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준동형 사상

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1. 정의2. 예시3. 준동형 사상의 종류4. 핵과 상5. 동형 정리
5.1. 제1 동형 정리5.2. 제2 동형 정리5.3. 제3 동형 정리
6. 아벨 범주에서의 준동형 사상
6.1. 아벨 범주6.2. 단사, 전사, 동형6.3. 핵과 공핵, 상6.4. 이렇게 귀찮게 하는 이유
7. 관련 문서

1. 정의

Homomorphism / 準 同 型 寫 像

대수학 등에서 준동형 사상이란 간단하게 말하자면 동일한 종류의 대수적 구조[1] 사이에 정의된 대수적 구조를 보존하는 함수로 이해된다. 즉 동일한 종류의 대수적 구조인 [math( X )]와 [math( Y )]가 있을 때, 준동형 사상 [math( f : X \rightarrow Y )]는 다음의 조건을 만족하는 함수이다.
예를 들어, 체 [math( K, L)] 사이에 정의된 준동형 사상 [math( f : K \rightarrow L )]는 [math( K )]의 임의의 두 원소 [math( x, y )]에 대해 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))], [math( f(xy)=f(x)f(y))]를 만족한다.

학부수준에서 다루는 대수적 구조에서는 위의 설명이 얼추 맞지만, 엄밀한 정의는 아니다. 함수의 층(sheaf) 등등 단순히 (집합, 연산)의 쌍으로 주어지지 않는 수많은 대수적 구조들이 등장하기 때문이다.
범주론(category theory)에서 '대수적 구조'는 아벨 범주(abelian category)라는 개념으로 체계화되고, 아벨 범주에서의 사상(morphism)을 준동형사상(homomorphism)이라 부르는 것으로 정립된다. 마찬가지로 아래에 논의된 핵과 상, 전사/단사 사상 등의 개념도 일반적으로는 살짝 다르게 정의한다. 준동형사상이 함수도 아닌 경우도 있으며, 대수적 구조에 기저집합이 없는 경우도 태반이기 때문.
물론 대수학 등을 대학원 수준으로 공부하지 않을 거면 알 필요 없고, '더 포괄적인 정의가 있다'는 정도로만 알아두면 된다. 자세히 알고 싶으면 6번 항목을 참고하자.

2. 예시

먼저, [math( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2} )], [math( f(x) = )] [math( \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix} )]를 생각해보자. 그러면 당연히 [math( f(x+y) = )] [math( \begin{bmatrix} x+y & 0 \\ 0 & x+y \end{bmatrix} )] [math( = )] [math( \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix} )][math( + )][math( \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} )] [math(= f(x)+f(y) )], [math( f(xy) = )] [math( \begin{bmatrix} xy & 0 \\ 0 & xy \end{bmatrix} )] [math( = )] [math( \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix} )][math( \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} )] [math(= f(x)f(y) )]가 성립하므로 이 함수는 두 집합의 환으로서의 준동형 사상이다.

그 다음으로 생각할 수 있는 준동형 사상은 지수함수이다. 지수함수의 덧셈 법칙인 [math( e^{x+y} = e^{x}e^{y} )]는 실수에서의 덧셈 구조가 양의 실수 집합에서의 곱셈 구조로 변형되어 보존된다는 의미이다. 사실, 이 함수는 아래에서 말할 동형 사상이기도 하며, 그 역함수는 로그함수이다.

3. 준동형 사상의 종류

단사나 전사 등의 특수한 조건을 만족하는 준동형 사상은 아래와 같은 이름으로 불린다. 단 위에서 말했다시피 학부 수준의 통상적 대수구조가 아니면 위의 내용이 100% 맞지는 않고, mono, epi 등의 정의는 더욱 일반적으로 변경된다.

동형 사상이 존재하는 두 대수적 구조를 동형(Isomorphic)이라고 부르는데, 그 이유는 실제로 두 집합이 대수적 구조로서 완벽하게 동일하기 때문이다. 즉, 어떤 대수적 구조에서 그 구조의 연산과 논리 연산자만을 포함한 참인 명제[2]는 동형인 대수적 구조에서 동일하게 참이다. 다만, 당연하게도 두 환의 덧셈 구조가 군으로서 동형이더라도 명제에 곱셈이 포함된다면 그 명제가 동치일지는 알 수 없다. 동형이 보장된 부분까지만 동일한 것이다.

4. 핵과 상

준동형 사상에 의해 공역의 0[3]으로 옮겨지는 정의역의 원소들의 집합을 핵(Kernel)이라고 한다.[4] 벡터 공간의 경우는 직관적으로 영공간(Null Space)이라고 부르기도 한다. 또한, 준동형 사상의 치역을 상(Image)라고 부른다. 준동형 사상 [math( f : X \rightarrow Y )]가 주어졌을 때, 핵은 [math( \text{ker} f )], 상은 [math( \text{Im} f )], [math( f(X) )] 등으로 표기한다.

준동형 사상은 0을 0으로 옮길 수밖에 없기 때문에 핵은 반드시 0을 포함하며, 핵의 원소가 0밖에 없다면 핵이 자명(trivial)하다고 한다. 자명한 핵을 가지는 준동형 사상은 반드시 단사 사상이다. 또한, 핵은 항상 정의역의 부분구조[5]이며, 특히 몫구조(Quotient Structure)를 정의할 수 있는 특수한 부분구조이다. 즉, [math( \text{ker} f \vartriangleleft X )]이다. 마찬가지로, 상은 항상 공역의 부분구조이다.

핵과 상은 아래에서 언급할 제1 동형 정리에 의해 깊이 관계되어 있다.


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5. 동형 정리

준동형 사상과 관련하여 가장 기본적이면서도 핵심적인 정리가 바로 동형 정리(Isomorphism Theorem)이다. 동형 정리는 아래의 세 가지 명제로 이루어져 있다.

아래 문단에서 해당 기호들은 다음과 같은 의미를 가진다.

5.1. 제1 동형 정리

준동형 사상 [math( f : X \rightarrow Y )]에 대해 [math( X/\text{ker} f \cong \text{Im} f )]이다.
【증명】
표기를 간략하게 하기 위해 [math( x )]를 포함하는 [math( \text{ker} f )]에 대한 좌잉여류(Left Coset), 즉 [math( x + \text{ker} f )]를 [math( \bar{x} )]로 표기하자. [math( \bar{f} : X/\text{ker} f \rightarrow Y )]를 [math( \bar{f} ( \bar{x} ) = f(x) )]로 정의한 뒤, [math(\bar{f} )]가 잘 정의된 동형 사상임을 보이면 된다. 먼저 [math( \bar{f} )]가 잘 정의되어 있다는 것은 [math( \bar{x} = \bar{y} )]라면 [math( y-x \in \text{ker} f )]이므로, [math( f(y) = f(x) + f(y-x) = f(x) + 0 = f(x) )]가 성립한다는 것으로부터 알 수 있다[7]. 또한, [math( \bar{f} )]가 준동형 사상이라는 것은 [math( f )]가 준동형 사상이라는 사실로부터 곧바로 알 수 있다. 예를 들어, [math( \bar{f} ( \bar{x} + \bar{y} ) = \bar{f} ( \overline{ x+y } ) = f(x+y) = f(x) + f(y) = \bar{f} ( \bar{x} ) + \bar{f} ( \bar{y} ))]이다.
[math( \bar{f} )]가 단사라는 것을 보이기 위해 [math( \bar{f} ( \bar{x} ) = \bar{f} ( \bar{y} ) )]라고 가정하자. 그러면 [math( f(x) = f(y) )]가 되어 [math( f(x-y) = 0)]이므로, [math( x-y \in \text{ker} f )]가 되어 [math(\bar{x} = \bar{y} )]이다. 또한, 상의 정의에 의해 상의 모든 원소는 [math(f(x) )] 꼴이므로, [math(\bar{f}(\bar{x}) = f(x) )]라는 사실로부터 [math(\bar{f})]가 전사인 것 또한 알 수 있다.

5.2. 제2 동형 정리

[math( Y \le X )]이고 [math( N \vartriangleleft X )]일 때, [math( N\cap Y \vartriangleleft Y )]이고 [math( (N+Y)/N \cong Y/(N\cap Y) )]이다.

특히, 두 대수적 구조가 군일 경우에는 [math( NY/N \cong Y/(N\cap Y) )]라고 쓸 수 있다.
【증명】
[math( f : Y \rightarrow (N+Y)/N )]를 [math( f(y) = \bar{y} )][8]로 정의하자. 그러면 당연히 [math(y \in NY )]이므로 이 함수는 잘 정의되어 있으며, 거의 자명하게 준동형 사상이다. 이제 [math(f(y) = \bar{y} = 0 )]이라는 것은 [math( y \in N )], 즉 [math( y \in N \cap Y )]와 동치이므로 [math( \text{ker} f = N \cap Y )]이다. 이제 제1 동형 정리를 적용하면 된다.

5.3. 제3 동형 정리

[math( Y \vartriangleleft X )], [math( Z \vartriangleleft X )], [math( Z \vartriangleleft Y )]일 때, [math( (Y/Z) \vartriangleleft (X/Z) )]이고 [math( (X/Z)/(Y/Z) \cong X/Y )]이다.
【증명】
[math( f : X/Z \rightarrow X/Y )]를 [math( f(x + Z) = x + Y )]로 정의하자. 애초에 [math( Z \vartriangleleft Y )]이므로 [math( x-y \in Z )]이면 [math(x-y \in Y )]이며, 따라서 이 함수는 잘 정의되어있으며 준동형 사상임은 거의 자명하다. 이제, [math(f(x + Z) = x + Y = 0 )]이라는 것은 [math( x \in Y )]와 동치이며 이는 다시 [math( x+Z \in Y/Z )]와 동치이므로 [math(\text{ker} f = Y/Z )]이다. 이제 제1 동형 정리를 적용한다.

6. 아벨 범주에서의 준동형 사상

주의: 범주론이나 대학원 대수학에 연결되는 내용이므로 분야에 대한 배경지식이 깊게 필요할 수 있습니다.

6.1. 아벨 범주

아벨 범주(abelian category)는 간단히 말하면 범주 중에서 가군처럼 행동하는 것들, 즉 위에 있는 이야기들을 (대부분) 옮겨올 수 있는 범주들이다.

아벨 범주에서는 당연히 사상들을 더하고 뺄 수 있어야 하고 (즉 [math(\text{Mor}(A,B))]가 가환군이고), 합성에 대한 분배법칙[9]을 만족해야 하는 것은 당연해 보인다. 다만 저 둘만 갖고는 좋은 성질들을 만족시키지 못해서, 몇 가지의 공리들을 더 추가시켜야 가군처럼 만들 수 있다. 보통 필수로 들어가는 공리들은 다음과 같으며, 저자에 따라 추가적 가정이 더 붙을 수 있다.
아벨 범주는 사상들에 분배법칙이 주어진 덧셈을 만족하는 범주[10] 중 다음을 만족하는 것들이다.
  • 영 대상(zero object)[11]이 존재한다.
  • 두 원소의 곱(product)과 쌍대곱(coproduct)이 항상 존재한다.[12]
  • (아래에서 정의할) 핵(kernel)과 공핵(cokernel)이 항상 존재한다.
  • (아래에서 정의할) 단사사상(monomorphism)은 어떤 사상의 핵이며, 전사사상(epimorphism)은 어떤 사상의 공핵이다.[13]
아벨 범주(혹은 가법 범주라도)의 사상(morphism)을 준동형사상(homomorphism)이라 부른다. 물론 사상이라 불러도 된다. 다만 일단 준동형사상이니 Hom이니를 사용했으면 가법범주로 간주된다. (소수의 관습은 일반적 범주에서 사상 자체를 homomorphism이라 부르기도 한다.)

이 공리를 다 외우고 다니진 않으니까 안심해도 된다 Freyd-Mitchell's embedding theorem에 따르면, 어떤 아벨 범주든 적절한 가군 범주에 포함시킬 수 있다는 사실이 알려져 있으므로, 가군에서 했던 많은 것들을 바로 적용시킬 수 있다. 다만 아래에서 이야기하듯 구조 외적으로 적용되는 방식은 완전히 다를 수 있다.
군이나 환은(비가환환/가환환 모두) 가법 범주는 맞지만 아벨 범주는 아니다. 실제로 군론에선 아벨 범주의 이론을 그대로 적용할 순 없고 상당한 수정을 해야 한다. 부분군이니 정규부분군이니를 구분하는 것처럼. 환론에서 부분환과 아이디얼의 개념이 다른 것도 이런 맥락이다.

6.2. 단사, 전사, 동형

사상 [math(f : A \rightarrow B)]가 자기사상(endomorphism)임은 사상의 정의역과 공역이 일치할 때이고, 자기동형사상(automorphism)은 동형사상인 자기사상임은 동일하다.
참고로 이 정의는 가환 범주가 아닌 모든 범주에도 통용된다.

6.3. 핵과 공핵, 상

아벨 범주에서의 핵, 공핵 등은 더 이상 오브젝트가 아니라 준동형사상으로 정의된다. 가환 범주에서도 이 정의는 동일하지만, 여기서는 핵과 공핵이 존재하지 않을 수도 있다.
준동형사상 [math(f : A \rightarrow B)]의 핵(kernel)은 다음 보편 성질을 만족하는 사상 [math(i)]로 정의한다.
  • [math( i \circ f = 0)]
  • 만약 사상 [math(g : C \rightarrow A)]이 [math(g \circ f=0)]을 만족시키면, [math(g = i \circ h)]를 만족시키는 사상 [math(h)]가 유일하게 존재한다.
핵의 쌍대 개념인 공핵(cokernel)은 다음 보편 성질을 만족하는 사상 [math(j)]로 정의한다.
  • [math( f \circ j = 0)]
  • 만약 사상 [math(g : B \rightarrow D)]이 [math(f \circ g<=0)]을 만족시키면, [math(g = h \circ j)]를 만족시키는 사상 [math(h)]가 유일하게 존재한다.
물론 사실상 오브젝트로 보아도 되니만큼 핵은 보통 [math(\mathrm{ker}(f) \rightarrow A)], 공핵은 [math(B \rightarrow \mathrm{coker}(f))]라 쓰게 된다. 핵은 단사사상이고 공핵은 전사사상이다. 역이 제한적으로 성립해야 하는 공리가 있는 아벨 범주에서는, 단사사상은 핵이 0인 것이랑, 전사사상은 공핵이 0인 것이랑 동치라는 것이 따라나온다.

사상의 상(image)은 (만약 존재한다면) 공핵의 핵으로 정의되고, 보통 [math(\mathrm{im}(f) \rightarrow B)]로 쓴다. 아벨 범주에서는 [math(f: A \rightarrow B)]는 핵의 공핵 [math(A \rightarrow \mathrm{im}(f))]와 공핵의 핵 [math(\mathrm{im}(f) \rightarrow B)]의 합성으로 나타나질 수 있다. 이거 제1동형정리자나 즉 어떻게 생각하면 제1동형정리가 원활히 성립하도록 하는 것이 아벨 범주의 조건이라고 이해할 수 있다.

부분구조와 몫구조의 개념은, 각각 단사사상과 전사사상에 정확히 대응된다.

6.4. 이렇게 귀찮게 하는 이유

이게 다 대수기하학 때문이다
정의역이고 원소고 뭐고를 논할 수 없는 더욱 복잡한 대수구조에서도, 가군에서 했던 대수학을 그대로 적용시키기 위해서이다. 당최 알 수 없는 범주를 생각해 냈다고 해도, 만약 어찌저찌 아벨 범주임을 보였다면, 가군에서 했던 완전열(exact sequence), snake lemma, 호몰로지 등등을 모두 옮겨와 이론을 전개할 수 있다. 호몰로지 대수 이론을 가군과 실제 함수들을 이용하는 대신 저 공리만으로 발전시킬 수 있기 때문. 현실은 Freyd-Mitchell embedding theorem의 권능으로 때우고 diagram chasing을 하게 된다[14]

대신에 아벨 범주를 입맛대로 정의하는 과정에서 기존의 상식과는 다른 내용이 들어오며 혼란을 빚게 된다. 일반적인 아벨 범주에서는 우선 사상이 함수일 필요가 없고, 대수구조에 집합이 있을 필요도 없다. 설사 사상이 함수로 주어진다 하더라도 모노모피즘/에피모피즘이 단사함수/전사함수의 일반화인 것만 같지만 사실은 전혀 다른 개념이고, 오히려 모노모피즘임과 동시에 에피모피즘인데도 아이소모피즘이지 않을 수도 있다. 수학과 학부과정에서 온갖 클리셰적 관계놀음을 봐왔던 대학원생들은 이 대목에 이르러 굉장한 충격을 받는다.[15]
하지만 고차원의 대수학, 기하학에서는 이런 아벨 범주들이 실제로 중요하게 등장하며, 결국에는 이런 경우에 단사사상, 전사사상을 저렇게 정의하는 것이 맞는 선택임을 깨닫게 된다. 물론 여전히 헷갈리는 건 어쩔 수 없지만... 심지어는 전사사상(epimorphism)과 전사함수(surjective function)가 둘다 중요하면서도 생판 다른 의미를 가지는 상황에 놓일 수도 있다. 이쯤 되면 mono를 '단사'로 epi를 '전사'로 번역하는 것이 과연 옳은 번역인지조차 회의가 생길지도 모른다.

어찌 보면 중학교 수학의 닮음, 합동을 추상화시킨 개념이라고 이해할 수도 있다. 삼각형, 사각형 등 눈에 보이는 도형을 넘어, 어떠한 수의 모임들을 도형으로 상상하여 그 '모양'이 닮았는지를 보는 것이다.

7. 관련 문서


[1] 군, 환, 체, 벡터 공간, 가군, 대수 등등. [2] 사실 자유 변수도 없어야 한다. 즉, 그 명제가 문장(sentence)이어야 한다. [3] 덧셈의 항등원을 의미한다. 비가환군에서는 관습적으로 곱셈의 항등원 1을 의미한다. [4] Kernel 또한 대수적 구조에서 자주 보이는 클리셰이긴 한데, 함수해석학에서 연구하는 위상벡터공간에서는 유한차원벡터공간을 일반화한 Nuclear Space라는 핵공간(...)을 정의하여 다루기 때문에 번역어의 혼동에 있어 주의할 필요가 있다. [5] 벡터 공간이라면 부분 공간, 군이라면 부분군 등등 [6] 가군이나 벡터 공간은 특별히 이런 부분공간을 부르는 이름이 없다. 스칼라곱의 특성 상 애초에 모든 부분공간에 대해 몫공간을 정의할 수 있기 때문. [7] 덧셈 표기를 사용했지만 군이라고 해서 크게 다를 것은 없을 것이다 [8] 제1 동형 정리 증명과 비슷하게 [math( \bar{y} = y + N )]이다. [9] 즉 [math((f_1 + f_2) \circ g = f_1 \circ g + f_2 \circ g, f \circ (g_1 + g_2) = f \circ g_1 + f \circ g_2)] [10] preadditive cateogry라 부르기도 한다 [11] initial object이자 final object인 것 [12] 여기까지 만족시키는 것들을 가법 범주(additive category)라 부르기도 한다. [13] 이를 단사사상, 전사사상이 'normal'이라 부르기도 한다. [14] 이 정리가 뭐냐면 대충 말해서 어떤 아벨범주의 모든 대상들의 모임과 사상들의 모임이 집합을 이룬다면 어떤 환 위의 가군범주의 부분범주와 동형이라는 정리이다. [15] 아벨범주가 아닌 예이긴 하지만, 정수환에서 유리수체로 가는 환 준동형사상[math(f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Q})]은 단사함수이지만 환의 범주 [math(\mathrm{Ring})] 에서는 단사사상인 동시에 전사사상이다! 증명은 간단한데 [math(f)]가 단사사상인건 단사함수인걸로 바로 증명 가능하며, 전사사상인건 체를 정의역으로 가지는 환 준동형 사상은 언제나 단사함수이며, 유리수체의 자기동형사상은 항등함수 하나 뿐이라는 사실을 이용하면 증명 가능하다.

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