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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| 오각형 |
다섯모 / 五 角 形 / pentagon
5개의 선분으로 둘러싸여 있고 꼭짓점도 5개이다. 순우리말은 다섯모.
내각의 총합은 540º이고 외각은 360º이다. 정오각형의 한각은 540도에서 5를 나눈 108도의 값이 나온다.
마법진 등에서 흔히 나타나는 오망성은 이 도형의 대각선으로 이루어졌다.
지구에서 관측하는 금성의 궤도는 이 오각형과 관련이 있다. 자세한 내용은 금성 문서 참조.
생화학이나 약리학에서 거의 제일 흔하게 볼 수 있는 도형이다. 해당과정 TCA회로부터 펜토라민이나 펜토바비탈 등이다.
미국의 국방부 청사인 펜타곤이 바로 뜻그대로 오각형이며 (오각형이 그냥 영어로 펜타곤이니까) 지금은 철거된 2018 년 평창동계올림픽 개폐회식이 열린 평창 올림픽 스타디움 또한 역시 똑같은 오각형 모양이다.
분자 구조가 오각형인 경우가 있는데 공통적으로 열에 매우 약하다. 비타민C, 과당이 대표적이다.
흔히 게임이나 스포츠 등에서, 캐릭터 또는 선수의 성능/역량이 전반적으로 뛰어날 경우 '오각형이다' 또는 '오각형에 가깝다'라고 표현한다. 5라는 숫자가 가지는 적절함과 안정성에 기인하여, 일반적으로 RPG 게임 등에서는 캐릭터의 능력을 다섯 가지로 표현한다. 이를 도식화하면 자연스레 그래프가 오각형의 모양이 되는데, 5가지 능력이 모두 균등하게 뛰어나면 깔끔한 정오각형의 그래프가 나온다. 여기에 유래하여 다방면으로 뛰어나다는 의미로 오각형에 빗대는 것.[1]
2. 정오각형
모든 내각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 오각형. 내각의 총합이 540º이므로 한 각의 크기는 108º이다.겉길이는 [math(\left(5\right)a)]이며 한 변과 한 대각선의 길이의 비는 황금비 [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]이고, 면적은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}\right)a^2)]이며 외접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]이며 내접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]다. 높이는 [math(\left(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\right)a)]이다.
2.1. 정오각형의 작도
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1.(초록색) 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.
2.원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.
3.점 O를 지나면서 직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 곳을 점 B라고 한다.
4.점 O와 점 B의 가운데에 있는 점 C를 그린다.
5.(빨간색) 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 곳을 점 D라고 한다. (이 때 원 C가 직선 OB와 만나는 점은 두 개가 있다. 이 중 원 O 안에 있는 점)
6.(파란색) 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.
7.점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.
8.점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.
9.(검은색) 오각형 AEGHF를 그린다.
작도는 아니지만 일상에서 정오각형을 만들 수 있는 방법으로는 일정한 폭의 띠를 매듭 묶듯이 접으면 정오각형이 매듭으로 접어진다. 여기에 삼각형을 더하면 정십오각형도 작도 가능해진다.
2.2. n차원에서의 오각형을 이용한 도형들
한편 오각형을 n차원으로 확장시키면[2] 이 도형을 사용하여 만들어진 유일한 정다면체로 정십이면체가 있다. 정십이면체를 사용하여 만든 진화형(?)으로 정백이십포체가 있다. 5차원 이상으로는 오각형을 이용한 그 진화형(?)이 사라진다. 그 이유는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.23607차원에서 오각형 계열이 정규 벌집이 되기 때문이다. 오각입방체 한정으로 [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]~5.23607차원에선 이포각이 ±∞로 발산하는 파라콤팩트가 되며 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]~6.23607차원에선 이포각이 0º로 다시 측정이 가능하며 차원이 올라갈수록 90º에 점점 가까워진다.[3] 오각입방체가 7차원 이상에서는 각도 측정이 가능하지만 논콤팩트 입체를 사용해서 만들어서 모든 요소가 스패리셀일때만 해당하는 [math(H_n)]그룹으로 인정받지 못한다. 반면 오각정축체는 차원이 올라갈수록 이포각이 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))]~-1.61803에 가까워져서 5차원 이상의 모든 차원에서 각도 측정이 불가능하다. 오각다포체 문서를 보면 4차원 까지가 스패리셀, 5차원이 컴팩트, 6차원이 논콤팩트이며 보통 7차원 이상은 잘 다루지 않지만 굳이 오각다포체의 이포각은 다음과 같다. 엄밀히 말하면 5차원 이상은 하이퍼볼릭으로 [math(H_n)]그룹에 해당하는 수열 자체가 없기 때문. {5,3,3,3}만 해도 이포각이 [math(\left(-2-\sqrt{5}\right))][4]로 -4를 밑돌며 {3,3,3,5}는 [math(\left(\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{5}\right))][5]으로 -1을 밑돈다.| 허니콤 | {5,3,...,3} | {3,...,3,5} |
| 이포각 -1 | ~4.23607차원 | ~4.23607차원 |
| 이포각 ±∞ | ~5.23607차원 | x |
| 이포각 1 | ~6.23607차원 | x |
| 이포각 임계점 | x | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))][6] |
[1]
유사한 어휘로 야구계에 파이브 툴 플레이어라는 말을 쓴다. 타격의 정확성과 힘, 수비/주루/송구능력 등 5가지 능력에서 모두 출중한 선수를 말하며, 대표적으로
마이크 트라웃이 있다. 이 능력치를 기준으로 마이크 트라웃과도 같은 파이브 툴 플레이어를 나타내면 완전히 그래프를 가득채운 오각형이 나오는 셈이다.
[2]
꼭지점을 중심으로 확장시킨 도형으로는
정이십면체,
정육백포체 가 있다.
[3]
육각형 이상 계열에서도 차원은 다르지만 마찬가지이다.
[4]
~-4.23607, ~180-121.61316i°
[5]
~-1.09443, ~180-24.70736i°
[6]
~-1.61803, ~180-60.80658i°