넓이

1. 개요

2. 넓이 측정

2.1. 평면도형의 넓이

2.1.1. 다각형의 넓이

• 삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 × [math(\frac {1}{2})]
  [math(\frac{1}{2})][math(ab)]

• 직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 정사각형 넓이 = (변의 길이)²
  위 식이 성립하고 다른 사각형은 대각선을 따라 삼각형 두개로 나누어 넓이를 구한다.
• 서로 마주보는 두 점을 이어 대각선을 그린다.
• 모든 사각형은 이 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 2개를 구할 수 있다. 이때 1. 에서 선택되지 않은 두 점과 밑변을 이어 높이 a,b를 구한다.
• 1.에서 그린 대각선이 사각형 안에 있을때;
  사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × (a+b)
• 1.에서 그린 대각선이 사각형 밖에 있을때;
  사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × |(a-b)|

2.1.2. 이차폐곡선의 넓이

• 원의 넓이 =  원주율 × 반지름²
• 타원의 넓이 = [math(\frac {1}{4})] × 원주율 × 장축의 지름 × 단축의 지름 = 원주율 × 장축의 반지름 × 단축의 반지름[1]

• 부채꼴의 넓이 = 원주율 × 반지름² × (육십분법 중심각/360º)
  호도법을 쓸 경우 [math(\frac {1}{2})] × 반지름² × 라디안 각으로 식이 더 간단해진다.

2.2. 입체도형의 겉넓이

• 직육면체의 겉넓이 = (2 × 넓이 × 높이) + (2 × 넓이 × 깊이) + (2 × 높이 × 깊이)
• 정육면체의 겉넓이 = 6 × 한 변의 길이² = 6 × 한 면의 넓이
• 원기둥 겉넓이 = 밑면들의 넓이 + 옆면의 넓이 = (2 × 원주율 × 반지름²) + (2 × 원주율 × 반지름 × 높이) = 2 × 원주율 × 반지름 × (반지름 + 높이)
• 원뿔의 겉넓이 = (원주율 × 반지름²) + (원주율 × 반지름 × 모선 길이[3]) = 원주율 × 반지름 × (반지름 + 모선 길이)
• 구의 겉넓이 = (4 × 원주율 × 반지름²)

2.3. 다항함수 관련 넓이 공식

3. 넓이의 단위

3.1. SI 단위계

3.2. 비SI 단위계

• SI 단위계와 호환되는 단위
• [math( \mathrm{a} )] (아르)
• [math( \mathrm{ha} )] ( 헥타르)
• 척관법 계열
• 평
• 야드파운드법 계열
• 에이커

4. 여담

• 넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 함수를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등 사실 넓이보다는 측도라는 표현을 쓴다. 정적분의 정의를 이용한 조던 측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다.
• 적분이 고대 이집트 시절부터 생겨난 것은 나일강으로 인해 주기적으로 범람해서 엉망(...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 직선으로 최대한 근사시켜서 넓이를 구했다.[7]
• 간혹 너비를 넓이로 잘못 알고 있는 사람이 있는데 너비는 1차원 선분의 길이를 말하고, 넓이는 2차원 평면의 크기를 말한다.
• 특정 도형이 아닌 불규칙한 모양은 정확한 넓이를 구할 수 없으며, 구분구적법으로 대략적인 넓이를 구할 수 있다.
• 길이와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 제곱의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다.[8] 제곱으로 늘어나는게 싫다면 제곱근을 동원하여 각 변의 길이를 늘리거나 한 변의 길이만 늘린다. 이때, 길이는 곱해서 늘린다.
• 원환면(토러스)의 겉넓이는 ‘원주율² × (바깥 반지름² - 안 반지름²)’로 계산할 수 있다.