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최근 수정 시각 : 2024-03-13 20:21:21

셈 측도

차원
Dimension
<colbgcolor=#efefef,#2d2f34> 구분 0차원 1차원 2차원 3차원 [math(\boldsymbol{n})]차원( 4차원 · 5차원)
위상 점 선 면 입체 초입체
측도 셈 측도 길이 넓이 부피 초부피
유클리드 공간 민코프스키 시공간 측도론


1. 개요2. 상세3. 예시4. 관련 문서

1. 개요

counting measure

[math(0)]차원에서 정의되는 측도. 도량형학에서 셈 측도는 무차원(無次元)이며 차원 기호로는 [math(\sf 1)][1]로 나타낸다. 무차원의 물리량이 완벽하게 셈 측도에 대응되는 것은 아니므로 주의.[2]

2. 상세

' 개수'로 대표되는 측도로, 말 그대로 ' 셈'을 통해서 구할 수 있는 양을 뜻한다. 길이나 길이로부터 유도되는 측도는 연속임에 비해, 이 녀석은 이산적이다.[3] 각, 입체각 등은 무차원(無次元; dimensionless)이지 [math(\bf0)]차원이 아니며 측도론으로 논할 수 있는 개념이 아님[4]에 주의하자.

위의 개수 이외에도 한자문화권에서 마리, 필, 명, 장 등의 단위가 많이 쓰이며, 서양에서는 딱히 특별한 단위를 붙이지 않고[5][6] 그냥 수를 붙이며[7], 우리말에서도 가끔씩 이렇게 쓴다.

예외로 각종 화폐들은 분명 이산량이긴 하지만 ₩, $, € 같은 단위가 부여된다.

또한 몰이라고 아보가드로 상수를 단위로 하는 셈 측도가 있는데, 도량형학에서는 이를 무차원량이 아닌 차원 [math(\sf N)]을 갖는 연속량으로 간주한다. 아보가드로 수의 규모가 워낙 크기 때문에[8] 편의상 차원을 부여한 것이라곤 하나, 아무래도 명백히 셈측도 단위인만큼 멀쩡히 있는 허용 단위 자리는 내버려두고 굳이 이걸 기본 단위로까지 끌고와야 하냐는 비판도 만만지 않다. 아무튼 전술한 것처럼 서양 문화권에서도 무차원의 물리량이 셈 측도에 완벽하게 대응되지 않는다는 것을 보여주는 전형적인 예로 볼 수 있다.

측도론에서는 유한집합의 크기로 정의한다.[9]

참고로 셈 측도가 취할 수 있는 값은 자연수밖에 없으므로 pi나 루트2는 셈 측도의 값으로 취할 수 없다. 비교나 평균 등의 의미로는 -2개, 0.5개 등으로 자연수가 아닌 수에 셈 측도의 단위를 쓰는 경우가 있다. 셈 측도는 흔히 말하는 이산량이다.

3. 예시


언어학에서는 이런 것들을 수분류사(數分類詞)로 부른다. 셈 측도에 후행하는 명사의 특성을 불어넣는 것으로 보는 것.

4. 관련 문서


[1] [math(1)]차원이라는 뜻이 아니고 곱셈·나눗셈의 항등원이라는 의미이다. 도량형학에서는 숫자가 아닌 고유한 차원 기호를 이용해서 나타내며, 이를테면 부피는 차원이 [math({\sf L}^3)]이고, 가속도는 [math({\sf LT}^{-2})]의 차원을 갖는다. 이는 숫자로 나타낼 수 있는 개념이 아니지만 정의상 차원이 약분되어 없어지는 물리량( 평면각, 입체각 등)이 존재하기 때문에 이들을 곱셈·나눗셈의 항등원인 [math(\sf1)]로 나타내는 것이다. [2] 대표적으로 평면각과 입체각은 차원분석을 해보면 단위([math(\degree)], [math(\rm rad)], [math(\deg^2)], [math(\rm sr)] 등)에 관계 없이 무차원 물리량의 성질을 나타내지만 셈 측도는 아니다. 셈 측도가 되기 위해서는 가측 집합(정확히는 시그마 대수)이라는 전제가 필요한데 두 물리량은 그러하지 못하기 때문이다. 평면각과 입체각 외에도 차원이 없는 수많은 물리량(반발계수, 레이놀즈수, 양력계수 등등)이 있지만 대부분 이들은 셈 측도가 될 수 없다. 애초에 측도론과 도량형학은 맥락 자체가 다르고 그 예시의 일부에서 교집합이 존재할 뿐이다. [3] '반 개', ' ½ ħ' 같은 표현이 있기는 하지만, 이는 원래 개수를 세는 최소 단위의 절반이라는 뜻이 내포되어 있으므로 명백한 이산 측도이다. [4] 도량형학에서의 '차원'은 수학이나 물리학에서 말하는 [math(n)]차원의 개념과 매우 이질적이며, '단위의 유무'에 관한 개념에 가깝다. [5] 대신 1개일 경우 부정관사가 있는 언어에선 부정관사를 붙인다. [6] 후술할 몰을 제외하면 SI 단위에서 셈 측도에 대응하는 단위가 없는 이유이기도 하다. [7] 물론 길이 질량 등 연속적인 단위 자체는 많이 있다. [8] [math(6.022\ 140\ 76 \times 10^{23})](약 6022 해) [9] 무한집합의 크기는 초한기수를 사용하며, 셈 측도가 아니다. [10] 그냥 '사람'을 단위삼아 쓰기도 한다. [11] 일본에서는 전차의 수를 세는 단위로도 쓴다. [12] 특히 종이. [13] 일본에서는 위 대신 주를 세는 단위로 쓴다. [14] 곳간( 庫 間), 셋방( 貰 房), 숫자( 數 字), 찻간( 車 間), 툇간( 退 間), 횟수( 回 數)

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