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최근 수정 시각 : 2024-01-16 19:54:59

정십이면체


정다면체
Regular Polyhedron
플라톤 다면체
(볼록 정다면체) 		정사면체 · 정육면체 · 정팔면체
정십이면체 · 정이십면체
케플러-푸앵소 다면체
(오목 정다면체) 		작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체
큰 십이면체 · 큰 이십면체


1. 개요2. 정십이면체에 대한 정보
2.1. 다른 정다면체들과의 관계
3. 현실에서의 예시4. 창작물에서의 예시5. 기타

파일:external/upload.wikimedia.org/Dodecahedron.gif
정다면체중 하나인 정십이면체의 모습.

1. 개요

正 十 二 面 體, Regular dodecahedron[1]

한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 총 열두 개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체.

정십이면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정백이십포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야 하므로 현실에서는 불가능하다.

2. 정십이면체에 대한 정보

단위/특성 개수 비고
슐레플리 기호 {5,3}
꼭지점(vertex, 0차원) 20
모서리(edge), 1차원) 30
면(face, 2차원) 12 정오각형
쌍대 정이십면체 {3,5}
포함 관계
또는 다른 이름

한 변의 길이가 [math(a)]인 정십이면체가 있을 때

외접구의 반지름 =[math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a)]= [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\varphi a)][2]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a)][3]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(30a)]
겉넓이(surface area) = [math(3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)]
부피(volume) = [math(\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)]≈7.6631a3

2.1. 다른 정다면체들과의 관계

3. 현실에서의 예시

4. 창작물에서의 예시

5. 기타

플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 에테르를 상징한다고 해석하기도 하였다.
[1] 복수는 regular dodecahedra [2] 여기에서 φ는 황금비이다. [math(\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}))] [3] [math(\dfrac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}a)] [4] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다. [5] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다. [6] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다. [7] 도라에몽에도 나온 적이 있다. [8] 필드에 종종 나타나는 크레이트의 모양이 정십이면체이다. 타이베리움 워 이후의 타이베리움 사가 시리즈에서는 깎은 정사면체로 대체된다. [9] 주인공 애로웨이 박사가 탑승하는 워프게이트의 캡슐이 정십이면체의 모서리로 둘러싸여 있다.

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