프레네 방정식

선형대수학 Linear Algebra
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	<colbgcolor=#006ab8> 기본 대상		일차함수 · 벡터 · 행렬 · 선형 변환
대수적 구조		가군(모듈) · 벡터 공간 · 내적 공간 · 노름 공간
선형 연산자	<colbgcolor=#006ab8> 기본 개념	연립방정식( 1차 · 2차) · 행렬곱 · 단위행렬 · 역행렬과 크라메르 공식 · 가역행렬 · 전치행렬 · 행렬식( 라플라스 전개) · 주대각합
	선형 시스템	기본행연산과 기본행렬 · 가우스-조르당 소거법 · 행사다리꼴 · 행렬표현 · 라그랑주 보간법
	주요 정리	선형대수학의 기본정리 · 차원 정리 · 가역행렬의 기본정리 · 스펙트럼 정리
	기타	제곱근행렬 · 멱등행렬 · 멱영행렬 · 에르미트 행렬 · 야코비 행렬 · 방데르몽드 행렬 · 아다마르 행렬 변환 · 노름(수학)
벡터공간의 분해		상사 · 고유치 문제 · 케일리-해밀턴 정리 · 대각화( 대각행렬) · 삼각화 · 조르당 분해
벡터의 연산		노름 · 거리함수 · 내적 · 외적( 신발끈 공식) · 다중선형형식 · ∇ · 크로네커 델타
내적공간		그람-슈미트 과정 · 수반 연산자( 에르미트 내적)
다중선형대수		텐서 · 텐서곱 · 레비치비타 기호	}}}}}}}}}

해석학· 미적분학 Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수		실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수		함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
함수		초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속		함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 특이점 · 0.999…=1
극한·연속		중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수		수열( 규칙과 대응) · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
		오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
		단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측^미해결
미분		미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
		평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
		립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법 · 경사하강법
적분		적분 · 정적분( 예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
		미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
		리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분		편도함수 · 미분형식 · ∇ · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
다변수· 벡터 미적분		라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리)· 변분법
미분방정식		미분방정식( 풀이) · 라플라스 변환
측도론		측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
측도론		칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석		코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석	공간	위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · L^p 공간
	작용소	수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
	대수	C*-대수 · 폰 노이만 대수
	정리	한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
	이론	디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석		푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야		해석 기하학 · 미분 기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설^미해결) · 확률론( 확률 변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학( 양-밀스 질량 간극 가설^미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움^미해결) · 수리경제학^{( 경제수학)} · 공업수학
기타		퍼지 논리 · 합성곱

}}}}}}}}} ||

1. 개요2. T,N,B 틀3. 법선 방정식4. 역사5. 관련 문서

1. 개요

TNB 프레임(TNB frame) [1] 또는 프레네-세레 틀(Frenet-Serret frame) 또는 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formula)이라고도 잘 알려진 세레-프레네 방정식(Serret-Frenet equations) 은 [math(x,y,z)]좌표계에서 벡터들 [math(T,N,B)]를 추가적으로 사용하여 3차원 공간에서 물리량의 이동을 계량화 하는데 그목적이 있다.[2][3][4]
따라서 TNB 프레임(TNB frame)은 3차원 좌표계를 기준으로 상대적인 대상이 갖게 되는 오브젝트(object) 3차원 좌표계 장치라고도 볼수있다.

2. T,N,B 틀

3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 곡선(curve)이 어느 방향으로 휘는지(계속해서 이동하는지) 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계에 추가적으로 또 다른 변수가 필요하게 된다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math(\mathbf{T}(s))], [math(\mathbf{N}(s))], [math(\mathbf{B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 프레네 프레임(Frenet frame 또는 TNB 틀)이라 부른다.

단위접선벡터(unit tangent vector): [math(\mathbf{T}(s) = {T})]
단위법선벡터(unit normal vector): [math(\mathbf{N}(s)={N} )]
종법선벡터 또는 이중법선벡터(binormal vector): [math(\mathbf{B}(s) = {B} )]

(x,y,z)로부터 (T,N,B)은 [math( T \times N = B )]를 정의할수있다. [5]
T의 미분 [math( T' )]의 물리량을 곡률(curvature) [math(\kappa)]로 정의하면
T의 기울기는 진행방향으로 N에서 곡률(curvature) [math(\kappa)]만큼 휘어지는 [math( T' = \kappa N )]를 정의할수있다.
이어서 변수 [math(\tau)]를 열률[6](뒤틀림, torsion)의 물리량으로 정의하고
N에서 열률(torsion) [math(\tau )]만큼 뒤틀려지는 B의 미분 [math( B' = -\tau N )]을 정의할수있다.
따라서
N의 미분 [math( N' )]은 [math( N' = \tau B -kT )] 으로 정의된다.
이를 (T,N,B)과 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)[7]에서 직교행렬의 행렬표현으로 분해해 보면
[math( \begin{pmatrix} T' \\ N' \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa N \\ -\kappa T+\tau B \\ -\tau N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T \\ N \\ B \end{pmatrix} )]
이다.

3. 법선 방정식

법선(normal line)은 2차원(2D) 평면에서 곡선 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직이 되는 직선을 가리키는 용어이다. 3차원(3D) 공간에서는 이러한 접선에 수직이 되는 직선인 법선이 하나가 더 있게 된다. 이를 종법선(이중법선)이라고 한다. 이러한 법선 방정식은 접선 방정식(tangent line equation), 접평면의 방정식(tangent plane equation)과 내적(inner product) 그리고 외적과 상관관계가 있다.

4. 역사

1850년대를 전후하는 시기에 이 공식을 발표한 장 프레데릭 프레네(Jean Frédéric Frenet)[8][9]와 역시 동시대에 프레네(Frenet)와는 별개로 이를 독자적으로 연구 및 발표한 조제프 알프레드 세레(Joseph Alfred Serret)[10][11]의 이름에서 명명됐다.

5. 관련 문서

[1] Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL, (P62) CHAPTER 1. VECTORS IN EUCLIDEAN SPACE , moving frame field https://www.mecmath.net/ [2] UCLA (Math 120A Discussion Session , 2018) Frenet-Serret equations https://www.math.ucla.edu/~archristian/teaching/120a-f18/week-2.pdf [3] (PlanetMath.org)Serret-Frenet equations https://planetmath.org/serretfrenetequations [4] MIT Frenet-Serret formula https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node25.html [5] \[Paul's Online Notes\] Calculus III , Section 1-8 : Tangent, Normal and Binormal Vectors https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/TangentNormalVectors.aspx [6] 捩率 [7] 정사각행렬 [math(A)]에 전치를 취하면 [math(A^T=-A)]라는 관계식을 만족하는 행렬을 의미한다. 그 특징상 대각성분은 모두 0이며, 대칭성분은 서로 부호가 다르게 된다. 대칭행렬과의 차이점이라면 대칭행렬은 [math(A^T=A)]로 부호가 다르며, 그 차이로 인해 대각성분이 0일 필요가 없는 것. 이게 복소수 범위로 확장되면 전치에 추가로 켤레를 취하며, 에르미트 행렬이라고 부른다. [8] Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques , Jean Frédéric Frenet, 1904 (6th edition) French (Publisher) Paris, Gauthier-Villars https://archive.org/details/recueildexercic02frengoog/page/n6/mode/2up [9] Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal , Jean Frédéric Frenet, 1856 French https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206322d.image [10] “Mémoire sur les surfaces orthogonales,” 12 (1847), 241–254 http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1847_1_12_A19_0.pdf [11] “Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure,” 16 (1851), 193–207 http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A12_0.pdf