시공간

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기하학의 4차원 유클리드 공간에 대한 내용은 4차원 문서 참고하십시오.

상대성 이론 Theory of Relativity
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1. 개요2. 역사3. 시공간 간격(spacetime interval)4. 수학적 설명5. 시공간 연속체6. 기타

1. 개요

상대성 이론에서는 3차원 공간에 1차원 시간을 더한 4차원 공간을 도입하여 시공간(時空間, spacetime)이라고 부른다. 상대성 이론에서 적용되는 좌표변환(로런츠 변환)에 따르면, 시간과 공간이 서로 뒤섞인다는 사실을 알 수 있다. 따라서, 시간과 공간을 따로 다룰 수 없다.

시공간은 일상 생활에서는 쉽사리 와닿지 않는 개념이지만, 일단 시공간이 있다 가정하고 몇가지 컨셉을 설정하여 이해를 도울 수 있다. 먼저 시공간 위의 한 점 [math((t, x, y, z))] 는 시간 [math(t)] 와 공간 [math((x, y, z))] 로 끊어서 보면 "어떤 시간, 어떤 장소"란 정보를 나타낸다. 즉 3차원 공간에서의 점처럼 어떤 정지한 물체의 위치가 아니라, 위치에 특정 순간까지 포함된 '사건'을 의미하게 된다. 이런 점에서 4차원 시공간에서 점은 사건(event)이라 부를 수 있다.

한편 3차원의 물체는 시간에 따라 움직이므로, 이것을 (점이라 생각하고) 4차원 시공간 상에서 바라보면 점이 움직인 자취인 "곡선"이 된다. (이 곡선에 시간 개념은 없다.) 즉, 시공간 위의 곡선은 3차원 물체의 시간에 따른 궤적을 의미한다고 볼 수 있다.[1] 이걸 세계선(worldline)이라고 부른다. 자세한 내용은 민코프스키 다이어그램 참조.

물리학에서의 4차원 시공간은 수학에서의 4차원 유클리드 공간과는 다르다. 물리학에서의 4차원 시공간은 3차원+시간[2]이지만 수학에서의 4차원은 말 그대로 수학적 4차원이다.

2. 역사

달랑베르와 디드로가 쓴 백과전서에서 시간을 4번째 차원으로 다루는 시공간의 개념이 처음 나타났다. 당대에는 알지 못했지만 달랑베르의 파동방정식 또한 동시성의 상대성을 비롯한 상대성이론을 내포한 개념이었다.[3]

물리학에서 시공간이라는 개념이 본격적으로 다뤄지기 시작한 건, 역시 상대성 이론이 대두되면서부터이다. 19세기 말 등장한 헨드릭 안톤 로런츠(Hendrik Antoon Lorentz, 1853~1928)의 전기동역학을 보다 정돈된 방법으로 설명하려는 과정에서 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein, 1879~1955)의 새로운 운동학, 즉 특수 상대성 이론이 등장하였고, 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski, 1864~1909)는 한 발 더 나아가 3차원 공간과 시간을 합한 4차원 시공간 개념이 이론을 전개하는 데에 매우 편리하다는 것을 발견하였다. 이에 대한 민코프스키의 다음 1908년 연설은 매우 유명하다.

앞으로 공간 자체와, 시간 자체는 완전히 단순 환영으로 사라질 것이며, 오직 이 둘의 어떠한 결합만이 독립성을 유지할 것입니다.
Henceforth, space for itself, and time for itself shall completely reduce to a mere shadow, and only some sort of union of the two shall preserve independence.

1908년 쾰른에서의 연설 중 #

시공간 이론은 특수 상대성 이론의 형식화를 대수적인 것에서 기하학적인 것으로 바꾸었으며, 비교적 빠르게 상대성 이론 연구자들의 유용한 방법론으로 퍼져나갔다. 현재 대부분의 교과서는 상대성 이론을 시공간 이론을 바탕으로 가르친다.

아인슈타인이 본격적으로 시공간 형식화를 채택한 것은 일반 상대성 이론, 즉 중력을 연구하는 과정에서이다. 아인슈타인은 자신의 등가 원리를 바탕으로 중력장을 상대성 이론에 따라 설명하려 시도하였는데, 일반 상대성 이론은 결과적으로 중력이 시공간을 왜곡하는 방식으로 작용한다는 것을 주장하기 때문에 시공간 개념의 채택은 편의적인 것이 아닌 "불가피한 것"이었다. 여기에 아인슈타인은 시공간의 평평한 기하학을 리만 기하학에 따라 확장시키고 시간과 공간이라는 물리적 개념을 "시공간 연속체에 대한 단순 4차원 좌표계"라는 완전히 수학적 개념으로 바꿈으로써 시공간 이론을 크게 확장시키고 대략적인 얼개를 완성시켰다.

3. 시공간 간격(spacetime interval)

시공간의 수학적, 물리적 성격을 이해하는 데에는 시공간 간격이라는 개념을 이해하는 것이 필수적이다. 이는 공간 상의 두 점 사이의 거리에 대응된다. 시공간은 시간 정보 [math(t)]와 공간 정보 [math((x, y, z))]에 대하여 [math((t, x, y, z))]으로 정의되는 점들의 집합으로 표현되며, 두 점 사이의 거리를

[math(ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]

으로 정의한다. 이것이 4차원 유클리드 공간과 다른 점은 시간 간격을 더하는 방법과 공간 간격을 더하는 방법이 반대라는 것이다. 따라서, 시공간 간격(거리)는 양수나 0일 수도 있지만, 음수가 될 수도 있다. 이처럼 두 개의 부호가 공존하는 거리 공간은 유클리드 공간에서는 상상도 할 수 없는 일이다.

시공간 위 두 점 사이의 간격은 다음과 같이 세 경우로 나뉜다.

[math(ds^2 > 0)]이면 두 점은 공간꼴(spacelike)로 떨어져 있다고 하며 이를 두 점 사이의 "고유 거리"로 정의한다.

[math(ds^2 = 0)]이면 두 점은 빛꼴(lightlike)로 떨어져 있다고 한다.

[math(ds^2 < 0)]이면 두 점은 시간꼴(timelike)로 떨어져 있다고 한다. 이 경우 [math(c^2d\tau^2 = -ds^2)]으로 정의하여 [math(d\tau^2 = dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2)/c^2)]을 두 점 사이의 "고유 시간"으로 정의한다.

이는 우리가 아는 고유 거리, 고유 시간 개념과 동치이다. 두 점이 공간꼴로 떨어져 있을 경우, 적당한 속도를 선택하여 두 점이 동시에 놓이도록 할 수 있다. 이 때, [math(dt = 0)]이므로 [math(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2)]이 된다. 마찬가지로 두 점이 시간꼴로 떨어져 있을 경우, 적당한 속도를 선택하여 두 점이 공간 상의 같은 점에 놓이도록 할 수 있다. 이 때, [math(dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0)]이므로 [math(d\tau^2 = dt^2)]이 된다.

[math(ds^2)]의 값은 ("거리"이므로) 모든 좌표계에서 동일하다. 시간꼴로 떨어진 두 점은 어떤 좌표에서도 시간꼴로 떨어져 있다. 이러한 두 점은 서로 인과 관계를 가지며, 실질적으로 서로에 대해 과거와 미래로 작용할 수 있다.[4] 그러나 공간꼴로 떨어진 두 점은 어떤 좌표에서도 공간꼴로 떨어져 있으며, 이러한 두 점은 서로 인과 관계를 가질 수가 없다. 따라서, 서로에 대해 과거와 미래가 될 수도 없다. 이는 우주의 최고 속도가 광속이기 때문이다. 이것을 그림으로 정리하면 빛원뿔(light cone) 개념이 된다.

4. 수학적 설명

n차원 유클리드 공간의 대칭성은 [math(\mathrm{SO}(n))] 군으로 묘사되는 반면에 4차원 시공간에서는 로런츠 군 [math(\mathrm{SO}(1, 3))]라는 전혀 다른 군으로 묘사된다. 이 대칭성으로 인하여 광속 불변의 원리[5], 길이 수축, 시간 단축과 같은 3차원에서 볼 수 없는 현상들이 생긴다고 해도 과언은 아닐 것이다.[6]

5. 시공간 연속체

일반 상대성 이론에서는 상기된 시공간 거리 공식을 전역적(global)으로 사용할 수 없다. 질량에 의해 시공간에 곡률이 생기기 때문이다. 하지만, 국소적(locally)으로는 언제나 [math(ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]이 되도록 좌표를 설정할 수 있으며, 이것은 바로 등가 원리에 따르면 자유낙하 좌표계이다. 이처럼, 각각의 점에서 적당한 좌표를 선택하여 시공간 거리 공식이 유도되는 4차원 다양체를 시공간 연속체라 정의한다.

질량 분포에 의해 결정되는 시공간 연속체의 구체적인 지형은 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식이 설명한다. 아인슈타인 방정식은 몇가지 특수한 질량 분포 조건에 대한 엄밀해를 내놓으며, 각각은 시공간의 기하학적 성질을 보여주는 동시에 중력장도 설명한다.

가장 대표적인 시공간에는 슈바르츠실트 시공간이 있다. 이는 구형 대칭이고, 거의 회전하지 않는 질량체 주변의 시공간(중력장)을 설명한다.

[math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1 - \frac{2GM}{c^2r} \biggr)c^2dt^2 + \biggl(1 - \frac{2GM}{c^2r} \biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)]

6. 기타

우주의 모든 입자(와 파동)는 시공간 연속체 내에서 나타내는 움직임에 따라 크게 세 가지로 나뉜다.

타디온(tardyon): 정지 질량이 +값을 가지는 모든 입자. 즉 우리가 물질이라고 일컫는 모든 것은 타디온이다. 공간상에서 정지해 있을 경우 시간축 방향으로 광속으로 이동하며, 공간축의 나머지 세 방향(x, y, z)으로 이동하면 그만큼 시간축으로의 속력은 줄어든다. 즉, 공간상의 속도가 빠를수록 시간은 느리게 흐르지만 이 이동 속도는 절대 광속 이상이 될 수 없다.
룩손(luxon): 광자를 비롯해 질량이 0인 입자. 우리가 알고 있는 룩손은 광자 뿐이다.[7] 룩손은 시간축 방향으로는 전혀 움직이지 않으며, 공간축으로는 무조건 광속으로만 이동한다. 때문에 룩손은 시간이라는 현상을 경험하지 않으며, 거리 또한 경험하지 않는다.[8] 때문에 제삼자가 룩손의 공간축상 이동을 관찰하면 공간적으로 넓게 퍼져있는 것으로 보인다.[9]
타키온(tachyon): 질량이 허수인(즉 질량의 제곱이 0보다 작은) 가공의 입자. 타디온을 뒤집은 성질을 갖고 있어, 시간축으로는 타디온과 역방향으로 항상 광속으로 이동하며, 나머지 세 방향으로는 항상 초광속으로만 이동하며 이동 속도가 절대 광속과 같거나 광속보다 느려질 수 없다. 실존하는 타키온은 없으며(관찰된 적이 없다) 가상의 개념일 뿐이다.

타디온은 시간축 방향으로의 광속 이동을 “시간의 흐름”으로 경험한다. 타르디온이 공간축 상에서 정지 상태일 경우 그 시간축 상의 이동 속도는 항상 광속이지만, 타디온이 공간축 상에서 이동할 경우 시간축 상의 이동 속도가 그만큼 감소한다. 타디온의 공간축 상 이동 속도가 빠르면 빠를수록 시간축 상의 이동 속도는 느려지며, 이는 해당 타디온에게 “시간의 흐름이 느려지는” 것으로 경험된다. 만약 타디온이 공간축 상에서 광속으로 이동할 수 있다면 그 시간축 상 이동 속도는 0이 될 것이지만(즉 시간의 흐름이 정지), 타디온은 공간축 상에서 절대 광속으로 이동할 수 없다.

시공간 연속체의 네 번째 차원은 시간이지만, 그렇다고 물리학에서 모든 네 번째 차원이 시간인 것은 아니다. 예를 들어 6차원인 위상 공간(phase space)의 경우 좌표를 (x, y, z, Px, Py, Pz)로 6차원 좌표로 표현하지만 네 번째 차원인 Px는 입자의 X축상 모멘텀이지 시간이 아니다.

물리학에서 말하는 4차원과 수학에서 말하는 4차원은 뭔가 비슷하면서도 묘하게 다르다.

아인슈타인이 직접 1926년 브리태니커 백과사전에 시공간에 대한 글을 작성한 적이 있다. #

어느 개념이 보편적일수록, 그것은 우리의 사고에 더 자주 개입된다. 그리고 감각/경험과의 관계가 덜 직접적일수록, 우리는 그 의미를 이해하기 어렵다. 이것은 특히 우리가 어릴적부터 쓰는 데 익숙해져있던 과학 이전(pre-scientific)의 개념들이 그러하다. "어디서", "언제", "왜", "있다"(being) 란 단어들이 의존하는 개념들을 설명하기 위해 철학이 그간 바쳐온 헤아릴 수 없는 분량을 떠올려보라. 그러나 우리의 짐작은 물이 무엇인지 명확히 밝혀내려는 물고기보다 나을 것이 없다.

[1] 사실 기울기에 따라 다르지만 [2] 예를 들어 '4차원 인식 센서'라는 것은 진짜 4축 공간을 인식하는 것이 아니라 기본적인 3차원 공간에 물체의 움직임(방향, 속도)도 관측할 수 있다는 의미이다. 움직임이라는 것은 시간의 변화가 있어야 성립하는 운동이기 때문. [3] Pagano, A., & Pagano, E. V., Eur. Phys. J. H 44, 321–330 (2019) [4] 중요한건 그럴 수 있다는 것이지 그래야 한다는건 아니다. 인과가 없을 수도 있다. [5] 이 원리를 처음부터 가정하여 4차원 시공간의 "시공간 거리"가 위와 같아야 한다는 것을 보일 수 있긴 하다. 어느 쪽을 더 근본적인 것으로 볼 것인지는 단순한 취향 문제로 볼 수 있을 것이다. [6] 이러한 것들을 허수 차원 같은 것으로 설명하려는 시도들이 있는데, 이는 먼 옛날에 쓰였다가 지금은 사장된 개념이라고 보는 편이 좋다. 끽해야 양자장론 같은 곳에서 Wick rotation 같은 계산 기법에서나 고려될 뿐이다. [7] 글루온(접착자)도 질량이 0이지만 강입자의 일부로만 존재하므로, 글루온을 룩손으로 정의할 수는 없다. [8] 거리는 공간축상의 A점에서 B점까지 이동할 때 걸리는 시간을 속도와 곱한 것인데, 룩손의 입장에선 속도는 광속이지만 경과시간이 0이니 모든 거리가 0인 셈이다. [9] 물론 룩손의 입장에선 공간축은 모든 방향으로 거리가 0이므로, 공간이 아니라 한 개의 단일점( singularity)이다.

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