosh t}{\cosh^2t} \,{\rm d}t \\
&= \int_0^x \frac{\cosh t}{1 +\sinh^2t} \,{\rm d}t \\
\end{aligned} )]

[math(\sinh t=u)]로 치환하면 [math(\cosh t \,{\rm d}t = {\rm d}u)]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= \int_0^x \frac{\cosh t}{1 +\sinh^2t} \,{\rm d}t = \int_0^{\sinh x} \frac1{1+u^2} \,{\rm d}u \\
&= \Bigl. \arctan u \Bigr|_0^{\sinh x} \\
&= \arctan(\sinh x)
\end{aligned} )]

}}}||
[math(\operatorname{gd}(x) = (\arctan \circ \sinh)(x))]로부터 [math(\tan(\operatorname{gd}x) = \sinh x)]임을 얻을 수 있다. 이 식에 착안해서, 내각의 크기가 [math(\operatorname{gd}(x))]이고 밑변의 길이가 1이고 높이가 [math(\sinh x)]인 직각삼각형을 생각하자. 그러면 빗변의 길이는 자연스럽게 [math(\sqrt{1^2 +\sinh^2x} = \cosh x)]임을 알 수 있다. 이 삼각형을 이용하면 다음의 5가지 식을 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sin(\operatorname{gd}x) &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x \\
\cos(\operatorname{gd}x) &= \frac1{\cosh x} = \operatorname{sech}x \\
\cot(\operatorname{gd}x) &= \frac1{\tan(\operatorname{gd}x)} = \frac1{\sinh x} = \operatorname{csch}x \\
\sec(\operatorname{gd}x) &= \frac1{\cos(\operatorname{gd}x)} = \cosh x \\
\csc(\operatorname{gd}x) &= \frac1{\sin(\operatorname{gd}x)} = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x
\end{aligned} )]

양 변에 각각의 역함수를 취하면 다음 항등식을 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= \arcsin(\tanh x) \\
\operatorname{gd}(x) &= \arccos(\operatorname{sech}x) \\
\operatorname{gd}(x) &= \operatorname{arccot}(\operatorname{csch}x) \\
\operatorname{gd}(x) &= \operatorname{arcsec}(\cosh x) \\
\operatorname{gd}(x) &= \operatorname{arccsc}(\coth x)
\end{aligned} )]
(단, [math(x\geq0)])

한편, [math(\cos x)], [math(\sec x)], [math(\cosh x)], [math(\operatorname{sech}x)]는 모두 짝함수이기 때문에 [math(x<0)]에서 그래프가 [math(x)]축을 기준으로 역전이 돼버리므로, 부호 함수를 취함으로써 [math(x<0)]에서도 잘 정의되게 할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= (\arcsin \circ \tanh)(x) \\
&= (\arccos \circ \operatorname{sech})(x) \cdot \operatorname{sgn}(x)\\
&= (\arctan \circ \sinh)(x) \\
&= (\operatorname{arcsec} \circ \cosh)(x) \cdot \operatorname{sgn}(x) \\
&= (\operatorname{arccsc} \circ \coth)(x)
\end{aligned} )]

}}}||
정의식에서 쌍곡선 함수의 정의를 그대로 대입하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= \int_0^x \operatorname{sech}t \,{\rm d}t = \int_0^x \frac1{\cosh t} \,{\rm d}t \\
&= \int_0^x \frac2{e^t+e^{-t}} \,{\rm d}t = 2\int_0^x \frac{e^t}{e^{2t}+1} \,{\rm d}t \\
\end{aligned} )]

[math(u=e^t)]로 치환하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{gd}(x) &= 2\int_0^x \frac{e^t}{e^{2t}+1} \,{\rm d}t = 2\int_1^{e^x} \frac1{u^2+1} \,{\rm d}u \\
&= 2\Bigl[ \arctan u \Bigr]_1^{e^x} \\
&= 2\arctan(e^x) -\frac\pi2
\end{aligned} )]

}}}||

구데르만 역함수는 타원 적분과도 관계가 있다.
제1종 타원 적분 [math(F(phi,k))]에 [math(\phi=x)], [math(k=1)]를 대입하면 된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
F(\phi, k) &= \int_0^\phi \frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \,{\rm d}\theta \\
\Rightarrow \quad F(x, 1) &= \int_0^x \frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^x \sec\theta \,{\rm d}\theta \\
&= \operatorname{igd}(x)
\end{aligned} )]

}}}||

3. 극한값 및 미적분


[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x \to \pm\infty} \operatorname{gd}(x) &= \pm \frac\pi2 \\
\lim_{x \to \pm\pi/2} \operatorname{igd}(x) &= \pm \infty
\end{aligned} )]}}}
구데르만 역함수의 표현식을 그대로 대입한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^{\pi/2} \operatorname{igd}(x) \,{\rm d}x &= \int_0^{\pi/2} \int_0^x \sec t \,{\rm d}t \,{\rm d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_t^{\pi/2} \sec t \,{\rm d}x \,{\rm d}t \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_t^{\pi/2} \,{\rm d}x \cdot \sec t \,{\rm d}t \\
&= \int_0^{\pi/2} \biggl( \frac\pi2-t \biggr) \frac{{\rm d}t}{\cos t}
\end{aligned} )]

[math(\dfrac\pi2-t=x)]로 치환하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^{\pi/2} \operatorname{igd}(x) \,{\rm d}x &= \int_0^{\pi/2} \biggl( \frac\pi2-t \biggr) \frac{{\rm d}t}{\cos t} \\
&= \int_{\pi/2}^0 x \cdot \frac{-{\rm d}x}{\sin x} \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac x{\sin x} \,{\rm d}x \\
&= 2G \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]

[math(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac x{\sin x} \,{\rm d}x = 2G)]인 이유는 카탈랑 상수 문서의 항등식 문단에 증명되어 있다.
}}}||

[1] 람베르트 W 함수의 그 람베르트이다.

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