1. 미적분학에서의 야코비안
1.1. 개요
카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법.다중적분을 할 때, 미분소 [math({\rm d}A)], [math({\rm d}V)], [math({\rm d}S)] 등을 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식이다. 좌표계마다 축의 방향과 눈금의 크기가 다르기 때문에, 좌표계 변환을 할 때 이를 보정해주어야 하는데, 이 보정하는 역할을 하는 것이 야코비안이다.
예를 들어, 면적분의 좌표계를 바꾸기 위해 [math((x,y))]로 표현되는 좌표를 [math((r,\theta))]로 바꿔줄 때 야코비안 [math(J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \cos \theta \\ \sin \theta \end{aligned} & \begin{aligned} -r\sin \theta \\ r\cos \theta \end{aligned} \end{vmatrix} = r)]을 이용해
| [math({\rm d}A = {\rm d}x \,{\rm d}y = |J| \,{\rm d}r \,{\rm d}\theta = r \,{\rm d}r \,{\rm d}\theta)] |
덧붙여 야코비안은 행렬식 안에 편미분이 들어가기 때문에 식 자체의 크기가 꽤 크다. 이를 간단하게 표기하기 위해서, 다음과 같은 표기법들을 사용하기도 한다.
| [math(J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \left| \dfrac{\partial (x,\,y)}{\partial (r,\,\theta)}\right| )] |
| [math(J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta} \end{pmatrix} )] |
일반적으로는 [math(n)]개의 변수를 마찬가지로 [math(n)]개의 변수로 치환하기 때문에 [math(n)]차 정사각행렬의 행렬식의 형태를 띄게 되는데, 미분기하학 등의 분야에서는 변수를 줄여서 매개화를 시키는 경우에 한해서 정사각행렬이 아닌 야코비 행렬만을 따지기도 한다. 예를 들면 다음과 같은 경우가 있다.
|
사상 [math({\bf x}: D(\subseteq\mathbb R^2)\to\mathbb R^3)]가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. [math({\bf x}(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)))] 즉 벡터 [math(\bf x)]를 [math({\bf x}=(x,\,y,\,z))]라고 둘 때, [math((x,\,y,\,z))]를 2개의 매개변수 [math((u,\,v))]로 매개화를 시킨 상황이다. 이 경우, 이 사상은 벡터장에 의해 정의된 3차원상의 평면으로 나타나며, 이 사상의 야코비 행렬은 다음과 같이 표기한다. |
| [math(J=\dfrac{\partial (x,\,y,\,z)}{\partial (u,\,v)})] |
이 행렬은 [math(J = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{pmatrix})]의 [math(3\times2)] 행렬이 되는데, 당연히 행렬식을 구할 수는 없으니 의미가 없어보이지만, 이 행렬의 전치행렬에 3차원 좌표계의 기저벡터[math((U_1, U_2, U_3))]를 추가하여 행렬식을 구성. 즉 벡터로 변환하게 되면 다음과 같다.
[math(J^{T *} = \begin{vmatrix} \begin{aligned} U_1 \\ \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_2 \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_3 \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{vmatrix}=\left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}-\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v},\,\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v},\,\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right))]
그런데 이 벡터는 [math(\bf x)]를 [math(u)]와 [math(v)]로 편미분한 두 미분벡터 [math({\bf x}_u,\,{\bf x}_v)]의 외적과 정확히 일치한다는 것이 알려져 있다. 이런 식으로 야코비안은 반드시 정사각행렬이 아니더라도 다양한 분야에서 사용된다.
1.2. 유도
벡터를 이용한 넓이 공식 및 다변수 함수의 전미분으로부터 유도할 수 있다[1]. 간단하게 2차원 직교 좌표계의 경우를 보자.[math({\rm d}x)], [math({\rm d}y)]는 서로 독립이며 각각 [math(x)]축, [math(y)]축에 평행한 미소(smallness 또는 infinitesimals) 길이므로 단위 벡터 [math({\bf e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix})], [math({\bf e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix})]를 이용하여 나타내면 각각
| [math(\begin{aligned} {\rm d}x {\bf e_1} &= {\bf dx} = \begin{pmatrix} {\rm d}x \\ 0 \end{pmatrix} \\ {\rm d}y {\bf e_2} &= {\bf dy} = \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}y \end{pmatrix} \end{aligned})] |
| [math(\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} {\rm d}x & 0 \\ 0 & {\rm d}y \end{Vmatrix} = | {\rm d}x{\rm d}y |)] |
한편 [math(x,\,y)]가 극좌표 매개변수 [math(r,\,\theta)]로 나타낼 수 있는 함수 [math(x(r,\,\theta))], [math(y(r,\, \theta))]라고 할 때 각각의 전미분 [math({\rm d}x,\,{\rm d}y)]는 다음과 같이 된다.
| [math(\begin{aligned} {\rm d}x &= \frac{\partial x}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} {\rm d}\theta \\ {\rm d}y &= \frac{\partial y}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial y}{\partial \theta} {\rm d}\theta \end{aligned})] |
[math(\mathrm dr)], [math(\mathrm d\theta)]도 서로 독립이며 [math(\mathrm dx)], [math(\mathrm dy)]처럼 벡터로 나타낼 수 있으므로 위 전미분 식의 미소 길이를 모두 벡터로 대체한다.
| [math(\begin{aligned} {\bf dx} &= \dfrac{\partial x}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial x}{\partial r} \begin{pmatrix} {\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \\ {\bf dy} &= \dfrac{\partial y}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial y}{\partial r} \begin{pmatrix}{\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \end{aligned})] |
| [math(\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix})] |
| [math(\begin{aligned} \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix} &= \begin{Vmatrix} \left( \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \right)^\mathrm T \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \end{Vmatrix} \\ &= \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{aligned} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{Vmatrix} = |J| | {\rm d}r{\rm d}\theta | \end{aligned})] |
일반적으로 [math({\rm d}x{\rm d}y)], [math({\rm d}r{\rm d}\theta)]가 양의 값이 되도록 좌표축을 잡으므로
| [math({\rm d}x{\rm d}y = |J|{\rm d}r{\rm d}\theta)] |
[math(3)]차원 공간 좌표계를 이용해서도 같은 방법으로 유도할 수 있다. 더 힘들 뿐이다.
1.3. 예시
-
직교 좌표계 → 극좌표계로의 변환
양수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta} \end{vmatrix} )] 이므로
[math(\begin{cases} \begin{aligned} x &= ar \cos \theta \\ y &= br \sin \theta \end{aligned} \end{cases})]에서
[math(|J| = \begin{Vmatrix} a \cos \theta & -ar \sin \theta \\ b \sin \theta & br \cos \theta \end{Vmatrix} = ab|r|)]
[math(r)]이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 [math(|J| = abr)]
[math(a \ne b)] 일 때 타원이며 [math(a=b)]일 때 원. 두 경우 모두 [math(r)]의 범위가 [math(0 \le r \le 1)]로 주어지는 특징이 있다. 원에 한해서는 그냥 [math(a=b=1)]로 하고 반지름 [math(R)]에 대해 [math(r)]의 범위를 [math(0 \le r \le R)]로 잡아도 된다.
-
공간 좌표계 → 원통 좌표계로의 변환
[math(\begin{cases} \begin{aligned} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \\ z &= \zeta \end{aligned} \end{cases})]에서
[math(|J| = \begin{Vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix} = |r|)]
[math(xy)]평면에 평행한 단면이 타원일 경우 역시 위의 값에 [math(ab)]를 곱한다. [math(r)]이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.
-
공간 좌표계 → 구좌표계로의 변환
[math(\begin{cases} \begin{aligned} x &= r \sin \theta \cos \phi \\ y &= r \sin \theta \sin \phi \\ z &= r \cos \theta \end{aligned} \end{cases})]에서
[math(|J| = \begin{Vmatrix} \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & -r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \end{Vmatrix} = {\left| r^2 \sin \theta \right|} = r^2 | \sin \theta| )]
[math(\sin \theta)]값이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면[3] 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.
-
타원이나 마름모꼴에서
[math(\begin{cases} \begin{aligned} u &= x+y \\ v &= x-y \end{aligned} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x &= \dfrac{u+v}2 \\ y &= \dfrac{u-v}2 \end{aligned} \end{cases})]에서
[math(|J| = \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac 12 \\ \dfrac 12 \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac 12 \\ -\dfrac 12 \end{aligned} \end{Vmatrix} = \left| -\dfrac 12 \right| = \dfrac 12)]
또는
[math(\begin{cases} \begin{aligned} u &= 2x-y \\ v &= y \end{aligned} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x &= \dfrac{u+v}2 \\ y &= v \end{aligned} \end{cases})]에서
[math(|J| = \begin{Vmatrix} \dfrac 12 & \dfrac 12 \\ \\ 0 & 1 \end{Vmatrix} = \dfrac 12)]
2. 선형대수학에서의 야코비안
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선형대수학이나 공업수학의 상 미분방정식 파트의 연립상미분방정식(system of ODE)에서 등장한다. non-homogeneous ODE의 critical point 근처에서의 거동을 알아보기 위해 non--homogeneous항을 선형성있게 행렬로 근사한 후 값을 대입하여 solution curve의 개형을 알아본다.
n원일차연립방정식에서는 n x n의 야코비 행렬이 쓰인다.
만약 critical point 근처라면, x'(t)와 y'(t)는 다음과 같은 합으로 나타낼 수 있다.
()
여기서, critical point 근처에서는 x'(t)≈0, y'(t)≈0이므로 oo항을 날릴 수 있다.
(미완성)
3. 자코비 행렬
자코비 행렬(야코비 행렬)은 행렬 미적분학(matrix calculus)에서 다루어지는 각기 다른 자코비 행렬들을 가리킨다. 전형적으로는 자코비(안) 행렬식을 계산(미적분)하는 자코비 형렬, 벡터 미적분학에서도 사용하는 자코비안 연산자인 자코비 행렬이 있다. 그리고 자코비 공식(Jacobi formula)으로도 잘 알려진 자코비 행렬식(determinant)도 있다.
[1]
엄밀하게는 미분형식에 대해
크라메르 공식을 이용하는 방식을 이용한다. [math(x, y)] 쌍과 [math(u, v)] 쌍이 서로 독립적이기 때문에 각각의 1-형식인 [math({\rm d}x, {\rm d}y)]와 [math({\rm d}u, {\rm d}v)]가 각각에 대해 독립적이 되는지라 선형대수를 접목시킬 수 있고, 그 결과가 야코비안으로 나오는 것.
[2]
정확히는 두 벡터의 외적으로 얻어진 벡터의 크기인데 이를 라플라스 전개로 분해하면 이렇게 된다.
[3]
보통 두 각의 범위를 [math(0 \le \theta \le \pi)], [math(0 \le \phi \le 2\pi)]로 잡는 것도 이 때문이다.