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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
主 對 角 合 / trace정사각 행렬([math(n\times n)] 행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬 [math(A)]의 주대각합은 [math(\mathrm{tr}(A))]로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.
[math(A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix})]
이라고 하면, [math(\mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n})]이다.줄여서 간단히 대각합이라고도 한다.
2. 성질
2.1. 기본적인 성질
[math(A)]가 [math(m \times n)]행렬이고, [math(B)]는 [math(n\times m)]행렬일 때,
[math( \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA))]
이때, [math(A)], [math(B)]는 정사각행렬이 아니어도 된다. 곱이 정사각행렬이기만 하면 된다.이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.
- 영행렬 [math(O)]에 대해서 [math(\mathrm{tr}(O) = 0)]이다.
- [math(n)]차 단위행렬 [math(I_n)]에 대해서 [math(\mathrm{tr}(I_n) = n)]이다.
2.2. 파생되는 성질
아래 성질들은 모두 행렬식 또한 만족하는데, 이는 행렬식의 기본 성질인 [math( \det(AB) = \det(A) \det(B) )][1]에서 비롯된다.- 상사인 두 행렬 [math(A)], [math(B)]에 대해 [math( \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B))]. [math(\det)]도 마찬가지.
- 이는 [math(A)]를 대각화한 행렬 [math(D)], 삼각화한 행렬 [math(T)]에 대해서도 당연히 성립. [math(\det)]도 마찬가지.
- 따라서 행렬식은 고윳값들의 곱이고, 주대각합은 고윳값들의 합이다. [math(D)], [math(T)]의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[2]
- 멱등행렬의 경우, 주대각합은 계수와 같다.
2.3. 다른 개념들과의 관계
위 성질들 때문에 행렬식과 관련된 성질이 굉장히 많아진다.- [math(n\times n)] 행렬 [math(A)]의 특성 다항식의 [math(n-1)]차항 계수는 [math( - \mathrm{tr}(A))]이다.
- [math( \det(e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)} )]. 이때 [math(\displaystyle e^A= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n )]이다. 테일러 급수 참고.
- 두 벡터 [math(\mathbf{a})], [math(\mathbf{b})]에 대해서 [math(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}))]가 성립한다. 기호 [math(\otimes)]는 텐서곱이다.
[math(\displaystyle \det(xI-A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)}))]
에서 [math(\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)}))]가 [math(n-1)]차 이상일 때만 [math(\det(xI-A))]의 [math(n-1)]차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 [math(\sigma(i)=i)]인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
3. 같이 보기
[1]
[math(A)], [math(B)]는 정사각행렬
[2]
이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.