1. 개요
thin-lens equation얇은 렌즈의 상 거리, 물체 거리, 초점 거리 간의 관계를 담은 방정식이다. 물체 거리를 [math(a)], 상 거리를 [math(b)], 렌즈의 초점 거리를 [math(f)]라 할 때 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{1}{f} \end{aligned} )]
이 문서에는 얇은 구면 렌즈만 다루도록 한다.
이 문서에서의 모든 식엔 "광학의 부호 규약"이 사용되었다.
2. 구면에서의 굴절
그림과 같이 굴절률 [math(n_{1})]인 매질에서 굴절률 [math(n_{2})]인 매질로 빛을 투과한다고 생각해보자. 이때, 그 경계는 구면이며, [math(n_{1}<n_{2})]이다. 구면의 곡률 반지름은 [math(R>0)]이다.
광축 위 점 [math(\rm O)]에서 점광원에서 빛이 방사되었다고 생각해보자. 이것은 그림에서와 같이 구면에서 [math(\theta_{1})]의 입사각을 가지고 투과한다. 스넬의 법칙 [math(n_{1}\sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}})]로 부터 굴절각 [math(\theta_{2}<\theta_{1})]을 쉽게 증명가능하다. 따라서 광선은 그림과 같이 굴절하여 광축과 [math(\rm I)]에서 만난다. 점 [math(\rm A)]는 구면과 광축의 교점, 점 [math(\rm C)]는 구면의 곡률 중심이다.
다음이 성립한다. (삼각형에서 한 외각과 나머지 두 각의 관계를 이용한다.)
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha+(-\varphi)&=\theta_{1} \\ \theta_{2}+(-\beta)&=-\varphi \end{aligned} )]
이것을 스넬의 법칙에 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} n_{1}\sin{(\alpha-\varphi)}=n_{2}\sin{(\beta-\varphi)} \end{aligned} )]
삼각함수의 덧셈정리를 사용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha-\varphi)}=\sin{\alpha}\cos{\varphi}-\sin{\varphi}\cos{\alpha} \end{aligned} )]
인데, 근축 광선을 가정하면 [math(\alpha \ll 1)], [math(|\varphi| \ll 1)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha} &\simeq \tan{\alpha} \simeq \frac{h}{a} \\ \sin{\varphi} & \simeq\tan{\varphi}\simeq -\frac{h}{R} \\ \cos{\varphi}& \simeq 1 \\\cos{\alpha} & \simeq 1 \end{aligned} )]
으로 근사할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha-\varphi)}=\frac{h}{a}+\frac{h}{R} \end{aligned} )]
마찬가지 방법으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\beta-\varphi)}=-\frac{h}{b}+\frac{h}{R} \end{aligned} )]
이것을 스넬의 법칙 식에 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} n_{1} \biggl(\frac{1}{a}+\frac{1}{R} \biggr)=n_{2}\biggl(-\frac{1}{b}+\frac{1}{R} \biggr) \end{aligned} )]
이를 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n_{1}}{a}+\frac{n_{2}}{b}=\frac{n_{2}-n_{1}}{R} \end{aligned} )]
이것이 구면에서 굴절할 경우의 관계식이다. 이 식은 [math(n_{1}>n_{2})], [math(R<0)]일 때도 성립한다.
[math(b \to \infty)]일 때, [math(a \equiv f_{o})]로 하여 물체 초점거리로 정하고, [math(a \to \infty)]일 때, [math(b \equiv f_{i})]로 하여 상 초점거리로 정의한다. 특히 상 초점거리의 경우 광축과 평행 광선이 입사했을 때, 상이 맺는 곳을 의미한다.
3. 얇은 렌즈 방정식
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구면 렌즈는 결국 두 개의 구면을 통과하는 것과 동치이다. 따라서 이러한 결상식을 두 번 적용시킨다. 첫 번째 구면의 곡률 반지름을 [math(R_{1})], 두 번째 구면의 곡률 반지름을 [math(R_{2})]라 놓자.
첫 번째 구면을 통과했을 때 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n_{1}}{a}+\frac{n_{2}}{x}=\frac{n_{2}-n_{1}}{R_{1}} \end{aligned} )]
[math(x)]는 첫 번째 구면을 통과했을 때, 상의 위치이다. 이것을 두 번째 구면에 적용한다. 단, 두 번째 식에서 [math(x)]는 광원의 위치로 바뀌어 [math(L-x)]로 바뀌어야 함에 유의한다. [math(L)]은 렌즈의 두께이다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{n_{2}}{L-x}+\frac{n_{1}}{b}= \frac{n_{1}-n_{2}}{R_{2}} \end{aligned} )]
이때 얇은 렌즈 이므로 [math(L \to 0)]으로 근사할 수 있고, 두 식을 더하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{n_{2}-n_{1}}{n_{1}}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right) \end{aligned} )]
이다.
3.1. 렌즈 제작자 공식
한편, 여기서도 [math(a \to \infty)]일 때, [math(b \equiv f)], [math(b \to \infty)]일 때, [math(a \equiv f)]로 하여 렌즈의 초점 거리라 정의한다. 즉,[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{f} =\frac{n_{2}-n_{1}}{n_{1}}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right) \end{aligned} )]
인데, 이것을 렌즈 제작자 공식(lens maker's formula)이라 한다. 특히 [math(n_{1}=1)]인 경우 그 형태를 간단히 아래와 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{f} =(n-1)\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right) \end{aligned} )]
이를 통해 우선 렌즈의 초점 거리를 설정하고, 재료를 정하면 굴절률은 정해지는 바이므로 해당 공식을 통해 원하는 초점 거리를 가지는 렌즈의 곡률 반경을 제공해주게 되어 "제작자의 공식"이라고 명명 되었다. 이 공식을 통해 역으로 미지의 초점 거리의 렌즈의 양면의 곡률 반지름을 각각 측정하면 초점 거리를 알아낼 수 있다.[1]
3.2. 유도 결과
따라서 다음의 얇은 렌즈 방정식을 얻는다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{1}{f} \end{aligned} )]
당연히도 양 오목 렌즈 등 다른 렌즈에서도 성립한다.
이 식에 수를 대입할 때는 당연하게도 광학의 부호 규약에 맞게 대입해야 한다.
이 식은 구면 거울 방정식과 그 형태가 동일하다.
4. 분석
위 식을 사용하여 간단한 양 볼록 렌즈와 양 오목 렌즈를 분석한 결과는 아래와 같다.단, 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 빛이 입사하는 경우를 다룸에 유의하고 렌즈 앞뒤의 기준은 출사광선을 기준으로 한다.
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특이하게 양 볼록 렌즈에서 [math(a=f)]일 때는 [math(b)]가 정해지지 않아 상을 맺지 않는다.
[1]
보통 대학의 초급 수준의 광학 실험에서 해봤을 것이다.