1. 개요
magnetic potential전기장에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 자기장에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다.
이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다.
2. 자기 벡터 퍼텐셜
자기장은 일반적으로 발산이 0인 비발산장이다. 즉,[math( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf B} = 0 )]
이다. 이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 [math(\bf A)]라 하면
[math( {\bf B} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} )]
이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 [math(\bf A)]를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다.
2.1. 유일성 여부
벡터 퍼텐셜 [math(\bf A)]에 어떤 스칼라 [math(\Lambda)]의 그래디언트를 더한 새로운 벡터 퍼텐셜 [math(\bf A')]을 가정하자.[math( {\bf A'} \equiv {\bf A} +\boldsymbol{\nabla} \Lambda )]
이때, 양변에 회전 연산을 취하면 다음 결과를 얻는다.
[math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A'} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} +\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \Lambda) )]
벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로
[math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A'} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} )]
가 되고, 두 퍼텐셜 [math(\bf A)], [math(\bf A')]은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜이다. 곧, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.
2.2. 방정식
앙페르 법칙에서[math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = \mu_{0} {\bf J} )]
임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math( \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times {\bf A}) = \mu_0 {\bf J} )]
라고 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면
[math( \nabla^2 {\bf A} -\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A}) = -\mu_0 {\bf J} )]
라고 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)를 도입하여 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A} = 0)]으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다.
[math( \nabla^2 {\bf A(r)} = -\mu_0 {\bf J(r)} )]
이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다.
[math( \nabla^2 A_i({\bf r}) = -\mu_0 J_i({\bf r}) \qquad (i=x,\,y,\,z) )]
이것은 전기 퍼텐셜을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로, 이것의 해는 다음과 같이 정리된다.
[math(\displaystyle A_i({\bf r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_i({\bf r'})}\xi \,{\rm d}V' \qquad (i=x,\,y,\,z) )]
여기서 [math(\xi)]는 분리 벡터의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle {\bf A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bf J(r')}\xi \,{\rm d}V' )]
따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, 자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도의 방향과 같다는 것을 알 수 있다.
2.3. 자기 선속과의 관계
어떤 면적 [math(S)]를 지나가는 자기 선속(magnetic flux) [math(F)]는 아래와 같이 구할 수 있다.[math(\displaystyle F = \iint_S {\bf B} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} )]
이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math(\displaystyle F = \iint_S (\boldsymbol{\nabla} \times {\bf A}) \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} )]
이고, 스토크스 정리를 사용하면 다음과 같이 [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(C)]에 대한 적분으로 바뀐다.
[math(\displaystyle F = \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} )]
따라서 자기 선속을 이용해도 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다.
2.4. 경계 조건
위 그림과 같이 매질 [math(\rm I)], [math(\rm II)]를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A} = 0 )]
을 만족하므로 이것은
[math(\displaystyle \oiint_S {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} = 0 )]
을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 [math(S)]를 윗면과 아랫면 모두 면적 [math(A)]이고 높이 [math(h)]인 원기둥으로 잡자. 이때, [math(h \rightarrow 0)]일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math(\displaystyle \oiint_S {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} = [ {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} -{\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} ] \,l = 0 )]
이다. [math(\hat{{\bf n}})]은 영역 [math(\rm I)]에서 [math(\rm II)]를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다.
[math(\displaystyle {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} = {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다.
이번엔
[math(\displaystyle F = \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} )]
를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, [math(h \rightarrow 0)]일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math(\displaystyle \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} = [ {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} - {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t}] \,l )]
이 된다. 이때, [math(\hat{\!\:\bf t})]는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, [math(h \rightarrow 0)]이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 [math(0)]으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 [math(0)]으로 수렴한다. 따라서
[math(\displaystyle {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} - {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} = 0 )]
에서
[math(\displaystyle {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} = {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다.
따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때
[math(\displaystyle {\bf A_1} = {\bf A_2} )]
를 만족하여야 한다.
2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜
2.6. 관련 예제
3. 자기 스칼라 퍼텐셜
위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 전기장처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 앙페르 법칙[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} )]
에서 전류 밀도 [math({\bf J}=0)]이 성립하는 영역에 한해선
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = 0 )]
으로 자기장 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle {\bf B} = -\mu_0 \boldsymbol{\nabla} \Phi_m )]
의 형태[1]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 [math(\Phi_m)]를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다.