구면 테셀레이션

1. 개요2. 정규 구면 테셀레이션

2.1. 정다면체 대칭형2.2. 이면체 대칭형

2.2.1. 호조헤드론2.2.2. 이면체

축구공 (깎은 구면 정이십면체)

1. 개요

球面 tessellation / spherical tessellation

2차원 구면에서 정의되는 테셀레이션.

평면 테셀레이션이 평면 다각형을 이용해 평면을 가득 채우듯, 구면 테셀레이션은 구면다각형을 이용해 구면을 채우는 테셀레이션이다.

실물로 완벽히 구현할 수 없는 쌍곡 기하학과 달리, 구면 기하학의 도형은 공 위에 그리면 되기 때문에 가상 모형을 사용하지 않고도 나타낼 수 있다. 위의 축구공과 같이 일상생활에서 사용되는 예시도 있어 더 직관적으로 이해할 수 있다.

구면 다각형은 평면 다각형과 달리, 다각형의 크기가 커질수록 내각의 크기가 커지며[1], 유클리드 기하학에서는 존재할 수 없는 일각형과 이각형을 사용할 수 있다.[2]

같은 다각형의 배열이 무한히 반복되는 평면 테셀레이션, 또는 쌍곡 테셀레이션과는 달리, 구면 테셀레이션을 이루는 다각형의 갯수는 유한하며, 따라서 전체 면적도 유한하다.

2. 정규 구면 테셀레이션

2.1. 정다면체 대칭형

정다면체와 같이 총 5종 존재한다.

정다면체 대칭형 구면 테셀레이션에는 각각 대응되는 볼록 정다면체가 존재한다. 따라서 정다면체형 구면 테셀레이션, 또는 구면 정다면체(spherical regular polyhedron) 등의 이름으로 불린다. 쌍곡 테셀레이션의 경우처럼 [math(\left\{p,q\right\})]가 [math(q)]차 [math(p)]각 테셀레이션이라고도 부르지만, 구면 [math(n)]-면체의 이름을 더 많이 사용한다.

종류	슐레플리 기호	대칭군
구면 정사면체	[math(\left\{3,3\right\})]	[math(T_d)]
구면 정육면체	[math(\left\{4,3\right\})]	[math(O_h)]
구면 정팔면체	[math(\left\{3,4\right\})]	[math(O_h)]
구면 정십이면체	[math(\left\{5,3\right\})]	[math(I_h)]
구면 정이십면체	[math(\left\{3,5\right\})]	[math(I_h)]

2.2. 이면체 대칭형

호조헤드론과 이면체에 해당하는 대칭형으로, 유클리드 볼록 정다면체에 대응되는 도형은 없다. [math(\left\{2,n\right\})]은 [math(n)]각 호조헤드론([math(n)]-gonal hosohedron)이라 부르며, [math(\left\{n,2\right\})]는 [math(n)]각 이면체([math(n)]-gonal dihedron)라고 부른다. 호조헤드론과 이면체는 서로 쌍대 관계다.

이들 중 [math(\left\{2,2\right\})]는 유일하게 호조헤드론(이각 호조헤드론)이자 이면체(이각 이면체)인 도형으로, 자기쌍대 도형이다.

아래 슐레플리 기호에서 n은 유한한 자연수다. [math(\left\{2,∞\right\})]나 [math(\left\{∞,2\right\})]는 평면 도형으로 취급된다.

2.2.1. 호조헤드론

경선 여러개로 구분된 이각형 여러개로 이루어진 구면 테셀레이션.

호조헤드론
슐레플리 기호	[math(\left\{2,1\right\})]	[math(\left\{2,2\right\})]	[math(\left\{2,3\right\})]	[math(\left\{2,4\right\})]	[math(\left\{2,5\right\})]	[math(\left\{2,6\right\})]	⋯	[math(\left\{2,n\right\})]
그림							⋯

2.2.2. 이면체

적도에 경계선이 되는 다각형이자 대원이 하나 있고, 이로 구면 전체가 둘로 양분되는 형태의 구면 테셀레이션. 경계선에 점을 찍어놓지 않으면 경계선이 모두 대원이므로, 몇 각형 이면체인지 구분되지 않는다.

이면체
슐레플리 기호	[math(\left\{1,2\right\})]	[math(\left\{2,2\right\})]	[math(\left\{3,2\right\})]	[math(\left\{4,2\right\})]	[math(\left\{5,2\right\})]	[math(\left\{6,2\right\})]	⋯	[math(\left\{n,2\right\})]
그림							⋯

[1] 반지름이 1인 구 기준, 구면 삼각형의 넓이는 (π - 내각의 합)이다. (각의 단위는 라디안) [2] 구면 기하학에서는 한 점에서 그은 직선( 측지선)은 반드시 출발점으로 돌아오므로 일각형을 만들 수 있으며, 한 점에서 서로 다른 방향으로 그은 직선은 구의 반대쪽에서 서로 만나기 때문에 이각형도 가능하다.