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고전역학 Classical Mechanics |
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1. 개요
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| 푸코의 진자 모습 |
푸코의 진자(Foucault pendulum)는 지구의 자전을 증명하기 위해 고안해낸 실험 장치이다.
1851년 프랑스의 과학자 장 베르나르 레옹 푸코는 팡테옹의 돔 천장에 길이 [math(\textrm{67\,m})]의 실을 달고, 그 아래 [math(\textrm{28\,kg})]의 추를 메달아 커다란 단진자를 만들었다. 그는 이 진자를 흔들어 지구의 자전을 증명하였고, 이 업적으로 당시의 노벨상이라 할 수 있는 코플리상을 받았다.
진자에 작용하는 힘은 중력과 장력뿐이므로 진자는 일정한 방향으로 흔들리게 된다. 그러나 지구의 자전에 의해 바닥이 같이 움직이므로, 바닥에 서있는 우리 눈에는 진자가 시계방향으로 도는 것처럼 보이게 된다.[1] 그는 계산을 통해 파리의 위도에서는 32시간을 주기로 돌 것이라고 예상하였고, 그의 예상은 멋지게 들어맞았다.[2]
참고로 실험에 쓰였던 진자는 1855년에 파리 국립 과학 연구원으로 옮겨졌으나 결국 줄이 끊어져 파손되었고, 현재 위 사진에 찍힌 팡테옹에 있는 것은 복제품이다.
구글에서는 2013년에 레옹 푸코 탄생 194주년을 기념하여 진자의 움직임을 모두 재현한 놀라운 애니메이션을 로고에 박아놓았다. # [3]
2. 역학적 분석[4][5]
지구의 좌표계[6]에 대하여 [math(\omega)]로 자전하는 회전 좌표계(비관성계)에서 진자를 매달아 놓은 축을 [math(z)]축으로 설정하자. 문제를 간단히 하기 위해 진자는 미소 변위로 진동하며, 진자를 매달아놓은 길이 [math(l)]의 줄은 매우 가볍고, 길다고[7] 가정한다. 또한 진자의 평형점일 때의 위치를 원점으로 가정한다. 이때, 회전 좌표계에서 진자의 가속도는
[math( \displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathbf{T}}{m}+\mathbf{g}-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v})]
주의해야 하는 것은 [math(\mathbf{a})]는 회전 좌표계에서 측정된 진자의 가속도라는 것이다. [math(\mathbf{g})] 또한, 만유인력에 의한 중력 가속도 뿐만 아니라, 자전에 의해 생기는 원심력을 보정한 중력 가속도이다. 제 [math(3)]항인 [math(-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v})]는 코리올리 힘에 의한 가속도이다. [math(\mathbf{T})]는 장력이다.[8]
[math(\mathbf{T})]에 대한 분력을 생각해보면, 진자가 미소 변위로 진동하기 때문에
[math( \displaystyle T_{x}=-\frac{x}{l}T,\,T_{y}=-\frac{y}{l}T,\,T_{z}\approx T)]
로 놓을 수 있고, 마찬가지 이유로 진자의 z축 속도 [math(\dot{z}\approx 0)][9]로 놓을 수 있다. 따라서 진자의 속력은
[math( \displaystyle \mathbf{v}\approx\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}})]
가 된다.
위도[10]가 [math(\lambda)]인 곳에서 회전 좌표계에서 측정된 자전 각속도는 아래의 그림을 참고하면, 아래와 같음을 알 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \omega_{x}&=-\omega\cos{\lambda} \\ \omega_{y}&=0 \\\omega_{z}&=\omega\sin{\lambda} \end{aligned})]
이상에서 진자의 코리올리 힘에 의한 가속도는
[math( \displaystyle -2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}=2\omega_{z} \dot{y}\hat{\mathbf{x}}-2\omega_{z} \dot{x}\hat{\mathbf{y}}+2\omega \dot{y}\cos{\lambda}\hat{\mathbf{z}})]
가 된다.
진자의 진동면([math(xy)]평면)만 생각해주게 되면, [math(a_{x}=\ddot{x})], [math(a_{y}=\ddot{y})]이고, [math(T/ml \equiv \alpha^{2})]라 놓으면, 아래의 두 방정식이 나오게 된다.
[math(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \ddot{x}+\alpha^{2}x=2\omega_{z} \dot{y}\\ \displaystyle \ddot{y}+\alpha^{2}y=-2\omega_{z} \dot{x}\end{array}\right.)]
위 식에서 두 번째 식에 [math(i)]를 곱하고, 첫 번째식과 합하면,
[math( \displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=2\omega_{z}(\dot{y}-i \dot{x}))]
이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=-2i\omega_{z}(\dot{x}+i\dot{y}))]
이때, [math(q \equiv x+iy)]를 도입하면,
[math( \displaystyle \ddot{q}+2i\omega_{z}\dot{q}+\alpha^{2}q=0)]
이 되고, 이 방정식의 해는 쉽게 나온다.
[math( \displaystyle q(t)=\exp{(-i \omega_{z}t)} [ A\exp( \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t)+B\exp ( - \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t ) ])]
이때, 지구가 만약 자전하지 않는다면, [math(\omega_{z}=0)]이므로
[math( \displaystyle \ddot{q}'+\alpha^{2}q'=0)]
이 되고[11], 이것은 진동 방정식이므로 [math(\alpha)]는 진자의 진동수와 관계되는 인자임을 알 수 있다. 그런데 명백히 진자의 각진동수는 지구의 자전 각진동수보다 크므로 즉, [math(\alpha \gg \omega_{z})]이므로
[math( \displaystyle q(t) \approx \exp{(-i \omega_{z}t)} \left [ A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right ) \right ] )]
그런데 지구가 자전하지 않을 때의 방정식의 해는
[math( \displaystyle q'(t)= A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right ) )]
이상에서
[math( \displaystyle q\mathbf(t)= \exp{(-i \omega_{z}t)}\, q'(t) )]
이 성립하고, [math(q(t) \equiv x(t)+iy(t))], [math(q'(t) \equiv x'(t)+iy'(t))], [math(\exp{(-i \omega_{z}t)}=\cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}t})]임을 이용하면,
[math( \displaystyle x(t)+iy(t)=\left ( \cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}}t \right )\left [ x'(t)+iy'(t) \right ] )]
가 되고, 이것을 실수부와 허수부를 정리하여, 행렬로 나타내면,
[math( \displaystyle \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\omega_{z}t} &\sin{\omega_{z}t} \\ -\sin{\omega_{z}t} &\cos{\omega_{z}t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'(t) \\ y'(t)\end{bmatrix} )]
가 된다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
- 가운데 행렬은 자전의 반대 방향의 회전 변환을 나타내는 변환 행렬이므로 진자는 지구가 자전할 때, 진동면은 자전 방향의 반대로 회전한다는 사실을 알 수 있다. 그런데 이것은 실제로 관측되었고, 결국 지구는 자전한다는 사실을 실험으로 증명해낸 것이다.
- 단진자의 진동은 진동면의 회전과 무관하게 운동한다: 관성
- 푸코진자의 진동수는 위도마다 다르며, 위도가 높아질 수록 [math(\omega_{z})]는 증가하므로 극점에서 관측할 때, 진동수가 최대로 진동면이 회전하고, 적도에서 관측하면, [math(\omega_{z}=0)]임에 따라 진자의 진동면은 회전하지 않는다.
참고로, 미소 변위에 대해,
[math( \displaystyle \alpha^{2}=\frac{T}{ml} \approx \frac{mg}{ml}=\frac{g}{l})]
이다. 따라서 푸코진자의 각진동수는 거의 단진자와 근사적으로 동일함을 알 수 있다.
3. 관련 문서
[1]
남반구에서는 시계 반대방향
[2]
극점에서는 지구의 자전과 같은 약 24시간(24시간은 해의 위치 기준 1회전이므로 여기서는 그보다 살짝 짧은 23시간 56분.)을 주기로 돌며, 적도에서는 돌지 않는다. 이것에 대한 증명은 아래에 있다.
[3]
단순한 그림이 아니라 위도와 시간을 설정할수 있다
[4]
이 문단의 내용은 "Classical Dynamics of Particles and Systems(5th)" by. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion을 참고하였다.
[5]
물리학과 2학년
고전역학 수준으로 기술되었다.
[6]
지구 중심이 원점인 고정된 관성계를 말한다.
[7]
실제 푸코 진자도 매우 높은 위치에 매달아 놓은 것을 알 수 있다.
[8]
비관성 좌표계 참고.
[9]
[math(\dot{z} \Leftrightarrow \dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}t})]이다. 좌변은
뉴턴식, 우변은
라이프니츠식 미분계수이다.
[10]
단 북반구로 생각한다.
[11]
참고로 프라임은 지구가 자전하지 않을 때의 좌표계를 구분하기 위해 붙인 것이다.