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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| 칠각형 |
일곱모 / 七 角 形 / heptagon
변이 일곱 개인 도형( 다각형). 각도 일곱 개이다. 7을 뜻하는 접두사 'Hepta-'에 다각형을 뜻하는 접미사 '-gon'을 붙여 만든 단어이다.
칠각형의 내각의 총합은 900도[1]이고 외각의 총합은 다른 모든 볼록 다각형과 마찬가지로 360도이다.
2. 정칠각형
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| 정칠각형 |
正 七 角 形 / regular heptagon
정다각형의 하나. 길이가 같은 7개의 선분으로 둘러싸여 있고, 꼭짓점의 각도는 900/7 ~ 128.57도 정도이다. 정확히는 [math(128.\dot57142\dot8)]도이다. (숫자가 순환하는 구간 양 끝 수의 위에 점을 찍는 표기법에 대해서는 순환소수 참조.) 정칠각형은 정다각형 중 한 각의 크기를 육십분법으로 나타냈을 때의 각도가 자연수가 아닌 최초의 정다각형이다.
2.1. 작도
정칠각형은 눈금없는 자와 컴퍼스로 작도가 불가능한 도형이며 그 중 가장 각의 수효가 적다. 이는 3 이상의 소수 중 페르마 소수가 아닌 가장 작은 수가 7인 것과 관련이 있다. 흔히 알려져 있는(?) 정칠각형 작도법은 잘못된 작도법이다. # 우연히도 이 작도법으로 그린 칠각형이 실제 정칠각형과 오차가 매우 작게 나서 이런 오해가 퍼진 것이다. 한편, 복소평면에 [math(x^7 - 1 = 0)]의 단위근을 표시해서 점끼리 선으로 연결하면 정칠각형이 만들어지지만,[2] 유클리드 작도가 불가능한 도형이다보니 대수적으로 구한 단위근이 꽤 복잡하게 나온다.[3]정칠각형의 면적은 [math(\sqrt{{\frac{7}{3}}(35+2{\sqrt[3]{196}}({\sqrt[3]{13-3i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{13+3i\sqrt{3}}))}}\times {\frac{a^2}{4}})]이다.[4]
일반적으로는 작도가 불가능하지만 눈금이 있는 자를 이용하면 종이에 그릴 수 있다. 뉴시스 작도로 [math(\dfrac{\pi}7=\dfrac{180\degree}7)]를 작도할 수 있기 때문이다.
뉴시스 작도와 일반 작도를 응용하면 14각형, 21각형, 28각형, 35각형 등도 작도할 수 있다.
3. 활용
칠각형을 로고로 사용하는 기업은 독일 기업인 메르츠가 있다.대한민국 국군중 제7기동군단의 부대마크가 정칠각형 모양이다.
파운드 스털링의 주화 중에 20펜스와 50펜스짜리 주화가 이 모양을 하고 있다.
조선시대에는 한때 칠각 기둥이 유행하기도 했다. 칠각 주춧돌도 간혹가다 발견되고 있는 듯. 이외에도 고구려 유리왕에 관한 설화에서는 고주몽이 떠나면서 칼조각을 칠각기둥의 주춧돌 근처에 숨겼다는 이야기가 전해진다.
[1]
180*(7-2)
[2]
마찬가지로, 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(x^n - 1 = 0)]의 모든 복소수해는 복소평면에서 단위원에 내접하는 정[math(n)]각형의 꼭짓점을 이룬다. 또한 이 방정식의 모든 복소수해는 특수한 과정을 거쳐 삼각함수를 쓰지 않은 상태로 표현이 가능하지만, 정말 특별한 경우가 아닌 한 매우 어렵고 복잡하다.
[3]
[math( x^{6} + x^{5} + … + x + 1 = 0 )]에서 양변을 [math( x^3 )]으로 나눈 뒤 [math( y = x + \frac{1}{x} )]로 치환하면 삼차방정식이 나온다. 이 삼차방정식의 근을 역치환해서 이차방정식을 구하면 되기는 하지만 매우 복잡하다. 또, 가우스가 정십칠각형의 작도 가능성을 증명할 때 [math(x^{17} - 1 = 0)]의 근을 푸는 방법과 비슷한 방법으로 1을 제외한 복소수 범위의 근 6개를 적절히 분해해서 이차방정식과 삼차방정식을 차례대로 푸는 방법도 있다.
[4]
이 값은
환원 불능(casus irreducibilis)이기 때문에
허수단위 [math(boldsymbol i)] 없이 표기할 수 없다.