| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
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정육백포체
회전하는 정육백포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져 있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{3}\approx70.53\degree)]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53°×5 = 352.65°로 360° 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53°×6 = 423.18°로 360°를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없으며 꼭짓점마저도 {3,6}으로 유클리드 타일링이라 끝까지 그릴 수 없게 된다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없으며, 이 경우에는 꼭짓점마저도 쌍곡인지라 끝까지 그릴 수 없게 된다.[2] 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35°로 작아서[3] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않아 이포각이 크게 나타나기 때문이다. 여담으로, {3,3,3}정오포체와 이포각을 합치면 정확히 240°가 되며, {3,3,5/2}와 {3,3,4}정십육포체의 이포각을 합치면 {3,3,5}정육백포체와 이포각이 같아진다. 한마디로 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 빼면 {3,3,3}, 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 {3,3,5}와 같으며, {3,3,3}과 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 정확히 120°로, {3,4,3}, {3,3,4}와도 이포각이 같은 것.[4]
그리고 정백이십포체와 마찬가지로, 5차원 이상의 도형을 만들 수 없다. 왜냐하면 한 이포각의 크기가 약 164.48°여서 세 개가 만나면 당연히 493.44°가 되어 360°를 초과하는데, 정오포체 5개가 한 모서리에 만난다고 해도 약 377.40°가 되어 360°를 초과하기 때문이다.
2. 정보
| 슐레플리 기호 | {3,3,5} |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 120개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 720개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 1200개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 600개 |
| 쌍대 | 정백이십포체 |
| 이포각 |
[math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8}\right))][5] (약 164.4775˚) |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
테트라플렉스(tetraplex) 또는 tetrahedral complex 폴리테트라헤드론(polytetrahedron) 하이퍼이코사헤드론(hypericosahedron)[6] |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정육백포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = [math(720a)]
총 면적(total surface area) = [math(300\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(50\sqrt{2}a^3)]
초부피(bulk) = [math(\dfrac{50+25\sqrt{5}}{4}a^4)][7]≈[math(26.4754a^4)]
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}a)]
[1]
사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영됐다.
[2]
5차원 단체 5개가 모이는 {3,3,3,3,5}는 꼭짓점마저도 쌍곡이라 끝까지 그릴 수 없으며, 정오포체 6개가 만나는 {3,3,3,6}은 모서리 또한 유클리드 벌집이며 5차원 정축체 3개가 만나는 {3,3,3,4,3} 역시 꼭짓점마저도 {3,3,4,3} 유클리드 벌집이므로 끝까지 그릴 수 없다.
[3]
360°를 100%로 보았을 때 약 2.07% 정도밖에 되지 않는다.
[4]
마찬가지로, {3,3}
정사면체와 {3,4}
정팔면체, {3,5}
정이십면체와 {3,5/2}
큰 이십면체, {5,3}
정십이면체와 {5,5/2}
큰 십이면체, {5/2,3}
큰 별모양 십이면체와 {5/2,5}
작은 별모양 십이면체도 이포각을 합치면 180°가 되어서 서로 이들끼리 조합하면 유클리드 벌집을 만들 수 있다.
[5]
[math(\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}(-\dfrac{1}{4}))]
[6]
초(超)정이십면체
[7]
[math(\dfrac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4)]