역행렬

선형대수학 Linear Algebra
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1. 개요2. 유일성 증명3. 가역행렬과 행렬식4. 2×2, 3×3 행렬의 역행렬5. 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan elimination)6. 크라메르 공식으로 역행렬 구하기

1. 개요

역행렬(inverse matrix)은 사각행렬 [math( A )]의 곱셈에 대한 역원 [math( A^{-1} )]을 말한다. 후술할 단위행렬은, 곱셈에 대한 항등원이다. 즉,

[math(A^{-1}A=AA^{-1}=I )]

을 만족시키는 유일한 [math(A^{-1} )]을 말한다.[1]

역행렬은 아래와 같이 정의한다.

[math(\displaystyle A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\,A }{\det{A} } )][2]

표기(notation)는 [math(\square^{-1})]이다.

2. 유일성 증명

행렬 [math(A)]의 역행렬이 존재할 때, 그 역행렬 [math(A^{-1})]은 유일하다. 증명은 다음과 같다.

1. [math(A)]의 역행렬이 여러 개라고 가정하고, 이들 중 두 역행렬을 각각 [math(B, C)]라 하자.
2. 행렬곱의 결합법칙에 의해 [math(B(AC)=(BA)C)]이다.
3. 이때 [math(AC=I, BA=I)]이므로 [math(B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C)]이므로 [math(B=C)]이다.

따라서 [math(A)]의 모든 역행렬이 서로 같으므로, 결국 [math(A^{-1})]은 유일하다.

여기서 결합법칙으로 [math(B(AC)=(BA)C)] 대신 [math(C(AB)=(CA)B)]를 이용할 수도 있고, 이때는 [math(C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B)]로 증명할 수 있다.

3. 가역행렬과 행렬식

이때, 주어진 행렬이 언제 가역이 되는지가 문제이다. [math( 2\times2)] 행렬의 경우에는 아래 식에 따라 행렬식 [math( A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} )]이 [math( 0)]이 아니면 가역이 됨을 알 수 있다. 크기가 이보다 큰 행렬에서도 마찬가지로 행렬식만 보면 알 수 있다. 자세한 건 가역행렬의 기본정리 문서 참고. 일반적으로 [math( R)]이 [math( 1)]을 갖는 가환환일 때, [math( R)] 위의 정사각행렬이 가역인 것과 그 행렬식이 가역인 것은 동치이다.

문제는 일반적인 [math(n\times n)] 행렬의 행렬식을 어떻게 정의하느냐 하는 것이고, 이것이 학부 선형대수학의 전반부 대부분을 차지하는 내용이다.

4. 2×2, 3×3 행렬의 역행렬

우리가 주로 보는 [math(2 \times 2)] 행렬에 대한 역행렬은

[math(\displaystyle \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}}\begin{bmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{bmatrix} )]

이고, [math(3 \times 3)] 행렬에 대한 역행렬은

[math(\displaystyle \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{K} \begin{bmatrix} A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32} & A_{13}A_{32}-A_{12}A_{33} & A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22} \\ A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33} & A_{11}A_{33}-A_{13}A_{31} & A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23} \\ A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31} & A_{12}A_{31}-A_{11}A_{32} & A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21} \end{bmatrix} )]

이며, 여기서

[math(\displaystyle K=A_{11}A_{22}A_{33} - A_{11}A_{23}A_{32} - A_{12}A_{21}A_{33} + A_{12}A_{23}A_{31} + A_{13}A_{21}A_{32} - A_{13}A_{22}A_{31} )]

이다.

케일리-해밀턴 정리를 써서 간단히 표현하면

[math(\boldsymbol{2 \times 2})] 행렬: [math(\displaystyle A^{-1}\det{A}=I\operatorname{tr}A-A)]
[math(\boldsymbol{3 \times 3})] 행렬: [math(\displaystyle A^{-1}\det{A}=I \frac{\operatorname{tr}^2A-\operatorname{tr}A^2}2-A\operatorname{tr}A+A^2)]

이다.

[math(4 \times 4)] 행렬 이상의 크기를 가진 행렬은 공식이 있지만 매우 복잡하여 잘 쓰지 않고, 여러 가지 방법으로 역행렬을 구할 수 있다.

5. 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan elimination)

행렬에 다른 행렬을 첨가한 형태의 행렬을 첨가 행렬(augmented matrix)이라 한다. 이 방법을 통하여 역행렬을 구하는 것은 아래의 절차를 따르면 된다.

행렬 [math( A )]의 오른쪽에 같은 크기를 갖는 단위 행렬 [math(\,I\,)]를 첨가한 첨가 행렬 [math([A|I] )]를 만든다.
이 행렬에 기본행연산 [3]을 가하여 [math([I|B] )]을 만든다.
만약 이 과정에 성공하여 위와 같은 형태의 첨가 행렬이 나왔을 때, [math(A^{-1}=B)]이고, 나오지 않는다면 행렬 [math( A )]의 역행렬은 존재하지 않는다.

예시로 행렬

[math(\displaystyle A \equiv \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} )]

의 역행렬을 구해보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} [ A | I ] &= \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -3/2 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ & \sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 1& 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1/2 & 1 & 1 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 5/4 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5/12 & 1/6 & -1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right] \\ &\sim \left [ \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1/12 & -1/6 & 1/6 \\ 0 & 1 & 0 & 5/12 & 1/6 & -1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right]
\end{aligned} )]

따라서

[math(A^{-1}=\dfrac{1}{12}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \\ -3 & 6 & 6 \end{bmatrix} )]

6. 크라메르 공식으로 역행렬 구하기

자세한 내용은 크라메르 공식 문서 참고하십시오.

[1] 사실 [math( AA^{-1}=I )]나 [math( A^{-1}A=I )] 둘 중 하나만 만족시켜도 상관없다. 증명은 행렬식을 이용하거나 Elementary row (column) operation을 이용한다. [2] [math(\det{A})]는 행렬식, [math( \mathrm{adj}\,A)]는 고전적 수반행렬(Classical Adjoint)이다. [3] 한 행에 0이 아닌 상수를 곱하거나, 한 행에 다른 행을 더해주거나, 두 행의 위치를 서로 교환. 중학교 수학에서 가감법이라고 배운 것이 근본적으로는 기본행연산의 하나이다.

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