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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
대각선행렬(對角線行列, diagonal matrix) 또는 대각행렬은 주대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 그리고 반대각선행렬은 반대각선 상에 위치한 원소가 아닌 나머지가 0인 행렬을 말한다. 이때 주대각선 이외의 행렬 성분은 [math(0)]이다.[math(M = \begin{pmatrix} {\color{red}a} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}b} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{red}c} \end{pmatrix} )]
행렬의 주대각선 성분만 가져와서 [math(\operatorname{diag}(a, b, c) )]라 부르기도 한다.
2. 주대각선
크기가 n × n인 정방행렬 M에서 주대각선(primary diagonal 또는 major diagonal)은 이 정방행렬 M의 i = j인 원소 Mij들을 말한다. 이 원소들이 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래 끝까지 대각선을 만든다고 해서 주대각선이라고 한다. 이와 반대로 반대각선(anti-diagonal)은 이 정방행렬 M의 i + j = n + 1 (또는 i + j - 1 = n) 인 원소 Mij들을 말한다. 오른쪽 위 끝에서 왼쪽 아래 끝으로 이어지는 대각선이 주대각선과 반대 방향이라서 반대각선이라고 한다.3. 주대각성분
주대각성분(main diagonal)은 그 행렬식(전형적으로 정사각 행렬)의 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래의 끝으로 이어지는 주대각선 상의 성분[1]을 뜻한다. 단위행렬은 주대각성분이 모두 1인 특수한 대각행렬이다.이 주대각성분만을 취하여 그 합을 구하는 것을 주대각합(trace)이라고 한다. 기호는 [math( \operatorname{tr}(\cdot) )].
skew-symmetric matrix[2]에서는 주대각성분들이 전부 0이어야 한다.
4. 예
4.1. 대각행렬 계산 예
대각행렬 계산은 대각곱과 같다.[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} )] [math( = \left( +5\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \right) )] [math( = + 5\left( -1\cdot4 - 0 \cdot 0\right) - 0 + 0 = 5 \cdot -1 \cdot 4 = -20)]
4.2. 대각합 계산 예
[math(M = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = + 5 + (-1) + 4 = 8)]5. 단위 행렬
단위행렬(identity matrix)은 대각행렬의 특수한 경우이자 대칭행렬의 특수한 경우이다.단위행렬(identity matrix)은 주대각성분은 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬로 기호로는 [math(I)], [math(E)] 등으로 적으며, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle I_{ij}=\delta_{ij} )]
여기서 [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.
한편
자신의 전치행렬과 같은 행렬.
[math(A=A^{T})]
인 행렬이다. 즉,
[math(A_{ij}=A_{ji})]
의 성질을 만족시키는 행렬이다.
5.1. n 단위행렬의 예
n=4일때 단위행렬[math( I = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} )]
[math( I_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix} = I_{ji} )]