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최근 수정 시각 : 2024-11-24 19:12:53

가비의 이

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1. 개요2. 증명3. 심화
3.1. 증명
4. 활용
4.1. 피타고라스 정리
5. 예제6. 명칭 논쟁7. 기타

1. 개요

가비의 이( 加 比- 理; componendo and dividendo theorem) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 항등식으로 나타낼 수 있다.
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{a+c}{b+d})]
(단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(b+d\ne0)])
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots =\dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k})]
[math(\biggl()]단, [math(a_k\ne 0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})\ne 0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n a_k\ne0\biggr))]

[math(\rm tr)]은 주대각합, [math(\otimes)]는 텐서곱, [math(I)]는 단위행렬이다. [math(\bf a)], [math(\bf b)]는 각각 [math(a_1\cdots a_n)], [math(b_1\cdots b_n)]을 벡터로 표현한 것이다.

2. 증명

두 비에 대한 경우는 대수적으로 간단히 증명할 수 있다. [math(c=ak)], [math(d=bk)] (단, [math(k\ne0)])라 놓으면
[math(\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a+ak}{b+bk} = \dfrac{a(k+1)}{b(k+1)} = \dfrac ab)]
이는 비가 2개 뿐만 아니라 3, 4개 있다고 해도 동일하게 적용된다. 일반화된 관계식의 경우
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)]
라 하면, [math(b_k = Ka_k)]이므로
[math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}} = K)]
한편 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k)]는 선형 변환을 통해
[math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \operatorname{tr}\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} = \operatorname{tr}(I\otimes{\bf a}))]
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})})]

3. 심화

나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{xa+yc}{xb+yd})]
(단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(xb+yd\ne0)])
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n}= \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k})]
[math(\biggl()]단, [math(a_k\ne0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\ne0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n x_ka_k \ne 0\biggr))]
[math(\overline{\bf x})]는 [math(\bf x)]의 켤레이다.

3.1. 증명

[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)]
라 하면, [math(b_k = Ka_k)]이므로
[math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}} = K)]
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k)]는 선형 변환을 통해
[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k a_k &= \operatorname{tr} \begin{bmatrix} x_1 a_1 & x_2 a_1 & \cdots & x_n a_1 \\ x_1 a_2 & x_2 a_2 & \cdots & x_n a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_n & x_2 a_n & \cdots & x_n a_n \end{bmatrix} \\ &= \operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\end{aligned})]
로 변형할 수 있으므로[1], 아래의 식과 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})})]

4. 활용

수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.

4.1. 피타고라스 정리

파일:나무_가비의리_피타고라스.png
각 [math(\rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(\rm ABC)]가 있다. 점 [math(\rm C)]에서 빗변 [math(\rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(\rm ABC)], [math(\rm ACH)], [math(\rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로
[math(\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} = \dfrac{\overline{\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH} = \dfrac{\overline{\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH})]
가비의 이를 적용하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ACH + \triangle CBH} \\ &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ABC}\\ \therefore\rm\overline{AB}^2 &= \rm\overline{AC}^2 + \rm\overline{BC}^2\end{aligned})]

5. 예제

[문제]
세 상수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여

[math(\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = k)]

를 만족시키는 [math(k)]의 값을 구하시오. (단, [math((3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)\ne0)])

[풀이 보기]
-----
[1] [math(\bm{a+b+c\ne0})]
가비의 이에 의하여
[math(\begin{aligned} \dfrac a{3a-b-c} &= \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} \\ &= \dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\ &= \dfrac{a+b+c}{a+b+c}= 1 \end{aligned})]

[2] [math(\bm{a+b+c=0})]
가비의 이를 사용하지 못하므로 [math(a+b+c=0)] 자체를 단서로 활용한다.
[math(\begin{aligned} \frac a{3a-b-c} &= \frac a{3a+a} = \frac14 \\ \frac b{3b-c-a} &= \frac b{3b+b} = \frac14 \\ \frac c{3c-a-b} &= \frac c{3c+c} = \frac14 \end{aligned} \\ \therefore\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = \dfrac14)]
가비의 이는 분모가 [math(\bm0)]이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 [math(k)]의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.

6. 명칭 논쟁


일본에서 加比の理로 칭하는 것이 그대로 직역된 표현이다. 비(比)의 덧셈(加)에 대한 정리(理)라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합하며[2] 표준국어대사전에도 '가비의 이'만이 표준어로 등재되어 있다. 여기서 '이'는 '정리'(定理)를 의미하는 일반 명사이며 한글맞춤법 3장 5절 11항에도 한자음 '리'가 단어 첫머리에 올 때에는 두음 법칙에 따라 '이'로 적되 의존 명사일 때에만 본음대로 적는다고 명시되어 있기 때문에 '리'라고 쓰는 건 명백히 틀린 표현이다. '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다'의 '리'는 모두 의존 명사이기 때문에 본 사례와는 무관하다.

용어의 의미 투명성이 낮아 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[3] 가비도 사람 이름[4] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다.

'-의'가 관형격(소유격) 조사에 대응하는 の일 뿐이므로 생략하는 방안도 고려해볼 수 있다. 실제 피타고라스 정리, 질량 보존 법칙 등 과거에 쓰였던 '의'가 불필요한 일본식 어투라는 이유로 교육과정 개정을 거쳐 삭제된 적이 있다. 이 논리에 따르면 '가비리'가 되지만, 가리비라는 유사한 발음이 있어 혼동될 여지가 있다. 여담으로 이처럼 '가비의 리'를 잘못 듣고 ' 가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "정리"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리( 칼륨)[5]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽다.

자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '비의 합 정리', '유리식의 덧셈 정리' 같은 이름이 될 것이다. 합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰이지 않으며, 중국어의 '합비 정리(合比 定理)'도 괜찮은 대안이 될 수 있다.

7. 기타


[1] [math(\bf x)]에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이 반쌍형 연산이기 때문이다. [2] 理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준이다. [3] 한자 표현이 裏로 다르기는 하나 본음이 '리'이면서 두음 법칙이 적용되었다는 점은 똑같다. [4] 실제로 스페인어권에서 가브리엘, 가브리엘라의 애칭으로 '가비'(gabi(e))가 쓰인다. 대표적인 예로 국가비가 있다. [5] 사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다. [6] 다만 삭제되긴 했으나 대한민국의 수학 교육과정의 분량 자체가 너무 줄기도 했고 내신 수학이라는 특수성을 감안할 때, 2015 개정교육과정의 학생들 여전히 배우고 있는 상황이다. 이러한 상황 때문에 쎈과 같은 문제집에서는 여전히 찾아볼 수 있다.

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