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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
square root matrix수에 대한 제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 제곱근이 되는 행렬이 상당히 많다[1]. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 기준으로 삼을 수 있다.
2. 기본 성질
- [math(A^2=B)]일 때 [math(A)]를 [math(B)]의 제곱근행렬이라고 하므로, 제곱근행렬인 [math(A)]와 원래 행렬 [math(B)]는 모두 서로 같은 차수의 정사각행렬이다. 즉, 제곱근행렬은 정사각행렬에 대해서만 정의된다.
- [math(B)]의 제곱근행렬이 [math(A)]일 때,
- [math(-A)] 역시 [math(B)]의 제곱근행렬이다. [math(A^2=B)]이므로, [math((-A)^2=A^2=B)], 즉 [math((-A)^2=B)]가 성립하기 때문이다.
- 실수 [math(k)]에 대해 [math(kB)]의 제곱근행렬은 [math(\sqrt kA)]이다. ([math((\sqrt kA)^2=kA^2=kB)]). 이때 [math(k)]가 실수이므로 [math(k\ne0)]이라면 그 역도 성립함을 알 수 있다. 따라서 [math(B)]와 [math(kB)]의 제곱근행렬의 각 형태는 서로 간에 일대일 대응시킬 수 있다.
- [math(B)]의 역행렬 [math(B^{-1})]가 존재하면 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]가 존재하며, 이때 [math(B^{-1})]의 제곱근행렬은 [math(A^{-1})]이다.
- 증명 : [math(A^2=B)]이므로 양변에 [math(B^{-1})]을 곱하면 [math(B^{-1}A^2=B^{-1}B=I)]이고, 따라서 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]이 존재함을 알 수 있다. 한편, [math(B^{-1}A^2=I)]의 양변에 [math(A^{-1})]을 두 번 곱하면 [math(B^{-1}A^2(A^{-1})^2=(A^{-1})^2)], 즉 [math(B^{-1}=(A^{-1})^2)]가 된다.
- [math(B)]의 전치행렬 [math(B^T)]의 제곱근행렬 중 하나는 [math(A)]의 전치행렬 [math(A^T)]이다. 증명은 다음과 같다.
|
[math(B=A^2)]가 성립할 때 [math(A)]를 다음과 같이 정의하자.
[math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(B=A^2=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{1k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{1k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{1k}a_{kn} \\ \sum\limits_k a_{2k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{2k}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{nk}a_{k1} & \sum\limits_k a_{nk}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
따라서 다음이 성립한다.
[math(B^T=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{1k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k1} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{k1} \\ \sum\limits_k a_{1k}a_{k2} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{k2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{1k}a_{kn} & \sum\limits_k a_{2k}a_{kn} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
한편,
[math(A^T=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이므로
[math((A^T)^2=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{k1}a_{1k} & \sum\limits_k a_{k1}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{k1}a_{nk} \\ \sum\limits_k a_{k2}a_{1k} & \sum\limits_k a_{k2}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{k2}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{kn}a_{1k} & \sum\limits_k a_{kn}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{kn}a_{nk}\end{pmatrix}=B^T)] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
가 성립한다. 따라서 [math(B^T = (A^T)^2)]이므로 [math(A^T)]는 [math(B^T)]의 제곱근행렬이다.
|
3. 여러 행렬에 대한 제곱근행렬
3.1. 단위행렬
단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.[math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이 되는 경우의 수를 따져 보면 다음과 같다.
-
[math(n)]차정사각행렬
[math(\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
에 대해서 모든 [math(a_{kk} (k=1,\,2,\,\cdots,\,n))]의 값이 [math(1)] 또는 [math(-1)]인 경우 이 행렬은 [math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이며, 경우의 수는 총 [math(2^n)]가지이다. -
[math(n)]차정사각행렬
[math(\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & x_1 \\ 0 & \cdots & x_2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix})]
의 제곱은
[math(\begin{pmatrix} x_1x_n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_2x_{n-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_nx_1\end{pmatrix})]
이므로 이 행렬이 [math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이 되려면 [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac n2}x_{\frac n2+1}=1)] ([math(n)]은 짝수), [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac{n+1}2}x_{\frac{n+1}2}=1)] ([math(n)]은 홀수) 이어야 한다.
3.1.1. 2x2 단위행렬
[math(2\times2)] 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다.| [math(\sqrt{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}} = \begin{cases}\pm\cfrac1h\begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \\ \pm\cfrac1h\begin{bmatrix} -b & a \\ a & b \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\end{cases})] |
여기서 [math(a)], [math(b)], [math(h)] 는 [math(a^2 + b^2 = h^2)]를 만족시키는 자연수이다.
간단히 쓰면
1. [math(\sqrt{I_2} = \pm I_2)]
2. [math(\sqrt{I_2} = \vec\sigma \cdot \vec u)]
이렇게 쓸 수 있다.([math(\sigma)]는 파울리 행렬들, [math(u)]는 성분이 실수나 복소수 값을 가지며, (복소켤레 없이 그냥) 제곱하면 1이 되는 벡터)
2차원 평면상에서의 여러 가지 대칭변환 및 180° 회전변환(=원점 대칭변환)의 행렬표현은 선형 변환과 그 행렬표현의 관계에 의하여 [math(2\times2)] 단위행렬의 제곱근행렬이며 위의 10가지 중 하나에 속한다.
- [math(y=mx)]에 대한 대칭변환의 행렬표현 [math(\cfrac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]에서 [math(b=1-m^2, a=2m, h^2=a^2+b^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2)]이면 1번째와 같아진다.
- 복부호 순서대로 각각 세 번째는 항등변환 및 원점 대칭변환, 네 번째는 [math(y)]축 및 [math(x)]축 대칭변환, 다섯 번째는 직선 [math(y=x)], [math(y=-x)]에 대한 대칭변환의 행렬표현이다.
3.2. 영행렬
[math(n)]차 정사각행렬인 영행렬 [math(O_n)]에 대해서 영행렬 그 자체는 영행렬의 제곱근행렬이다. 영행렬의 제곱근행렬은 제곱했을 때 영행렬이 되므로 멱영행렬에 속한다.3.3. 1차 정사각행렬
일차정사각행렬 [math(A=\begin{pmatrix}a\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(a\ge0)]일 때만 존재하며, [math(\begin{pmatrix}\pm\sqrt a\end{pmatrix})]이 유일하다.3.4. 2차 정사각행렬
일반적인 공식은 이렇다.[math(\sqrt{a_0+\vec\sigma \cdot \vec a}=\dfrac A2 +\dfrac{\vec\sigma \cdot \vec a}A)]
[math(\left(~※~A=\pm_{1}\sqrt{a_0+|\vec a|}\pm_{2}\sqrt{a_0-|\vec a|}~\right))]
여기서 [math(\sigma)]는
파울리 행렬이며, [math(\pm)]는 같은 첨자끼리
복호동순이다.그리고 [math(a)]가 복소수라 해도 켤레를 취하지 않고
[math(|\vec a|=\sqrt{\vec a \cdot \vec a})]
이렇게 그대로 계산한다.
3.4.1. 특수사례
선형변환의 행렬 표현과 같이 사용 사례로서의 의미가 있거나, 문자로 표시되는 변수를 제외한 모든 성분이 [math(-1)], [math(0)], [math(1)] 중 하나인 경우에 한해서, 몇 가지 2차 정사각행렬의 제곱근행렬은 다음과 같다.- 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix})]와 [math(\begin{pmatrix} \cos(\pi+\theta/2) & -\sin(\pi+\theta/2) \\ \sin(\pi+\theta/2) & \cos(\pi+\theta/2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\cos(\theta/2) & \sin(\theta/2) \\ -\sin(\theta/2) & -\cos(\theta/2) \end{pmatrix})]이다.
- [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a/2 & 1\end{pmatrix})]이다.
- [math(\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & a/2 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
- [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]이다.
- [math(\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
- 원점 대칭 선형변환의 행렬표현인 [math(-I=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix})] (단, [math(a^2=-1-bc)]) 꼴로, 예를 들어 다음과 같다.
| 90°, 270° 회전변환의 행렬표현 | [math(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})] |
| 기타 | [math(\pm\begin{pmatrix}1 & a \\ -2/a & -1\end{pmatrix})] (단, [math(a\ne0)]) |
3.4.2. 제곱근행렬이 실수여야 할때
어떤 2차 정사각행렬의 제곱근행렬이 존재하는지 판정하고 그것들이 어떤 형태인지 알려면 다음의 방법을 이용하면 된다.|
1. 2차 정사각행렬의 제곱근행렬을 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix})]로 놓는다. 2. 이 행렬을 제곱하면 [math(A^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix})]이다. 3. [math(A^2)]가 제곱근행렬을 구하려는 2차 정사각행렬과 같다고 놓고 [math(a, b, c, d)]에 대해서 방정식을 푼다. 4. 이 방정식의 해가 제곱근행렬이다. 즉 이 방정식의 해가 존재하면 제곱근행렬이 존재하는 것이고, 해가 없으면 제곱근행렬이 존재하지 않는 것이다. |
- 2차 단위행렬의 제곱근행렬 중 하나이자 y=x에 대한 대칭변환의 행렬표현인 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬을 구하기 위해 이 방법을 사용하면 [math(\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이라는 식을 [math(a, b, c, d)]에 대해 풀어야 하는데, 이때 다음과 같이 모순이 생긴다. 따라서 이 행렬의 제곱근행렬은 존재하지 않는다.
- [math(a^2+bc=0, d^2+bc=0)]에 의해 [math(a^2=d^2=-bc)]이어야 한다.
- [math(b(a+d)=1, c(a+d)=1)]에 의해 [math(b=c=\cfrac1{a+d})]이어야 한다.
- 위 두 식을 연립하면 [math(a^2=d^2=-b^2=-c^2)]라는 결론이 도출되는데, 이것을 만족시키는 유일한 해는 [math(a=b=c=d=0)]뿐이고, 이때 영행렬이 되므로 제곱해도 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이 아니라 영행렬이 된다.
- 마찬가지로 [math(\begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ x_2 & 0\end{pmatrix})] (단, [math(x_1, x_2)] 중 하나 이상이 0이 아님)의 제곱근행렬도 존재하지 않는다.
3.5. 3차 이상의 정사각행렬
n차 정사각행렬[math(S_n=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
에 대해서
[math({S_n}^2=\begin{pmatrix}{a_{11}}^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {a_{22}}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {a_{nn}}^2\end{pmatrix})]
이므로, 모든 [math(a_{kk} (k=1,2,...,n))]의 값이 0 또는 1인 경우 [math(S_n)]은 자기 자신의 제곱근행렬이다.
성분이 모두 a인 n차 정사각행렬
[math(A_n=\begin{pmatrix}a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a\end{pmatrix})]
의 제곱근행렬은 성분이 모두 [math(\pm\sqrt{\cfrac an})]인 [math(n)]차 정사각행렬
[math(\pm\sqrt{\cfrac1{an}}A_n = \pm\begin{pmatrix}\sqrt{\cfrac an} & \cdots & \sqrt{\cfrac an} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sqrt{\cfrac an} & \cdots & \sqrt{\cfrac an}\end{pmatrix})]
이다.
4. n제곱근행렬
제곱근행렬과 마찬가지의 방법으로 n제곱근행렬, 즉 행렬의 n제곱근을 생각할 수 있다. 즉 [math(A)]가 [math(B)]의 n제곱근이라는 것은 [math(A^n=B)]임을 의미한다. 마찬가지로 정사각행렬에 대해서만 정의된다.- n차 정사각행렬에 대해서 영행렬 [math(O)], 단위행렬 [math(I)]는 k가 1 이상의 자연수일 때 자기 자신의 k제곱근행렬이다.
-
2차 정사각행렬 중 원점을 중심으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix})]의 n제곱근은 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다.
[math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\theta+2\pi k}n & -\sin\cfrac{\theta+2\pi k}n \\ \sin\cfrac{\theta+2\pi k}n & \cos\cfrac{\theta+2\pi k}n\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)]) -
예를 들어 원점을 중심으로 60°만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 \end{pmatrix})]의 4제곱근은 다음과 같다.
[math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 & -\sin\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 \\ \sin\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 & \cos\cfrac{\pi/3+2\pi k}4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\cfrac{6k+1}{12}\pi & -\sin\cfrac{6k+1}{12}\pi \\ \sin\cfrac{6k+1}{12}\pi & \cos\cfrac{6k+1}{12}\pi\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,1,2,3)])
5. 여담
Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.
[1]
[math(A^2 = B)]라면 [math(A)]와 상사인 임의의 행렬 [math(C)]에 대해 [math(C^2 = B)]이다. 물론 [math(\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \end{bmatrix})] 같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.