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상대성 이론 Theory of Relativity |
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1. 개요
對 稱 性Symmetry
대칭(Symmetry)은 Sym(같이)+metry(측정), 즉 뭔가가 변해도 같게 측정되는 것을 말한다. 일상생활에서는 물체가 어떤 축으로 이동 또는 회전했을 때 변하지 않는, 모양의 대칭성을 말한다. 물리학에서는 더 일반화된 의미로 사용된다.
물리학에서 대칭성은 물리학의 다른 어떤 개념들에 비해 컸으면 컸지 작지 않은 중요성을 가지고 있다. 작게는 다루고 있는 문제를 편리하게 만들어 주는 식으로 도움을 주기도 하며 크게는 근본적인 물리 법칙을 탐구하는 데 있어서 중요한 역할을 한다. 심지어 (이론)물리학자들은 대칭성이 이 세상의 진정한 근본 원리라고 믿고 있다.
참고로 이 문서는 불변성(invariance)으로도 들어올 수 있다. 해당 용어가 '대칭성'이라는 추상적인 용어보다 직접적이고 이해하기가 더 쉬울것이다.
2. 상세
다음 역학 문제를 보자.지면으로부터 [math(30\degree)] 기울어진 평면과 수직인 방향을 [math(z)]축으로 잡고 평면 위의 한 점 [math(\rm O)]를 잡자. [math(\rm O)]를 지나는 평면의 직선들 중에서 높이가 변하지 않는 선 위에 [math(x)]축을 잡고, [math(x)]축과 수직이면서 위로 올라가는 방향을 [math(y)]축 방향으로 잡자. 이때 [math(\rm O)]를 기준으로 위치가 [math((4,\,5,\,0){\rm\,m})]인 지점에서 출발하며 초기 속도가 [math(\vec v = (0,\,10,\,10\sqrt3){\rm\,m/s})]인 입자를 고려하자. 이 입자가 5초 후 [math(\rm O)]로부터 얼마나 떨어져 있겠는가? 단 중력 가속도는 [math(\vec g = -(0,\,4.9\sqrt3,\,4.9){\rm\,m/s^2})]으로 일정하다고 가정한다.
아주 복잡해 보인다. 하지만 이 복잡해 보이는 문제를 조금만 돌려서 보자. [math(x)]축을 축으로 해서 음의 방향[1]으로 [math(30\degree)]만 축들을 돌려 보자. 그리고 원점을 [math(\rm O)]에서 [math({\rm O'} = (4,\,5,\,0){\rm\,m})]로 옮기자. 그러면 이 문제는 다음 문제와 정확하게 같다.
한 점 [math(\rm O')]에서 출발하며 초기 속도가 지면으로부터 연직 방향으로 [math(20{\rm\,m/s})]인 입자는 5초 후 [math(\rm O')]으로부터 얼마나 떨어져 있겠는가? 단 중력 가속도는 연직 하방으로 [math(9.8{\rm\,m/s^2})]으로 일정하다고 가정한다.[답]
엄청나게 쉬워졌다. 물론 이 정도는 촉이 좋은 사람들이라면 금방 알아맞출 수 있다. 하지만 여기서 중요한 것은 따로 있다. 두 버전의 어느 문제를 풀든 간에 우리는 뉴턴의 법칙을 그대로 쓸 것이라는 점이다. 그리고 어느 버전으로 해서 풀든 답은 늘 똑같다. 원점과 [math(x)], [math(y)], [math(z)]축을 무엇으로 잡든 간에 뉴턴 법칙, 특히 [math(\vec F = m\vec a)]는 그대로 성립한다는 것이다. 이것이 대칭성의 한 예이다.
좀 더 살펴 보자. 첫번째 버전에서는 공간 좌표 축을 [math(x,\,y,\,z)]로 잡았었다. 두번째 버전에서 쓰인 공간 좌표 축들을 [math(x,\,y,\,z'')]로 잡으면 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다.
| [math(\begin{aligned}&\begin{cases}\begin{aligned}x' &= x \\ y' &= y\cos\frac\pi6 - z\sin\frac\pi6 \\ z' &= y\sin\frac\pi6 + z\cos\frac\pi6\end{aligned}\end{cases} \\ &\begin{cases}\begin{aligned}x &= x'+4 \\ y &= y'+5 \\ z'' &= z'\end{aligned}\end{cases}\end{aligned})] |
3. 대칭성의 예
앞서 말했듯이 대칭성은 어떤 변환에 대해 물리 법칙이 불변하는 것을 가리키는 말로 쓰인다. 다음은 어떤 대칭성이 더 존재하는가를 더 살펴 보고자 한다.3.1. 관성 좌표계 간 변환
한 가지 주의할 점이 있다. 앞서 말한 좌표계들 간의 불변성은 사실 정확한 것이 아니다. 모든 좌표계의 변환에 대해 불변한 것은 아니기 때문이다. 예를 들어 회전 목마를 탄 관찰자의 좌표계에서는 뉴턴 법칙이 제대로 성립하지 않기 때문이다. 좌표 변환 식에 시간이 들어갈 수 있어서 이건 좀 다른 케이스일 수도 있겠지만.이런 것 때문에 불변성을 논할 때 '좌표계'를 아무 거나 잡아서는 곤란하다. 이때 물리학자들은 보통 관성 좌표계(inertial frame)를 고려한다. Landau, Lifshitz 시리즈 중 Mechanics에 따르면 관성 좌표계는 다음과 같이 정의된다.
관성 좌표계는 시간과 공간에 대해 균질(homogeneous)하고 공간의 방향에 대해 등방(isotropic)한 좌표계를 말한다.
이 좌표계에서는 어느 시각에서 그리고 어느 점에서 바라 봐도(균질성) 어느 방향으로 바라 봐도(등방성) 변하는 게 없다. 서울에서 실험을 하든 뉴욕에서 실험을 하든 달에서 실험을 하든 적용되는 물리 법칙은 다 똑같아야 하며(공간의 균질성) 실험실을 남향으로 하든 북향으로 하든 동쪽으로 돌려 놓든 심지어 거꾸로 매달아 놓든 간에 물리 법칙이 다 똑같아야 한다(공간의 등방성), 물론 지금 실험하든 1년 후에 실험하든 백만 년 전에 실험하든 법칙이 다 똑같아야 한다(시간의 균질성)는 것도 있다. 가장 대표적인 좌표계로 주변에 별도 아무 것도 없는 텅 빈 우주 공간 한 가운데에서 잡은 직각 좌표계가 그것이다.[3] 이런 좌표계들에서 뉴턴 법칙은 잘 성립하며 관성 좌표계들 간의 변환에 대해 뉴턴 법칙은 불변한다. 즉, 위에서 말한 내용 중에 '좌표계'를 '관성 좌표계'로 수정해야 옳다는 것이다.
한편 서로 정지해 있는 두 관찰자의 관성 좌표계들[4] 간의 변환은 두 가지 변환의 합성으로 이루어진다. 하나는 평행 이동이고, 하나는 회전이다. 이러한 변환에 의하여 얻어진 좌표계가 관성 좌표계라는 것은 각각 관성 좌표계의 균질성과 등방성에 의하여 보장된다. 위에서 [math((x',\,y',\,z') \to (x,\,y,\,z))]로 가는 변환은 평행 이동 변환이고 [math((x,\,y,\,z) \to (x',\,y',\,z'))]로 가는 변환은 회전 변환이다. 따라서 [math((x,\,y,\,z) \to (x,\,y,\,z))]는 이들의 합성이고 관성 좌표계들 간의 변환에 해당한다. 그리고 이러한 변환에 뉴턴 법칙은 불변한다.
특히 3차원 좌표계에서 회전 변환은 군 이론(group theory)을 통해 체계적으로 표현이 가능하다. 변환 [math((x,\,y,\,z) \to (x',\,y',\,z'))]를 다음과 같이 행렬식으로 쓸 수 있다.
| [math(\begin{pmatrix}\begin{aligned}x' \\ y' \\ z'\end{aligned}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{aligned}&x \\ &y\cos\frac\pi6 - z\sin\frac\pi6 \\ &y\sin\frac\pi6 + z\cos\frac\pi6\end{aligned}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \begin{aligned}\cos\dfrac\pi6\end{aligned} & \begin{aligned}-\sin\dfrac\pi6\end{aligned} \\ 0 & \sin\dfrac\pi6 & \cos\dfrac\pi6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{aligned} x \\ y \\ z \end{aligned}\end{pmatrix})] |
여기서 마지막 행렬식의 [math(3 \times 3)]-행렬은 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬 [math(O)]로 교체하여도 뉴턴 역학이 불변한다는 것을 알 수 있다.
| [math(O^TIO = I)] |
여기서 [math(O^T)]는 [math(O)]의 전치행렬(transpose matrix)이며, [math(I)]는 [math(3 \times 3)]-단위행렬이다.[5] 이런 행렬을 흔히 직교 행렬(orthogonal matrix)이라고 부르는데, 이들의 집합은 행렬의 곱에 대하여 군을 이룬다. 특히 이 군은 리 군(Lie group) 중 하나이며, [math(O(3))]로 불리운다. 따라서 뉴턴 법칙은 [math(O(3))] 좌표 변환에 대해 불변한다고 말할 수 있다.
그런데 관성 좌표계들 간의 변환은 평행 이동과 회전만 있는 것이 아니다. 위의 Mechanics 책을 보면 사실 하나 더 있다. 서로 일정한 속도로 움직이고 있는 두 관찰자가 각각 관성 좌표계를 잡을 수도 있다. 균질성과 등방성을 잘 고려하면 이러한 사실을 얻을 수 있다.
하지만 상황이 간단하지는 않다. 균질성과 등방성 만으로는 서로 일정한 속도로 움직이고 있는 두 관찰자 각자가 갖는 관성 좌표계 간의 좌표 변환을 얻을 수가 없다. 이것은 전혀 다른 문제이다. 실제로 뉴턴 역학에서는 이 변환을 갈릴레이 변환으로 가정한다. 그리고 이 갈릴레이 변환에서는 뉴턴 역학이 불변하다. 이렇게 정하면 뉴턴 역학은 모든 관성 좌표계들 간의 변환에 대해서 불변하다. 하지만 어떻게 보면 뉴턴 역학에 맞도록 관성 좌표계들 간의 좌표 변환을 끼어 맞춘 것이라고 볼 수 있다. 하지만 이렇게 끼어 맞춘 것이 다른 물리 법칙들을 포용할 수 없다는 사실, 즉 갈릴레이 변환에 대해 불변하지 않는 물리 법칙이 존재한다는 사실은 오래 전에 밝혀졌다. 맥스웰 방정식이 바로 그것이다.
이러한 문제점을 해결해 준 것이 바로 그 유명한 상대성 이론이다. 상대성 이론에서는 관성 좌표계의 정의에 광속 불변의 원리를 첨가하여 모든 관성 좌표계들 간의 변환을 확정지었다. 그렇게 해서 나온 변환이 바로 로렌츠 변환(과 3차원 공간 성분들의 [math(O(3))] 회전들과 합성한 것)이다. 그리고 상대성 이론에서는 상대성 원리를 통해 그 이전에 뉴턴 역학에서 성립하던 좌표 변환 간의 대칭성을 확장하는데, 모든 물리 법칙은 모든 관성 좌표계에서 똑같아야 한다, 즉 모든 물리 법칙은 관성 좌표계들 간의 모든 변환에 대해 불변해야 한다가 그것이다. 자세한 내용은 특수 상대성 이론 항목 참고. 이렇게 상대성 이론은 물리에서의 대칭성을 확고히 하는 역할을 해 주었다.
3.2. 게이지 변환
(정적인) 중력 또는 전기장 문제를 풀 때 퍼텐셜의 기준을 어디로 놓든 상관 없다는 것을 배운 적이 있을 것이다. 보통 무한히 먼 곳(무한 원점)에서 퍼텐셜이 0이도록 놓고 풀지만 사실 0 말고 다른 값으로 놓아도 별 상관은 없다.[6] 그리고 이러한 성질은 맥스웰 방정식에서 더 일반화가 된다. 다음과 같이 말이다. 전기장과 자기장을 각각 다음과 같이 두자.[math(\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, )]
[math(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}.)]
그러면 전기장과 자기장의 값은 다음과 같은 변환에 대해 전혀 변하지 않는다.
[math(\phi \to \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t}, )]
[math(\vec{A} \to \vec{A} + \vec{\nabla} \Lambda.)]
이것은 바로 위에서 설명한 퍼텐셜의 기준을 바꾸는 것을 일반화한 것이다. 이러한 변환을 게이지 변환이라고 부른다. 그리고 조금 전에 말했듯이 전기장과 자기장은 이 변환에 대해 전혀 변하지 않으므로 맥스웰 방정식 역시 이러한 변환에 대해 불변한다. 또다른 대칭성이 얻어진 것이다.
'소개' 항목에서 설명했던 것처럼 게이지 변환은 문제를 더 간단하게 만들어주는 역할을 해 주기도 한다. 무한히 먼 곳에서 퍼텐셜을 0으로 놓는다는 것이 가장 간단한 예일 것이다. 한편, 임의로 저렇게 새로운 함수 [math(\Lambda)]를 붙일 수 있다는 것은 퍼텐셜들에 어떤 특정한 조건을 두어도 문제를 푸는 데에 무방하다는 것을 의미한다. 가장 대표적인 예로 다음과 같은 것들이 있다.
쿨롱 게이지 조건 : [math(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0)] ,
로렌츠 게이지 조건 : [math(\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0)] ,
각각 정적인 상태에서의 문제를 풀 때와 전자기파를 다루는 문제를 풀 때 유리한 게이지들로 알려져 있다. 그 외에도 란다우 게이지, 파인만 게이지 등이 있는데, 이것들은 양자장론에서 나오는 이야기이고 여기서 설명하기 어려운 것이므로 생략하겠지만 아무튼 주어진 문제를 풀 때 특정 게이지를 잡는 것은 편리함을 줄 때가 많다.
더 자세한 내용은 게이지 장 항목 참고.
3.3. 위상 변환
간단하다. 보통의 경우, 파동의 위상이 바뀌어도 파동을 기술하는 방정식은 그 파동에 잘 성립한다는 것이다. 예를 들어 파동 방정식 [math(\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} - \nabla^2 f = 0)]의 모든 해는 임의의 상수 배를 해 줘도 이 방정식의 해인데, 그 상수로 파동의 위상을 바꾸는 인자 [math(e^{i \phi})]를 넣을 수 있기 때문이다.좀 더 나아가 보자. 그냥 파동 말고 양자역학의 파동함수를 고려해 보자. 슈뢰딩거 방정식은 선형 방정식이라 방금 전의 논리가 그대로 먹혀 들어 간다. 그래서 파동함수 역시 위상 변환에 대해 대칭이다.
이번에는 디랙 장, 즉 1/2-스피너로 표현된 장을 고려해 보자. 편의 상 자유 입자에 대한 장을 고려하자. 이때 액션과 장을 기술하는 방정식은 각각 다음과 같다.
[math(S = \int d^4 x (i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m^2 \bar{\psi} \psi), )]
[math(i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m^2 \psi = 0.)]
여기서 [math(\gamma^\mu)]는 디랙 행렬들이고 [math(\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0)]로 정의된다. 어쨌든 위 두 식도 임의의 실수 상수 [math(\phi)]에 대하여 [math(\psi \to e^{i \phi} \psi)]의 변환에 대해 불변한다.
이게 뭐가 중요한가 싶겠지만, 첫째 물리에서 나타나는 모든 대칭은 뇌터 정리에 의하여 뭔가 쓸모를 가지며, 둘째 후술하겠지만 특히 이런 위상 변환에 대한 대칭성을 확장시키면 아주 중요한 결과를 얻을 수 있기 때문이다.
4. 뇌터 정리
물리학에서 연속적인 대칭성은 예상치 못한 중요한 결과를 가져 오는데, 바로 각 연속적인 대칭성에 대하여 보존되는 물리량이 존재한다는 사실이다. 최초로 이 사실을 밝힌 수학자의 이름을 따 뇌터 정리라고 부른다. 말 그대로 (수학적인) 정리이다. 즉, 조건만 잘 맞춘다면 (최소 작용의 원리 등) 모든 연속적인 대칭성에 대하여 무조건 성립하는 것이다.[7]다만 물리 시스템의 구조에 따라 불변하는 양 역시 달라질 수 있다는 걸 유의해야 한다. 한 예로 자유 입자들의 운동 에너지는 항상 보존되지만 퍼텐셜 에너지가 있는 시스템에서 운동 에너지는 더 이상 보존되지 않고 대신 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 합쳐진 양이 보존된다. 이건 익숙한 예지만 더 이상한 예도 있다. 운동량 보존 법칙이 수정될 수 있다는 것이다. 즉, 입자들의 운동량을 합한 것이 더 이상 보존되는 양이 아니라는 이야기이다. 이것은 자기장이 걸린 동적 시스템에서 나타나는 현상인데, 실제로 보존되는 것은 (입자들의 운동량)[8] + (자기) 벡터 퍼텐셜이다.[9] 실제로 진정한 물리 법칙이라면 시간, 위치, 각도에 대한 대칭성이 있을텐데, 뇌터 정리로부터 각 대칭성이 에너지, 운동량, 각운동량의 보존 법칙을 얻을 수 있다. 뇌터 정리는 이로부터 보존 법칙을 일반화시키면서 동시에 더욱 견고히 한다.
보다 자세한 내용은 뇌터 정리 항목 참조.
5. 자연의 근본 원리
물리학자들은 종종 물리를 보고 '우아하다', '아름답다' 고 한다. 그 이유 중 하나가 바로 물리의 근본적인 법칙들이 대칭성으로부터 나오기 때문이다. 또한 이것들이 그냥 나오는 것이 아니고 대칭성의 확장으로부터 나온다.대칭성의 확장은 보통 전역적인 대칭(global symmetry)에서 국소적인 대칭(local symmetry)으로의 확장을 일컫는다. 전역적인 대칭은 보통 변환에 쓰이는 연산자, 혹은 행렬 등이 시공간에 대해서 상수인 경우에 나타나는 대칭을 말한다. 반면에 국소적인 대칭은 그런 연산자가 각 점에 대해 일정하지 않을 수도 있는 변환에 대해서도 성립하는 경우이다. 당연히 국소적인 대칭이 더 일반적이다. 이러한 일반적인 대칭으로 확장하는 것은 생각보다 많은 결과를 가져온다.
예를 들어 보자. 특수 상대성 이론에서는 모든 물리 법칙이 로렌츠 변환에 대하여 불변인 대칭성을 가진다고 했었다. 그런데 로렌츠 변환에 쓰이는 로렌츠 행렬 [math(A^\mu_\nu)]는 보통 상수이다. 따라서 특수 상대성 이론에서 말하는 대칭성은 전역적인 대칭이다. 하지만 아인슈타인은 로렌츠 변환이 특수한 변환이라고 여겼다. 예를 들어 로렌츠 변환에는 직교 좌표계에서 구면 좌표계 등으로 변환하는 좌표 변환 같은 것이 없었기 때문이다. 하지만 기존의 맥스웰 방정식은 적어도 공간 성분들 만의 임의의 좌표 변환에도 잘 성립했다. 이러한 상황을 보고 아인슈타인은 상대성 원리가 로렌츠 변환 뿐만 아니라 다른 일반적인 변환에도 잘 적용이 되리라 믿고 있었다. 이를 보이기 위해 아인슈타인은 미분기하학까지 도입하면서 상대성 원리를 확장하려고 했고[10] 결과는 성공적이었다. 그런데 이 과정에서 뜻밖의 것이 발견되었다. 중력이 너무나도 자연스럽게 도출된 것이다. 즉, 로렌츠 불변성(전역적인 대칭)을 일반 좌표계에 대한 불변성(국소적인 대칭)으로 확장시키니까 중력이 튀어나온 것이다. 더 자세한 내용은 일반 상대성 이론 항목 참조.
하나 더 예를 들어 보자. 디랙 장이 위상 변환에 대해 대칭이라고 말했었다. 이 역시 전역적인 대칭에 해당한다. 한편, 슈뢰딩거 방정식을 연구하던 물리학자들은 슈뢰딩거 방정식이 전자기장의 게이지 변환에 잘 부합하기 위해선 게이지 변환이 일어날 때에 파동함수가 변환 [math(\psi \to e^{-i \frac{e}{\hbar} \Lambda} \psi)]와 같이 변환이 되어야 한다는 것을 알아냈다. 그런데 [math(\Lambda)]는 위에서 게이지 변환 식에 쓰인 그 [math(\Lambda)]이고, 당연히 상수가 아니다. 전역적인 대칭에 해당하던 위상 변환의 경우는 [math(\Lambda)]가 상수인 경우였다. 이를 보면 이제 거꾸로 디랙 장[11]의 위상 변환을 좀 더 일반적인 경우, 즉 국소적인 변환으로 확장시켜보는 것을 생각해 볼 수 있겠다. 그런데 이렇게 확장시키기 위해서는 자연스럽게 새로운 벡터 퍼텐셜 장이 필요해지게 되는데, 그 벡터 장이 다름 아닌 전자기장이라는 것을 알 수 있었다. 다시 말해 위상 변환에 대한 대칭성(전역적인 대칭)을 좀 더 일반적인 대칭성(국소적인 대칭)으로 확정시키니까 전자기장이 튀어나온 것이다. 중력의 경우와 똑같다. 물리학자들은 여기서 그치지 않고 이것을 더 확장시켰다. 조금 전엔 디랙 장이 단일항(singlet)인 경우만 따졌는데, 이번엔 디랙 장이 다중항(multiplet)인 경우로 확장시키겠다는 것이다. 이 경우에도 똑같은 일을 반복할 수 있고 똑같은 결과가 나오는데, 그 결과로 전자기장과 다른 종류의 벡터장이 얻어진다. 이것이 그 유명한 양-밀스 장이다. 그리고 잘 알려져 있지 않았던 강한 상호작용과 약한 상호작용[12]이 이 양-밀스 장으로 설명이 된다. 주어진 대칭성을 확장하여 엄청난 것을 얻은 셈이다. 더 자세한 내용은 게이지 장 항목 참조.
이렇듯 대칭성의 원리를 통해 다른 여러 물리학 이론들을 설명할 수 있다.
6. 관련 문서
[1]
간단히 말해 [math(z)]축이 [math(y)]축 방향으로 돌아가는 방향
[답]
222.5 m이다.
등가속도 운동 공식 [math(s = v_0t + \dfrac12at^2)]을 적용하면 [math(s = 20{\rm\,m/s}\times5{\rm\,s} + 0.5\times9.8{\rm\,m/s^2}\times(5{\rm\,s})^2 = 222.5{\rm\,m})]이다.
[3]
사실 지면에 고정된 관찰자를 기준으로 잡은 좌표계는 관성 좌표계가 아니다. 등가원리 때문에 그렇다.
상대성 이론 참고. 다만 근사적으로 관성 좌표계로 보통 잡을 수 있으며 위 예제도 그걸 가정한 것이다.
[4]
각 관찰자가 자신에 대해 움직이지 않고 있는 점(자기 자신의 위치라든가)을 원점으로 하여 얻은 관성 좌표계이다.
[5]
가운데 단위행렬은 왜 썼나 싶을 수도 있다. 하지만 저 자리에 무엇이 들어가느냐 하는 것은 매우 중요한 문제이다. 그리고 이 차이점이
상대성 이론과의 차이점이기도 하다.
[6]
바로 이러한 성질에서
게이지 변환의 이름이 유래되었다고 한다. 퍼텐셜의 기준이 바뀌는 것은 측정기(게이지)의 눈금을 처음부터 돌려 놓는 것과 똑같은 것인데, 그럼에도 물리가 바뀌진 않는다는 점에서 비롯된 것인 셈이다.
[7]
법칙은 뉴턴 역학의 법칙들처럼 언제 뒤집힐 지 모르는 것인데 반해 정리(theorem)는 순수 논리에 의하여 밝혀진 것이라 한 번 증명되면 만고불변의 진리가 된다. 하지만 어디까지나 전제 조건들이 맞아야 적용이 될 뿐.
[8]
정확하게는 상대론적 운동량
[9]
때문에 이런 시스템에서 뉴턴 제 3법칙 같은 건 더 이상 성립하지 않는다. 사실 성립한다고 볼 수도 있는 것이, 이땐 입자-입자 간의 작용-반작용이 아니라 입자-장, 장-입자 간의 작용-반작용으로 생각할 수 있기 때문이다. 하지만 굳이 그렇게 생각할 필요가 있는지는...
[10]
여기서 등가원리가 쓰이는데, 어떤 좌표계에서 특수 상대성 이론이 잘 적용이 될 수 있는가를 정해주기 위한 것이라고 보면 되겠다.
[11]
비상대론적인 슈뢰딩거 방정식에서는 전개가 어렵다.
[12]
매개 입자가 0이 아닌 질량을 갖는 것까지 설명하기 위해선
힉스 매커니즘까지 필요하게 되는데, 이 과정에서 약한 상호작용과 전자기장을 하나의 장으로 묶어서 기술할 수 있게 된다. 최초의 통일장 이론이 튀어나온 셈.