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상대성 이론 Theory of Relativity |
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1. 개요
상대성 원리(Principle of Relativity)는 물리학의 주요 개념 중 하나로, 서로 등속도로 운동하는 관측자에게 역학 법칙은 같은 형태를 지닌다는 원리이다. 다시 말해, 좌표계의 속도를 실험적으로 알아낼 방법이 없다는 표현으로 정리된다.2. 역사
상대성 원리는 고전 역학의 중요한 개념이지만 역사적으로 이것이 근본 원리로서 진지하게 다뤄지기 시작한 시점은 19세기 이후이다.상대성 원리가 분명하게 제시된 첫 문헌은 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564-1642)의 1632년 저서 『두 가지 주요 세계관에 관한 대화』(Dialogue Concerning the Two Chief World Systems)이다.
"당신이 어떤 큰 배의 선실에 친구와 함께 있다고 해 봅시다. 선실에는 파리와 나비가 날아다니고, 금붕어가 들어 있는 어항도 있고, 병이 하나 매달려 있고 그 밑에 큰 그릇이 있는데, 병에서 물이 한 방울씩 떨어지고 있다고 해 봅시다. 배가 멈춰 있을 때에 주의 깊게 살펴보면, 파리나 나비는 어느 방향이나 비슷한 속도로 날아다니고, 금붕어는 어항 속에서 한가롭게 헤엄칩니다. 병에서 떨어지는 물방울은 정확히 밑에 있는 그릇으로 떨어집니다. 친구한테 물건을 던진다고 할 때, 이쪽 방향으로 던지는 것과 그 반대 방향으로 던지는 것 사이에 차이를 둘 필요는 없습니다. 자, 이제 배가 일정한 속도로 곧바로 움직이고 있다고 해 봅시다. 주의 깊게 살펴본다면, 이 모든 것이 하나도 달라지지 않음을 알게 될 겁니다. 심지어 당신은 지금 움직이고 있는 배 안에 있는지 아니면 멈춰 있는 배 안에 있는지도 구별하기 힘들 겁니다.
아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1642-1727)이 상대성 원리를 직접적으로 언급한 적은 없지만 물체의 운동상태를 변화시키는 힘이 가속도에 비례한다고 정의하여, 시간이 절대적으로 정의되고 공간 상의 두 점 사이의 거리가 변화하지 않는 갈릴레이 변환에 대해 상대성 원리가 잘 성립하도록 고전 역학을 발전시켰다.갈릴레이와 뉴턴의 업적으로, 상대성 원리는 고전 역학의 중요한 "정리"가 되었다. 그러나 고전 역학을 제외한 다른 영역에서도 상대성 원리라는 것이 성립하는지는 전혀 당연한 문제가 아니었다. 사실, 뉴턴이 가정하는 절대 공간(Absolute space) - 정지 상태를 정의하는 공간 자체가 상대성 원리의 정당성을 부정하는 개념이다. 단지 고전 역학에서 힘을 가속도([math(a = \ddot{x})])로 이해하는 특성에 의해 그러한 비대칭성이 가려졌을 뿐이다. 상대성 원리는 이후 19세기가 되면서 광학과 전자기학에 의해 강력한 도전을 받았다.
문제의 시작은 광학이었다. 19세기 초에 영과 프레넬에 의해 빛이 파동이라는 입장이 정설이 되면서, 자연스럽게 빛의 전달을 매개하는 매질의 존재가 예측되었는데 그것을 에테르, 정확히는 광학적 에테르라 불렀다. 에테르의 성질에 대해서는 다양한 논의가 있었는데 간단히 말해서 에테르가 물질과 함께 움직이는지, 아니면 고정되어 있는지에 대한 문제이다. 기본적으로 빛의 속력은 여느 파동처럼 에테르의 운동상태에 의해 결정되며, 에테르가 정지한 좌표계에서 보았을 때 일정한 전파 속력을 갖게 된다. 따라서, 에테르가 물질(예를 들어, 지구)에 반응해 어떻게 움직이느냐가 빛의 속력에 관한 여러 관측 현상을 결정하게 된다.
물론, 이 문제는 실험적 근거를 토대로 접근해야 했다. 브래들리의 광행차, 그리고 피조의 간섭계 실험(1851)에 의해 에테르는 물질과 함께 움직이지 않으며 단지 부분적으로만 끌린다는 설이 정설이 되었다. 그렇다면, 빛의 전파 속력이라든지 스넬의 법칙 등 광학의 여러 법칙들은 에테르에 대해 시시각각 움직이는 지구에서 보았을 때, 에테르에 대한 지구의 속력에 의한 무언가의 변화가 있어야 했다. 이것을 "에테르 바람"이라고 하는데, 이것의 존재는 절대 속도의 실험적 검증, 즉 상대성 원리의 파괴를 일으킨다. 더 나아가 뉴턴의 절대 공간이 실증되었다고도 할 수 있는 순간이었다.
한편, 제임스 클러크 맥스웰이 정립한 전자기학이 동역학을 다루기 시작하면서 비슷한 문제가 발생했다. 예를 들어 정지한 점입자는 주변에 방사형의 전기장 을 형성하는데, 점입자가 움직일 경우에는 그 자체로 전류가 되기 때문에 주변에 자기장 또한 발생한다. 이러한 비대칭은 결국 맥스웰 방정식이 갈릴레이 변환에 대해 대칭적이지 않는다는 문제로 수렴한다. 광학에서와 마찬가지로, 절대 정지에 대응하는 운동 상태의 좌표계가 존재하는 것으로 보인다. 또한 맥스웰은 전자기파가 곧 빛이라는 주장을 하였고 1887년 헤르츠에 의해 전자기파의 존재가 검증되면서, 전자기학에서의 절대 정지란 다시 광학에서 가정했던 에테르란 것이 제공한다는 인식이 퍼져나갔다. 광학적 에테르는 전자기 에테르 개념으로 확장되었으며, 에테르는 전기장과 자기장을 품는 존재로 인식되었다. 아까 말한 맥스웰 방정식의 비대칭성이 곧 에테르 바람의 원인이 되는 것이었다.
하지만, 광학과 전자기학에서 에테르 바람을 검출하려는 모든 시도들은 결과적으로 실패하고 만다. 좀 더 자세하게 말하자면 에테르에 대한 관측자의 속도 [math(v)], 에테르에 대한 빛의 속력 [math(c)]에 대하여 [math(v/c)]의 1차 수준의 바람이 검출되지 않는 것은 (에테르가 부분적으로 끌린다는) 프레넬 계수라는 방법으로 설명이 가능했지만 1887년 시행된 마이컬슨-몰리 실험은 2차([math(v^2/c^2)]) 에테르 바람도 검출되지 않음을 보여주었다. 에테르가 물질에 끌려다닌다는 대안적 설명은 불가능했다. 왜냐하면 이러한 설명은 광행차 현상, 피조의 실험을 설명하지 못했기 때문이다.
따라서, 에테르 바람이 존재하지 않는다는 실험적 결과를 바탕으로 19세기 말 ~ 20세기 초에 다시 상대성 원리가 물리학의 근본적인 진리라는 인식이 하나 둘 생겨났다. 이를 분명히 인식한 선구자가 바로 앙리 푸앵카레(적어도 1904년 이전)와 알베르트 아인슈타인(1905년 이전)으로, 푸앵카레는 "상대성 원리"라는 이름을 처음으로 제시하고 공식화했으며, 아인슈타인은 상대성 이론을 통해 상대성 원리가 진짜 "원리"가 되게 하였다. 두 학자가 서로 어떻게 영향을 주고 받았는지는 분명하지 않으며 대체로 독립적인 발견으로 여겨진다. 로런츠 변환은 그 직접적인 부산물로서 맥스웰 방정식이 관성계 사이에서 대칭성을 유지하도록 하기 위한 수학적 장치이다. 아인슈타인은 로런츠 변환이 곧 두 관성계의 공간과 시간 좌표 사이의 관계임을 주장함으로써(로런츠와 푸앵카레는 로런츠 변환을 "가정"한 반면 아인슈타인은 "유도"했다.) 특수 상대성 이론이 탄생하였다.
3. 갈릴레이 변환에서
고전 역학에서는 관성 좌표계에 대하여 갈릴레이 변환[math(t' = t, \quad x' = x - vt)]
을 채택한다. 가장 기본적인 물리법칙인 [math(F = ma)]가 어떻게 변환되는지를 살펴봄으로써 고전 역학에서 상대성 원리가 작동하는 양상을 확인할 수 있다. 두 관성 좌표계 [math(K, \,K')]에 대하여 [math(K')]이 [math(K)]에 대하여 [math(x)]축 방향으로 속력 [math(v)]로 등속 직선운동한다고 가정하자. 이 때 [math(K)]에서 물체가 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m})]
을 따른다면, 좌표계 [math(K')]에서 [math(t' = t, \,\, x' = x - vt)]이므로
[math(\displaystyle \frac{d^2x'}{dt'^2} = \frac{F'}{m'})]
[math(\displaystyle \quad\frac{d^2(x-vt)}{dt^2} = \frac{F'}{m})] [1]
[math(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m} = \frac{F'}{m})]
[math(F' = F)]
[math(\displaystyle \quad\frac{d^2(x-vt)}{dt^2} = \frac{F'}{m})] [1]
[math(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m} = \frac{F'}{m})]
[math(F' = F)]
따라서, 뉴턴이 정의한 힘 [math(F)]는 상대성 원리를 따른다는 것을 알 수 있다. (갈릴레이 변환으로 정의되는) 모든 관성계에서, 임의로 주어진 힘의 크기는 뉴턴 법칙을 그대로 활용하여 일관되게 구할 수 있다.
4. 자석 - 도체 사고실험 (1905)
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도체에 흐르는 전류는 자석과 도체의 상대속도로 결정된다. 저작자 : Prokaryotic Caspase Homolog # |
1905년 특수 상대성 이론 논문("움직이는 물체의 전기동역학"[Einstein(1905)])의 도입부를 장식한 아인슈타인의 사고 실험이다. 이 현상은 기초 전자기학 교재에서 빠질 수 없는 주제이고 아인슈타인 역시 "잘 알려져 있듯이"라고 언급했으나, 사실 이 현상을 상대성 원리의 구축에 이용한 것은 아인슈타인이 처음이다.
패러데이 법칙에 의하면, 코일(도체)를 자석이 통과하면서 자속이 증가하거나 감소하면 그에 반하는 방향(자속의 합이 감소하는 방향)으로 전류가 흐르게 된다. 그 원인은 보통 유도기전력(전압)으로 설명하는데, 그 크기는 (코일이 감긴 횟수와) 자속의 "변화 속도"에 비례하므로 자석의 통과 속도에 의해 결정된다고 정리할 수 있다.
이러한 현상은 전적으로 자석과 도체의 "상대"속도에 의해서 결정되지만, 패러데이 법칙을 좌표화하여 나타내면 상황이 달라진다. 왜냐하면 좌표를 고정할 때 자속이 변하는 상황([math(\displaystyle \frac{d\Phi}{dt})])은 자석이 움직이는, 다시 말해 자석의 좌표가 변하는 경우에만 발생하기 때문이다. 다음 두 가지 상황을 생각해볼 수 있다.
1. 자석이 움직이고, 도체가 정지해 있을 때
자석이 움직이면 좌표계 상의 특정 단면(도체)을 통과하는 자속이 변화한다. 따라서, 패러데이 법칙에 따라 도체에 유도 기전력(전기 퍼텐셜, [math(\displaystyle V = -N \frac{d\Phi}{dt})])이 발생하고, 이 유도 기전력에 의해 도체에 전류가 발생한다.
2. 도체가 움직이고, 자석이 정지해 있을 때
이번에는 자석이 정지해 있으므로 이 좌표계에서 어떤 단면에 대해서도 자속의 변화는 없으며 유도 기전력은 발생하지 않는다. 그러나, 로런츠 힘에 따르면 전자는 자기장에 수직한 방향으로 움직일 때 자기력([math(\mathbf{F} = -e\mathbf{v \times B})])이 발생하여 전자의 운동방향과 자기장에 모두 수직한 방향으로 전자가 가속을 하게 된다. 이로써 전자가 힘을 받아 코일을 따라 회전하면서 전류를 만들게 된다.
1과 2는 겉으로 보기에는 오로지 자석과 도체의 상대속도에 의존하는 현상이지만 이를 두고 전자기학의 좌표 의존성으로 인해 완전히 다른 방식으로 설명되고 있다. 심지어 사용되는 방정식도 다르다.
하지만, 맥스웰 방정식은 두 경우에 대해 (이해하기 어렵지만) 결과적으로 같은 결론을 내고 있다. 당시 진공에서의 맥스웰 방정식에 의해 유도되는 전자기 복사의 속력(광속)이 상대속도 규칙을 준수하지 않는다는 점에서 전자기학에서의 상대성 원리 성립 가능성에 대해 의문시되고 있었으나, 아인슈타인은 이처럼 전자기학은 겉으로는 좌표계의 속도에 의존하는 것처럼 보이지만 실제 전자기 현상(그리고 전자기학의 설명)은 상대성 원리를 결과적으로 잘 따른다고 주장하였다.
아인슈타인은 이와 함께 마이컬슨 - 몰리 실험을 언급하면서 빛의 매질(에테르)을 찾는 실험은 모두 실패했다는 점에서 전자기학이 상대성 원리를 위배할 특별한 이유가 없다고 결론을 짓는다. 더 나아가, 두 관성 좌표계가 물리적 동등함을 알려주는 상대성 원리는 물리학에서 보다 근본적인 위치를 차지하는 핵심 원리이며 도체와 자석의 상호작용 역시 당시의 전자기학처럼 두 개의 독립적인 방정식으로 분리하는 것이 아니라 하나의 원리('상대'속도)로 설명하는 것이 보다 본질에 가깝다고 보았다.
5. 로런츠 변환에서
특수 상대성 이론은 로런츠 변환[math(\displaystyle t' = \gamma \biggl(t-\frac{vx}{c^2}\biggr), \quad x' = \gamma(x - vt))] [3]
을 채택한다. 이 좌표 변환은 맥스웰 방정식이 상대성 원리를 따른다고 가정하여 얻은 것인데, 기존의 [math(F = ma)]에도 상대성 원리가 성립하는지 살펴보자. 갈릴레이 변환에서와 동일한 세팅에서, 좌표계 [math(K)]에서 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m})]
이 성립한다고 하자. 이 때 좌표계 [math(K')]에서는
[math(\displaystyle \frac{d^2x'}{dt'^2} = \frac{F'}{m'})]
[math(\displaystyle \quad\frac{d^2\left[\gamma(x - vt)\right]}{d\displaystyle \biggl[\,\gamma\biggl( t - \frac{vx}{c^2}\biggr)\biggr]^2} = \frac{F'}{m})]
[math(\displaystyle \quad\frac{d^2\left[\gamma(x - vt)\right]}{d\displaystyle \biggl[\,\gamma\biggl( t - \frac{vx}{c^2}\biggr)\biggr]^2} = \frac{F'}{m})]
이 되는데, 일단 보자마자 식이 엉망이 되고 있다. [math(F = F')]은 [math(\gamma = 1)]일 때에만 성립한다. 다시 말해, 좌표계의 속도가 광속에 비해 매우 작을 때에만 성립하는 근사식이다. 따라서, 상대성 이론이 사용하는 상대성 원리는 오로지 전자기학을 위한 것이지, 기존의 고전 역학하고는 충돌하고 만다. 상대성 이론이 전자기학 이외의 영역에서 힘을 발휘하기 위해선 고전 역학의 물리량들을 다시 정의할 필요가 있다. 예를 들어, 속도 [math(v)]는 [math(u = \gamma v)]로 교체하고, 운동량은 [math(p = mu = m \gamma v)]로 정의하면 힘을
[math(\displaystyle F = \frac{dp}{dt} = m \frac{d(\gamma v)}{dt} = m \gamma a + m {\gamma}^3 a\biggl(\frac{v}{c}\biggr)^2 = m {\gamma}^3 a \quad (a = dv/dt))]
로 정리할 수 있다. 이 때 [math(\gamma)]는 (힘을 받는) 물체의 순간 속력으로 계산한 것이다. 이는 실제로 특수 상대성 이론에서 일반화한 뉴턴의 운동법칙이며, 물체의 속력이 작아 [math(\gamma \approx 1)]이면[4] 이 식은 그대로 고전역학의 운동법칙이 된다.
6. 상대성 원리의 일반화
상대성 원리는 철저한 관찰법칙이며, 갈릴레이 변환이나 로렌츠 변환이라는 특수한 대칭군이 도입될 수 있는 근거의 역할을 한다. 뉴턴 이론에서는 물체의 힘을 가속도로 표현함으로써 이 원리가 실현된다.
그런데, 상대성 원리는 물리세계에 대한 좌표계의 역할을 암시한다. 좌표계는 물리적 과정을 서술하는 배경이 되지만 물리적 과정 자체에 직접 참여할 수는 없다. 예를 들어, 가속 좌표계를 택하면 정지하던 물체는 가속하게 되지만 이걸 가지고 힘이 생겼다고는 할 수 없다. 이러한 성질은 모든 좌표계의 공통된 특성이며, 특수한 좌표계에만 성립하는 성질의 것이 아니다. 다시 말해 상대성 원리란 물리법칙이 좌표계의 선택으로 달라져서는 안 된다는 것을 의미하며, 이것을 모든 좌표계에 대한 것으로 확장하는 것은 매우 자연스러운 발상이다.
이 때, 상대성 원리와 일반화된 상대성 원리의 물리적 의미는 전혀 다르다. 상대성 원리는 발견된 물리법칙을 기반으로 관성좌표계(정확히는 관성계 간의 좌표변환)를 수학적으로 정의하는 수단이 되며, 일반화된 상대성 원리는 "모든 좌표계에서 물리법칙이 동일하게 표현되도록 물리법칙의 형태를 일반화해야한다"는 방식으로 작동하여 서로 방향이 완전히 반대이다.(특수 상대성 이론에서 물리량들의 정의가 수정된 것은 좌표 변환이 바뀌었기 때문이다.) 다만, 어떤 방향이든 우리는 특정 상황에서의 물리법칙을 알아야만 한다. 기준이 되는 물리법칙이 있어야 그에 맞추어 특수한 좌표 변환을 알 수 있으며, 마찬가지로 특정 상황에서의 물리법칙을 알아야만 그것을 일반화했을 때 어떤 형태가 되는지 설명할 수 있다.
한 가지 예를 들어 "관성의 법칙"을 두 가지의 상대성 원리로 알아보자. 관성좌표계에서는 "관성 상태에 있는 입자는 등속도 운동을 한다"라고 표현될 수 있다. 이는 "직교 좌표계에서 직선은 기울기가 일정하다"라는 표현과 동등하다. 상대성 원리의 입장에서는 "직선의 기울기가 일정하게 유지되는 좌표계"를 찾는 게 목표가 된다. 그런데 일반적인 좌표계에서는 등속도 운동으로 표현되지 않는다. 공간 상의 속도나 가속도는 좌표계에 의존하는 표현이기 때문이다. 일반 상대성 원리는 좌표계에 맞춰 물리법칙을 수정한다. 따라서, 속도와 같은 표현을 일체 배제하고, 대신 "관성 상태에 있는 입자는 고유 시간이 가장 오래 걸리는 경로를 택한다"라고 바꾼다. 이러한 표현은 좌표계에 의존하지 않으며, "직선은 두 점 사이의 거리가 가장 짧은 경로이다"라는 표현과 동등하다. ( 쌍둥이 역설 참고)
[1]
질량 [math(m)]이 변하지 않음을 이용한 것.
[Einstein(1905)]
A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17 (1905) : 891-921
[3]
[math(\gamma = \dfrac1{\sqrt{1 - \left( \dfrac vc\right)^2}})]
[4]
기준은
광속이다. 즉, 광속보다 속력이 매우 느리다면 [math(\gamma \approx 1)] 혹은 [math(\gamma = 1)]이 되며 고전역학이 정확하다. 다만 이 때문인지 대부분의 경우에서 [math(\gamma)]는 1이거나 1보다 미세하게 크기 때문에 로런츠 인자를 고려하지 않는 고전역학도 정확한 편에 속한다고 볼 수 있다.