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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
TNB 프레임(TNB frame) [1] 또는 프레네-세레 틀(Frenet-Serret frame) 또는 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formula)이라고도 잘 알려진 세레-프레네 방정식(Serret-Frenet equations) 은 [math(x,y,z)]좌표계에서 벡터들 [math(T,N,B)]를 추가적으로 사용하여 3차원 공간에서 물리량의 이동을 계량화 하는데 그목적이 있다.[2][3][4]따라서 TNB 프레임(TNB frame)은 3차원 좌표계를 기준으로 상대적인 대상이 갖게 되는 오브젝트(object) 3차원 좌표계 장치라고도 볼수있다.
2. T,N,B 틀
3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 곡선(curve)이 어느 방향으로 휘는지(계속해서 이동하는지) 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계에 추가적으로 또 다른 변수가 필요하게 된다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math(\mathbf{T}(s))], [math(\mathbf{N}(s))], [math(\mathbf{B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 프레네 프레임(Frenet frame 또는 TNB 틀)이라 부른다.- 단위접선벡터(unit tangent vector): [math(\mathbf{T}(s) = {T})]
- 단위법선벡터(unit normal vector): [math(\mathbf{N}(s)={N} )]
- 종법선벡터 또는 이중법선벡터(binormal vector): [math(\mathbf{B}(s) = {B} )]
(x,y,z)로부터 (T,N,B)은 [math( T \times N = B )]를 정의할수있다. [5]
T의 미분 [math( T' )]의 물리량을 곡률(curvature) [math(\kappa)]로 정의하면
T의 기울기는 진행방향으로 N에서 곡률(curvature) [math(\kappa)]만큼 휘어지는 [math( T' = \kappa N )]를 정의할수있다.
이어서 변수 [math(\tau)]를 열률[6](뒤틀림, torsion)의 물리량으로 정의하고
N에서 열률(torsion) [math(\tau )]만큼 뒤틀려지는 B의 미분 [math( B' = -\tau N )]을 정의할수있다.
따라서
N의 미분 [math( N' )]은 [math( N' = \tau B -kT )] 으로 정의된다.
이를 (T,N,B)과 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)[7]에서 직교행렬의 행렬표현으로 분해해 보면
[math( \begin{pmatrix} T' \\ N' \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa N \\ -\kappa T+\tau B \\ -\tau N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T \\ N \\ B \end{pmatrix} )]
이다.
3. 법선 방정식
법선(normal line)은 2차원(2D) 평면에서 곡선 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직이 되는 직선을 가리키는 용어이다. 3차원(3D) 공간에서는 이러한 접선에 수직이 되는 직선인 법선이 하나가 더 있게 된다. 이를 종법선(이중법선)이라고 한다. 이러한 법선 방정식은 접선 방정식(tangent line equation), 접평면의 방정식(tangent plane equation)과 내적(inner product) 그리고 외적과 상관관계가 있다.4. 역사
1850년대를 전후하는 시기에 이 공식을 발표한 장 프레데릭 프레네(Jean Frédéric Frenet)[8][9]와 역시 동시대에 프레네(Frenet)와는 별개로 이를 독자적으로 연구 및 발표한 조제프 알프레드 세레(Joseph Alfred Serret)[10][11]의 이름에서 명명됐다.5. 관련 문서
[1]
Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL, (P62) CHAPTER 1. VECTORS IN EUCLIDEAN SPACE , moving frame field
https://www.mecmath.net/
[2]
UCLA (Math 120A Discussion Session , 2018) Frenet-Serret equations
https://www.math.ucla.edu/~archristian/teaching/120a-f18/week-2.pdf
[3]
(PlanetMath.org)Serret-Frenet equations
https://planetmath.org/serretfrenetequations
[4]
MIT Frenet-Serret formula
https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node25.html
[5]
\[Paul's Online Notes\] Calculus III , Section 1-8 : Tangent, Normal and Binormal Vectors
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/TangentNormalVectors.aspx
[6]
捩率
[7]
정사각행렬 [math(A)]에 전치를 취하면 [math(A^T=-A)]라는 관계식을 만족하는 행렬을 의미한다. 그 특징상 대각성분은 모두 0이며, 대칭성분은 서로 부호가 다르게 된다. 대칭행렬과의 차이점이라면 대칭행렬은 [math(A^T=A)]로 부호가 다르며, 그 차이로 인해 대각성분이 0일 필요가 없는 것. 이게 복소수 범위로 확장되면 전치에 추가로 켤레를 취하며,
에르미트 행렬이라고 부른다.
[8]
Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques , Jean Frédéric Frenet, 1904 (6th edition) French (Publisher) Paris, Gauthier-Villars
https://archive.org/details/recueildexercic02frengoog/page/n6/mode/2up
[9]
Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal , Jean Frédéric Frenet, 1856 French
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206322d.image
[10]
“Mémoire sur les surfaces orthogonales,” 12 (1847), 241–254
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1847_1_12_A19_0.pdf
[11]
“Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure,” 16 (1851), 193–207
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A12_0.pdf