| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
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| 정팔포체의 전개도 | "W축"으로 회전하는 정팔포체를 보다 낮은 차원에 투영시킨 모습[1] |
| 전개도가 만들어지는 과정. 50초~1분, 1분 15초~1분 26초 참조. |
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| 정팔포체를 만들고 다시 전개하는 모습.[2] |
1. 개요
正八胞體, 8-cell, regular octachoron4차원 초입방체(hypercube)[3]로, 테서랙트(tesseract)라고도 한다. 3차원의 입방체란 3축간에 모두 직각으로 교차하는 형상을 기본으로 하는데, 제4의 직교하는 축을 더한 4차원에서 4축 모두가 직각으로 교차한다는 의미. 물론 인간의 감각기관은 4차원 이상을 인지할 수 없기 때문에 테서랙트를 완벽히 인지할 수는 없고 3차원 공간에 투영된 형태로 (3차원 큐브를 2차원인 종이의 면 위에 투영하듯이) 인지할 수밖에 없다. 축에 직교하는 방향으로 투영하면 그냥 입방체로만 보인다. 하지만 축에 직교하지 않는 각도로 3차원 공간에 투영할 경우 온갖 이상한 모양으로 인지될 수 있다. 3차원 정육면체도 x, y, z축 방향으로 보면 2차원 정사각형으로 보이지만 조금만 각도를 틀어도 다르게 보이는 것과 마찬가지.
철사로 정육면체 틀을 만들어 비눗물에 여러 번 담갔다가 빼면 틀 내에 정육면체 비눗방울이 생길 수도 있다. 이 형태가 정팔포체를 3차원 축 방향으로 투영한 형태이다.
2. 정보
| 슐레플리 기호 | {4,3,3} |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 16개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 32개 |
| 면(face, 2차원) | 정사각형 24개 |
| 포(cell, 3차원) | 정육면체 8개 |
| 쌍대 | 정십육포체 |
| 이포각 | 90º([math(\dfrac{\pi}{2})]) |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
초입방체(4-hypercube) 정육면체 기둥(cube prism) 4-4 듀오프리즘(4-4 duoprism) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정팔포체가 있을 때
대각선 길이 = [math(2a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(32a)]
총 면적 (total surface area) = [math(24a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(8a^3)]
초부피(bulk) = [math(a^4)]
외접구의 반지름 = [math(a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
정팔포체 10개를 한 모서리에 3개씩 만나도록 붙이면 5차원 도형인 펜터랙트를 만들 수 있다. 한 모서리에 4개씩 만나게 하면 초입방체이므로 정사각형, 정육면체와 마찬가지로 360°를 채워서 4차원 벌집이 만들어진다. 참고로, 5차원 이상에서는 오로지 단체, 초입방체, 정축체만이 볼록 정다포체가 될 수 있는데, 이들 중에서는 오직 초입방체만이 벌집을 만들 수 있으며, 이를 입방체 벌집이라고 한다.
초부피가 정십육포체보다 정확히 6배가 크며, 정이십사포체보다는 절반만큼 작다.
정팔포체의 전개도는 모두 261개가 존재하며, 그 중 십자가 형태의 전개도(Dalí cross)가 가장 유명하다.
네이버 캐스트 4차원입체도형
네이버 캐스트 초입방체 만들기
[1]
정팔포체는 4차원 도형이고 본 이미지는 2차원에 나타낸 3차원 모습이다.
[2]
사실 저기에서는 한 면의 넓이가 커졌다 작아졌다를 반복하며 다른 포들을 둘러 싸는 것으로 보이지만, 실제 4차원에서는 넓이나 부피의 변형이 없이 W축의 방향으로 접힌다. 우리가 3차원에 살기 때문에 표현할 수 없는 것이다.
[3]
n차원에서 가장 적은 수의 (n-1)-폴리토프(polytope)로 이루어진 n-폴리토프를
n-단체(simplex)라고 하며, 서로 직교하거나 평행인 선분으로 이루어진 도형을
n-초입방체(hypercube), 그리고 모든 좌표축에서 원점에서 같은 거리만큼 떨어진 지점에 꼭지점이 있는 볼록한 정다포체를
n-정축체(orthoplex)라고 한다.