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평면기하학 Plane Geometry |
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| 한 바퀴에 근접하게 그린 제곱근의 앵무조개. |
1. 개요
제곱 根의 鸚 鵡조개 / spiral of Theodorus피타고라스 정리로 유도되는, 앵무조개처럼 생긴 도형. 영어로는 spiral of Theodorus[1]라고 불린다. 무수히 많은 직각삼각형들이 한 점을 공유하며 회전하듯이 이어진다.
2. 상세
밑변과 높이가 [math(1)]인 직각삼각형에서 출발하여, 길이가 [math(\sqrt2)], [math(\sqrt3)], [math(\sqrt4)], [math(\cdots)]인 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 차례로 그려 나가면 앵무조개와 같은 기하학적 무늬가 나오는데, 이를 제곱근의 앵무조개라고 한다. 제곱근의 앵무조개에서 모든 직각삼각형의 밑변의 길이는 [math(1)]이다. [math(n)]번째 직각삼각형의 빗변의 길이는 [math((n+1))]번째 직각삼각형의 높이와 같고, 그 길이는 [math(\sqrt{n+1})]이다. 표로 정리하면 다음과 같다.| [math(\boldsymbol n)]번째 직각삼각형 | ||
| 밑변의 길이 | 높이의 길이 | 빗변의 길이 |
| [math(1)] | [math(\sqrt{n})] | [math(\sqrt{n+1})] |
[math(1^2+(\sqrt n\,)^2 = (\sqrt{n+1}\,)^2 = n+1)]
이므로 관계가 성립한다. 나아가, [math(n)]은 자연수이므로 제곱근의 앵무조개는 한없이 많이 그릴 수 있다.
직각을 작도할 수 있고, 컴퍼스를 사용하여 길이가 같은 선을 또 그릴 수 있기 때문에, 제곱근의 앵무조개는 작도 가능하다. 만약 직각삼각형의 변의 길이에 [math(\rm cm)] 따위의 단위를 붙인다면, 정확히 [math(1\,\rm cm)]를 작도하는 것은 눈금 없는 자로는 불가능하겠지만, 단위를 언급하지 않았기 때문에 첫째 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 어떻게 정하든 그것이 바로 단위길이가 되므로 문제가 없다.
한편, [math(n)]번째 직각삼각형까지 이어 붙였을 때 회전한 각은
[math(\displaystyle
\sum_{k=1}^n \arctan \biggl( \frac1{\sqrt k} \biggr)
)]
이고, 적분 판정법에 따라 위 급수는 발산한다. 따라서 이 조개 모양은 무한히 지속된다.
다른 시각으로 보면, 2차원에서부터 변 길이가 같은 위 단계 차원의 초입방체를 대각선에 붙인 꼴이다. 즉 처음 도형은 정사각형, 두번째는 정육면체, 세번째는 정팔포체, [math(\cdots)]의 규칙인 셈이다.
3. 연속 곡선
이 문단에서는 편의를 위해 극좌표계를 사용한다.1번째 직각삼각형을 [math(x)]축 위에 놓고, 반시계 방향으로 다음 직각삼각형들을 그려 나가면 다음과 같은 모습이 된다.
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[math(\displaystyle
P_0 = \Bigl( 0, -\dfrac\pi2 \Bigr) )] |
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[math(\displaystyle
P_n = \Biggl( \!\sqrt n, \,\sum_{k=1}^{n-1} \arctan \frac1{\sqrt k} \Biggr) )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
P_1 &= (1, 0) \\ P_2 &= \Bigl( \!\sqrt2, \frac\pi4 \Bigr) \\ P_3 &= \biggl( \!\sqrt3, \frac\pi4 + \arctan \frac1{\sqrt2} \biggr) \end{aligned} )] |
위 도형을 매끄럽게 연결한 곡선은 이 그림의 초록색 곡선이다.[2] [math(x \ge 0)]인 실수 [math(x)]에 대해 [math(r(x))], [math(\theta(x))]를 다음과 같이 정의하자.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
r(x) &= \sqrt x \\ \theta(x) &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt x + \sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} - \arctan\frac1{\sqrt{k-1+x}} \biggr) \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\theta(0) &= -\frac\pi4 +\sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} -\arctan\frac1{\sqrt{k-1}} \biggr) \\ &= -\frac\pi4 -\arctan\frac1{\sqrt{2-1}} \\ &= -\frac\pi2 \\ \theta(n) &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} - \arctan\frac1{\sqrt{n+(k-1)}} \biggr) \\ &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \sum_{k=2}^n \arctan\frac1{\sqrt k} \\ &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \arctan\frac1{\sqrt n} + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} \\ &= -\frac\pi4 + \frac\pi2 + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} \\ &= \frac\pi4 + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} + \arctan\frac1{\sqrt 1} - \arctan\frac1{\sqrt 1} \\ &= \frac\pi4 + \sum_{k=1}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} -\frac\pi4 \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} \end{aligned} )] |
[1]
테오도로스 와선(
渦
線)
[2]
파란색 곡선은 아래의 공식을 음의 [math(x)]까지 확장해서 그린 곡선이다.
[출처]
Waldvogel, Jörg (2009),
Analytic Continuation of the Theodorus Spiral. 링크를 누르면 pdf 파일이 열린다. 파일의 9번 식과 15번 식이 바로 위 수식의 [math(r(x))]와 [math(\theta(x))]이다.