1. 개요
'1=2'를 증명하는 역설을 소개하고 그 역설의 오류를 규명하는 문서다.1=2라면 양변에서 1을 빼서 0=1, 양변에 (m-n)을 곱해 0=m-n, 양변에 n을 더해 n=m, m과 n은 어떤 수든 될 수 있으므로 모든 수가 같게 된다.[1]
이것이 ZFC 공리계 내에서 증명된다면 ZFC 공리계의 모순을 발견한 것이 된다. 즉 현재 보편적으로 알려져있는 수학 체계가 완전히 붕괴된다.
2. 기하학(꺾은선)
한 변의 길이가 1인 정삼각형을 생각하자. 우선 처음 정삼각형의 두 변의 길이의 합은 2이다. 이를 첫째 꺾은선이라고 하자. 이 정삼각형의 각 변을 이등분하는 점을 이어 그림과 같은 꺾은선을 그리자. 그러면 둘째 꺾은선의 총 길이는 2이다. 꺾은선을 그림으로써 새로 생기는 작은 정삼각형들의 각 변을 이등분하는 점을 이어 또 다른 꺾은선을 그릴 수 있다. 이 과정을 반복하면 꺾은선은 갈수록 촘촘해지며, 무한 번 반복하면 최후에는 처음의 정삼각형의 한 변이 된다. 다시 말해 처음 정삼각형의 두 변의 총 길이는 나머지 한 변의 길이와 같다. 곧, 2=1이다.
2.1. 오류 규명
꺾은 선을 아무리 촘촘히 그려도 일직선 상에 놓이지 않는다. 쉽게 말해, 해당 꺾은선을 회차를 아무리 진행시켜도 큰 정삼각형의 아래쪽 변과 동일한 방향의 직선이 아닌, 큰 정삼각형의 다른 변들과 평행한 직선이 무수히 많아진다. 단순히 선을 무수히 나누면 점이 되어 방향이 사라진다는 가정 때문에 동일하게 보는 것일수도 있지만, 애초에 선의 극한이라고 해서 점과 같아지지 않는다. 극한을 먼저 취했는지 나중에 취했는지의 문제가 아닌, 애초에 선의 길이가 0일 때 극한을 방향이 없어지는 점이라고 오해했기 때문에 발생한 오류이다. 따라서 무수히 작은 정삼각형의 두 변의 길이의 합을 이어 붙인 것이기 때문에 총 길이는 당연히 큰 정삼각형의 두 변의 길이의 합인 2가 된다.참고로, 정삼각형이 아닌 이등변 삼각형으로 시행하면 2가 아닌 다른 값이 나오게 되며, 특히 이등변삼각형에서 양 밑각의 크기를 90도에 수렴하도록 만들면 두 변이 무한대로 발산하는 길이를 갖기 때문에 해당 시행을 반복한다면 [math(1 = \infty)]라는 재미있는 결과가 나오게 된다.
3. 대수학
[math(a=b)]라 하면[math(a^2=ab)]이므로 [math(a^2-b^2=ab-b^2)]
인수분해하면 [math((a+b)(a-b)=b(a-b))]
양변을 [math((a-b))]로 나누면 [math(a+b=b)]
[math(a=b)]이므로 [math(b+b=b)]
즉, [math(2b=b)]이므로 [math(1=2)]
여담으로, 우려먹으면 이런 짓거리도 가능하다.
양변에 [math(a^2)]을 곱하면 [math(a^3=a^2b)]이므로 [math(a^3-b^3=a^2b-b^3)]
인수분해하면 [math((a-b)(a^2+ab+b^2)=b(a+b)(a-b))]
양변을 [math((a-b))]로 나누면 [math(a^2+ab+b^2=b(a+b))]
[math(a=b)]이므로 [math(b^2+b^2+b^2=b^2+b^2)]
즉, [math(3b^2=2b^2)]이므로 [math(2=3)]
이런 식으로 계속하면, 4차식에서 [math(3=4)], 5차식에서 [math(4=5)] ...을 도출하는 것도 가능하다.(물론, 1차식에서 [math(0=1)], 0차식(상수항)에서 [math(-1=0)] 도출도 가능하다. 정확하게는, [math(a)]차식에서 [math(a-1=a)] 증명이 가능하다.
3.1. 오류 규명
위 증명에서는 [math((a+b)(a-b)=b(a-b))]의 양변을 [math((a-b))]로 나누었는데, 맨 처음에 가정한 [math(a=b)]에 따라 [math(a-b=0)]이 되므로, 양변을 [math((a-b))]로는 나눌 수 없다. 다시 말해 [math(a+b=b)]가 나온 단계에서 이미 틀린 계산.사실 인터넷에 떠도는 결과적으로 맞지 않는 증명식들 또는 아마추어 수학자들이 가장 많이 범하는 오류가 다름 아닌 '0으로 나누기'이다. 나누기 부분만 유심히 살펴보면 금방 틀린 점을 찾을 수 있다.
아이작 뉴턴의 유율법이 조지 버클리 등에게 공격을 받은 이유이기도 하다. 유율(= 무한소)이라는 방법으로 위 식과 비슷한 꼼수를 써서 넘어갔기 때문. 유율법 4.1문단 참고.
0으로 나누기를 정의하는 바퀴 이론에서도 위와 같은 연산을 한다면 0항이 발생하며, 0으로 나누는 연산이 정확히 곱셈식을 상쇄시키지 않는다. 따라서 0으로 나누어 깔끔하게 곱셈식을 소거하는 것은 어떠한 수학에서도 불가능하다.
이산수학 증명 파트에서도 자주 언급되는 오류다.
4. 연분수
[math(a=\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\ddots}}}})]라 하자.그러면 [math(a=\dfrac{2}{3-a})]에서 [math(a(3-a)=2)]이다. 정리하면 [math(a^2-3a+2=0)]에서 [math((a-1)(a-2)=0)]이 된다.
따라서 [math(a=1, 2)]이므로 [math(1=2=\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\cfrac{2}{3-\ddots}}}})]이다.
4.1. 오류 규명
해당 연분수를 수열의 수렴값이 아닌 실재하는 값으로 이해하였기 때문에 생긴 오해이다. 중등 교육에서는 해석학을 엄밀히 가르치지 않아 학생들이 많이 착각하는 부분인데, 직접 연산해서 무한히 사칙연산을 하는 것은 불가능하다. 수학에서 무한합 등 무한한 연산으로 주어지는 것은 사실 무한수열을 늘여놓아 그 수열이 수렴하는지를 보고, 수렴한다면 그 수렴값을 따라가는 것이다.위의 연분수를 다시 보자. 위의 연분수도 사실 점화식 [math(a_{n+1}=\frac{2}{3-a_n})]로 나타나는 수열의 극한이다. 그리고 수열은 초깃값 [math(a_1)]을 먼저 선언을 해야 정의가 된다. 초깃값에 일반적인 실수를 넣으면 이 수열은 [math(1)]로 수렴한다. 그런데 초깃값에 [math(2)]를 넣으면 이 수열은 이례적으로 [math(2)]로 수렴하게 된다. [math(a=1,2)]는 이렇게 넣는 초깃값에 따라 수렴값이 달라진다는 것을 의미하지, [math(a)]라는 참값이 2가지 값을 나타낸다는 뜻이 아니다.
비전공자에게 보다 익숙한 함수를 이용해 설명하자면, 위 연분수 [math(a)]는 상수가 아니라 [math(3)]을 제외한 실수 [math(a_1)]을 변수로 하는 함수 [math(a(a_1))]이고, 이 함수는 [math(a(2)=2)], 나머지에서 [math(1)]이 되는 불연속함수인 것이다.[2]
5. 미분
[math(f(x)=x^2)]라고 하면,[math(f'(x)=2x)]이다.
한편 [math(f(x))]는 [math(x)]를 [math(x)]번 더한 것이므로 다른 방식으로 미분하면
[math(f'(x)=(\overbrace{x+x+ ... +x}^{x\;\rm{times}})'=\overbrace{1+1+...+1}^{x\;\rm{times}}=x)]
[math(f'(x)=2x=x)]
따라서 [math(1=2)]
[3]
5.1. 오류 규명
미지수를 상수로 잘못 해석하여 오류가 발생했다. 위 증명에서 [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x))]라는 미분의 기본 성질을 적용하기 위해서는 [math(n)]이 미분할 변수([math(x)])에 대한 상수여야 한다.[4] 그러나 [math(x\;\rm{times})]의 [math(x)]는 그 자체로 미분할 변수이므로(즉, [math(n=x)]이므로) 해당 성질을 적용할 수 없다. 비슷한 이유로 [math((e^x)'=e^x)]이지만 [math((e^2)'=0≠e^2)]이다.따라서 [math(x)]를 미지수로 취급하면 문제가 해결된다. 항의 개수에 유의하며 미분 계산을 하면 다음과 같이 올바른 결과가 나온다.
| [math(\begin{aligned}f'(x)&=(\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})'\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {\{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{(x+h)\;\rm{times}}\} - (\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})}{h}\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {(\overbrace{h+h+ \cdots +h)}^{x\;\rm{times}} + \{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{h\;\rm{times}}\}}{h}\\&=x +\displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac{(xh+h^2)}{h}\\&=x+x=2x\end{aligned})] |
5.1.1. 엄밀하지 않은 개념의 사용
이런 미분을 생각해내다니 수학의 역사가 발칵 뒤집히겠네요. f(x) = 1 * f(x) 니까 f(x) = 1 + ... + 1이 f(x)개 만큼 있는거고 그러면 f'(x) = 0이네요. 이런, 세상의 모든 함수 f(x)에 대해 f'(x) = 0임을 방금 증명했습니다.
로지컬의 2분의 1은 e임을 증명하는 영상에 달린 베스트 댓글 중 하나[5]
[math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x))]라는 미분의 기본 성질을 사용하기 위해서는 [math(n)]이 자연수 범위여야 한다. 즉, 위 논증에서는 [math((x+x+ ... +x)'=1+1+...+1)]라고 하였으므로 [math(x)]는 자연수 범위인데, 자연수 범위의 변수로 미분하는 것은 정의되지 않는다.로지컬의 2분의 1은 e임을 증명하는 영상에 달린 베스트 댓글 중 하나[5]
6. 적분
[math(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx)]를 부분적분하면[math(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx\\=x\times \frac{1}{x}-\int -\frac{x}{x^2} dx\\=1+\int \frac{1}{x} dx )]
[math(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx)]를 좌변으로 넘겨 소거하면 [math(0=1)]이고, 양 변에 [math(1)]을 더하면 [math(1=2)]이다.
6.1. 오류 규명
[math(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx)]는 [math(\displaystyle \frac{1}{x})]의 수많은 부정적분 중 하나이므로 그냥 소거할 수 없다. 정확히 계산하면[math(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx-\int \frac{1}{x} dx\\=\int (\frac{1}{x}-\frac{1}{x}) dx\\=\int 0 dx=C)]
이므로 [math(0=1)]이라 할 수 없다. 위 식은 [math(C=1)]일때 성립한다.
7. 극한
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0)]이다.따라서 극한의 기본 성질에 의해 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\underbrace{\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\bigg)=0+0+\cdots+0=0)]이다.
그런데 [math(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}=1)]
이므로 [math(0=1)]이고 양변에 [math(1)]을 더하면 [math(1=2)]이다.
7.1. 오류 규명
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\overbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}^{\text{$n$ times}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left({\frac{n}{n}}\right)=1)]이다.이는 5.1번 문단과 마찬가지로 [math(n\;\rm{times})]의 [math(n)]을 극한 취할 변수([math(n)])에 대한 상수로 보고 극한의 기본 성질을 적용했기 때문에 발생한 오류이다.
7.1.1. 엄밀하지 않은 개념의 사용
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(f_1(n)+f_2(n)+\cdots +f_m(n)\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_1(n)+\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_2(n)+\cdots +\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_m(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^m \displaystyle\lim_{n\to\infty}f_k(n))]이라는 극한의 기본 성질을 사용한 것처럼 보인다. 하지만 위 논증에서 해당하는 부분은 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0+0+\cdots+0)]인데, 여기에서 [math(m=n)]이라는 점이 문제다. [math(m)]은 극한 밖의 시그마에서도 사용되는 변수인데, [math(n)]은 극한을 나타내기 위한 보조 변수이므로 [math(m=n)]일 수 없다.8. 무한 지수 탑 함수(infinite power tower function)
[math({\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}\!\!=2)] 와 같은 방정식을 생각하자.이 방정식의 해는 [math(x^2=2)] 즉 [math(x=\sqrt2)]이다.[A] 풀이
이제 [math({\displaystyle {x^{x^{\cdot ^{\cdot}}}}}=4)]라는 방정식을 생각하자.
이 방정식의 해는 [math(x^4=4)] 즉 [math(x=\sqrt2)]이다.[A]
따라서 [math(2={\displaystyle {\sqrt2 ^{\sqrt2 ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\!\!=4)]
따라서 [math(2=4,~1=2)]이다.
8.1. 오류 규명
결론부터 말하면, [math({\displaystyle {x^{x^{⋰}}}}\!\!=4)]의 해는 없다. 자세한 내용은 이 영상을 참고. 따라서 위 논증에서는 [math({\displaystyle {x^{x^{⋰}}}}\!\!=4)]의 해가 있다고 가정했기 때문에 오류이다.설명을 더 보충하자면, 무한대의 테트레이션 [math(\displaystyle {\displaystyle {x^{x^{⋰}}}} \!\! = \lim_{n \to \infty} x \uparrow \uparrow n)]은 [math(-dfrac{W(-{rm Log},x)}{{rm Log},x})][8]에 수렴하는데, 이 함수가 실수 함숫값을 띠는 정의역이 [math((0 ,, 1))][math(\,\cup\,(1 ,\, e^{1/e}])][9]이고, 이에 따라 공역이 [math((0,\,1)\,\cup\,(1 ,\, e])][10]이므로, 당연히 [math(4)]는 여기에 속하지 않는다.
실제로 위의 [math(y=-\dfrac{W(-{\rm Log}\,x)}{{\rm Log}\,x})]의 그래프를 보면, 위의 정의역을 벗어난 구간에서는 물색 선( [math(Im(y))])이 [math(0)]이 아니며, 이는 실수로 표현할 수 없다는 뜻이다.
9. 허수
[math(i=\sqrt{-1})][math(\frac{1}{\sqrt-1}=\frac{1}{i})]
[math({\sqrt\frac{1}{-1}}=\frac{1}{i})]
[math({\sqrt-1}=\frac{1}{i})]
[math(i=\frac{1}{i})]
[math(i^2=1)]
[math(-1=1)]
[math(0=2)]
[math(0=1)]
[math(1=2)]
9.1. 오류 규명
[math(\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{-1}} \neq\sqrt\frac{1}{-1}}=\sqrt{-1} =i)]이다. 왜냐하면 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b} i} = -\sqrt{\frac{a}{b}}i= -\sqrt{\frac{a}{-b}} )]가 되기 때문이다.10. 무한급수
[math(0=0+0+0+\cdots)][math(=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots)]
[math(=1-1+1-1+1-1+1-\cdots)]
[math(=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots)]
[math(=1+0+0+0+\cdots)]
[math(=1)]
[math(0=1)]
[math(1=2)]
10.1. 오류 규명
수렴하지 않는 무한합이기 때문에 괄호를 풀거나 묶을 수 없다.참고로 괄호를 푼 수열은 따로 그란디 급수라는 이름이 붙어 있으며, 오늘날에는 라마누잔합을 이용해 계산한 값인 [math(\displaystyle \frac{1}{2})]을 수렴값으로 '정의'하는 것이 다수론이다.
11. 지수법칙
[math(1=1.5-0.5=1.5+\left(\displaystyle -\frac{1}{2}\right)=1.5+\left(\left(\displaystyle -\frac{1}{2}\right)^3\right)^{\textstyle\frac{1}{3}}=1.5+\left(\left(\displaystyle-\frac{1}{2}\right)^3\right)^{\textstyle\frac{2}{6}})][math(=1.5+\left(\left(\displaystyle-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\textstyle\frac{3}{6}}=1.5+\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{\textstyle\frac{1}{2}}=1.5+\displaystyle\frac{1}{2}=2)]
11.1. 오류 규명
지수법칙 [math((a^m)^n=a^{mn})]에서 [math(m, n)]이 유리수 범위일 때는 밑 a가 양수일 때만 해당 법칙이 성립한다. 위에서는 밑이 [math(-\frac{1}{2})]이라는 음수이기 때문에[11] 위의 지수법칙을 응용한 [math((a^m)^{\frac{n}{p}}=(a^n)^{\frac{m}{p}})]이 성립하지 않는 것이다. 여기서 한걸음 더 나가 [math(i=i^\frac{4}{4}=\sqrt[4] {i^4}=\sqrt[4] {1}=1)] 따라서 [math(i=1)]이라는 괴상한 결론도 가능하다.[12]12. 바나흐-타르스키 역설(Paradoks Banacha-Tarskiego)
ZFC 공리계 내에서 구 하나를 같은 크기의 구 둘로 만들 수 있다. 자세한 증명은 문서 참조.
12.1. 오류 규명
위 정리가 1=2를 증명하지는 않는다. 이는 우리가 '도형의 개수'라는 개념의 성질에 대해 잘 모르기 때문이다.[13] 따라서 위 정리가 1=2를 증명한다고 주장하려면 우리가 이미 성질을 잘 알고 있는 개념들과 연관지어 설명할 필요가 있다. 연관지을 수 있는 개념으로 당장 생각나는 것은 두 가지가 있는데, 하나는 기수(집합의 원소의 개수)이고 다른 하나는 측도(여기서는 부피)이다. 기수 개념과 연관지을 경우, 구 하나의 기수는 초한기수이며, 원래 초한기수에는 유한 배를 해도 자기 자신과 같기 때문에 1=2가 증명되지 않는다. 이는 0×1=0×2에서 1=2를 증명할 수 없는 것과 같은 이유이다. 측도 개념과 연관지을 경우, 위 정리의 증명 중 구를 두 개로 만드는 과정에서 부피를 구할 수 없는 집합이 발생한다. 그러므로 두 집합(구 하나와 구 둘)의 측도가 같다고 할 수 없고, 따라서 이 경우에도 1=2가 증명되지 않는다. 따라서 위 정리로 1=2를 증명할 수 있다는 주장은 논리적 비약이다.13. 관련 문서
[1]
이것은 1=2일 때만 성립하는 것이 아니다. 1=3이라도 성립한다. 1=3이라면 0=2이고, 2로 나누어 0=1이다. '다른 것이 같은 것이라면?'을 가정하기에 어떻든 사실상 말장난이다.
[2]
수식으로 표현하자면
지시함수를 이용해 [math(y = {\bold 1}_{\{2\}}(x) + 1)] 정도로 표현 가능하다.
[3]
위 방식대로 예를 들어 [math(f(x)=x=1+1+ \cdots +1)]로 생각한다면 이 함수를 미분해도 [math(f'(x)=0+0+ \cdots +0=0)]이고 틀린 값이 나온다.
[4]
미분의 해당 성질은 [math(n)]이 [math(x)]에 독립일 것을 전제로 한다. 이러한 전제를 바꿔버리면 전혀 다른 명제가 되어버린다.
실제로 [math(n)]이 [math(x)]에 종속될 경우에는 해당 식이 성립하지 않는다. 즉, [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x))]은 일반적으로 성립하지 않는다. 다음과 같은 반례가 있다.
[math(f_1(x)=0,\; f_2(x)=x,\; n(x)=\begin{cases} 1, \;\;x=0 \\ 2, \;\;x\neq 0 \end{cases})]
이 경우 모든 [math(x)]에 대해 [math(f_1(x)+f_2(x)+...+f_{n(x)}(x)=x)]이므로 [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=1)]이지만, [math(f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x)=\begin{cases} 0,\;\; x=0 \\ 1,\;\; x\neq 0 \end{cases})]이므로 좌변과 우변이 다르다. [5] 이 유튜버의 증명 영상은 고의적으로 교묘한 수학적 오류를 이용해 이상한 명제를 증명하는 컨셉의 영상이다. 즉 거짓임을 명백히 깔고 가는 것이다. 이 댓글 역시 같은 컨셉의 댓글이다.컨셉을 이해 못하고 진짜 믿어버리는 사람도 나온다는 게 문제지만
[A]
엄밀히 말하면 다른 해들도 있지만
무연근이므로 무시한다.
[A]
[8]
[math(W)]는
람베르트 W 함수, [math(\rm Log)]는
복소로그함수이다.
유도 과정 보기
[9]
[math(e^{1/e})]는 1.444667861 정도 되는 수인데, 위의 [math(\sqrt2)]보다 약간 더 크다. 위 영상에서는
해석적 확장을 쓰지 않았기 때문에
정의역을 [math([e^{-e},\,e^{1/e}])]로 제시한다.
[10]
[math(0)], [math(1)]의 경우는
로피탈의 정리를 사용하여 함숫값이 각각 [math(0)], [math(1)]임을 보일 수 있다.
[11]
밑이 음수이고 지수가 정수가 아닌 실수이면 해당 수는 허수가 된다.
[12]
이것은
사차방정식 [math(x^{4}=1)] 의 해와 같고, 이를 풀면 [math(x=1, x=-1, x=i, x=-i)], 이렇게 총 4개의 근이 나온다. 따라서 [math(i=1, i=-1, i=i, i=-i)]라는 네 가지 괴상한 결론이 나온다. 물론 한 가지([math(i=i)])만 맞는다.
[13]
여기서 '잘 모른다'라는 것은 '위 정리로 1=2를 증명할 만큼 충분히 알지는 못한다'라는 뜻이다. 즉, 더 자세히 말하자면 '특정 도형 몇 개를 유한 조각으로 나눈 뒤 적절히 회전 이동, 평행 이동하여 다시 그 도형 몇 개를 만들었을 때 도형의 개수는 보존된다'라는 '도형의 개수'의 성질이 직관적으로는 옳아보일 수 있어도 증명되지는 않았기 때문이다.
실제로 [math(n)]이 [math(x)]에 종속될 경우에는 해당 식이 성립하지 않는다. 즉, [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x))]은 일반적으로 성립하지 않는다. 다음과 같은 반례가 있다.
[math(f_1(x)=0,\; f_2(x)=x,\; n(x)=\begin{cases} 1, \;\;x=0 \\ 2, \;\;x\neq 0 \end{cases})]
이 경우 모든 [math(x)]에 대해 [math(f_1(x)+f_2(x)+...+f_{n(x)}(x)=x)]이므로 [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=1)]이지만, [math(f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x)=\begin{cases} 0,\;\; x=0 \\ 1,\;\; x\neq 0 \end{cases})]이므로 좌변과 우변이 다르다. [5] 이 유튜버의 증명 영상은 고의적으로 교묘한 수학적 오류를 이용해 이상한 명제를 증명하는 컨셉의 영상이다. 즉 거짓임을 명백히 깔고 가는 것이다. 이 댓글 역시 같은 컨셉의 댓글이다.