삼각함수/도함수

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삼각함수 · 쌍곡선함수 Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
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1. 개요2. 주요 삼각함수의 도함수

2.1. 사인 함수의 도함수2.2. 코사인 함수의 도함수2.3. 탄젠트 함수의 도함수

3. 역수꼴4. 미분 육각형

1. 개요

삼각함수의 도함수(미분)를 설명하는 문서이다.

2. 주요 삼각함수의 도함수

2.1. 사인 함수의 도함수

미분의 정의에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} \end{aligned} )]

삼각함수의 덧셈정리에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(x+h)}=\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h} \end{aligned} )]

이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}(\cos{h}-1)+\cos{x}\sin{h}}{h} \end{aligned} )]

반각의 공식에 의하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}=\frac{1-\cos{h}}{2} \end{aligned} )]

이것을 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{-2\sin{x}\sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}+\cos{x}\sin{h}}{h} \\& =\lim_{h \to 0} -\sin{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2\cdot \frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \cos{x} \\& =\lim_{h \to 0} -\sin{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot\frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{\dfrac{h}{2}} \cdot \dfrac{1}{2}+\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \cos{x}\\&=-\sin{x} \cdot 0 \cdot 1 +\cos{x} \cdot 1 \\ &=\cos{x} \end{aligned} )]

여기에는 삼각함수 문서에서 다뤘던 극한

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}}{t}=1 \end{aligned} )]

의 결과를 이용하였다.

이상의 결과로 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})=\cos{x} \end{aligned} )]

이를 일반화하여 다음과 같이 표현하기도 한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(\sin{x})=\sin{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} \end{aligned} )]

2.2. 코사인 함수의 도함수

미분의 정의에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{(x+h)}-\cos{x}}{h} \end{aligned} )]

삼각함수의 덧셈정리에 따라

[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(x+h)}=\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h} \end{aligned} )]

이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{x}(\cos{h}-1)-\sin{x}\sin{h}}{h} \end{aligned} )]

반각의 공식에 의하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}=\frac{1-\cos{h}}{2} \end{aligned} )]

이것을 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{-2\cos{x}\sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}-\sin{x}\sin{h}}{h} \\& =\lim_{h \to 0} -\cos{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot \frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \sin{x} \\& =\lim_{h \to 0} -\cos{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot\frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{\dfrac{h}{2}} \cdot \dfrac{1}{2}-\lim_{h \to 0} \sin{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} \\&=-\cos{x} \cdot 0 \cdot 1 -\sin{x} \cdot 1 \\ &=-\sin{x} \end{aligned} )]

여기에는 삼각함수 문서에서 다뤘던 극한

[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}}{t}=1 \end{aligned} )]

의 결과를 이용하였다.

이상의 결과로 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})=-\sin{x} \end{aligned} )]

이를 일반화하여 다음과 같이 표현하기도 한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(\cos{x})=\cos{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} \end{aligned} )]

2.3. 탄젠트 함수의 도함수

탄젠트와 사인, 코사인은 아래와 같은 관계가 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \end{aligned} )]

몫의 미분법을 사용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \left( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right) \\&=\frac{\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x}) \cos{x}-\sin{x} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x}) }{\cos^{2}{x}} \\&=\frac{\cos{x} \cdot \cos{x}-\sin{x} \cdot (-\sin{x}) }{\cos^{2}{x}} \\&=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x} }{\cos^{2}{x}} \end{aligned} )]

삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1)]임을 이용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})=\frac{1}{\cos^{2}{x}} =\sec^{2}{x} \end{aligned} )]

추가로 [math(\sec^{2}{x}=1+\tan^{2}{x})] 임을 이용해

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})=1+\tan^{2}{x} \end{aligned} )]

과 같은 결과도 도출해 낼 수 있다.

3. 역수꼴

[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x) = \sec x \tan x)]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\csc x) = -\csc x \cot x)]
[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot x) = -\csc^2x)]

위의 사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다.

4. 미분 육각형

삼각함수의 도함수를 외우게 하려고 고안된 육각형이다. 증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계이다. 가운데에 그어진 선은 [math(+)], [math(-)] 경계선이다.

이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 [math(\boldsymbol+)], [math(\boldsymbol-)] 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. 이중선은 제곱하라는 뜻이다. 이때 같은 방향으로 따라가야 하며, 최대 두 번의 따라감만 허용하며, 이중선은 두 번 따라간 것으로 간주한다.

몇가지 예를 들어보도록 하자.

[math(\sin{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\sin)]이 적힌 곳의 부호를 [math(+)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\cos)]으로 향하는 화살표밖에 없으므로 구하는 도함수는 [math(+\cos{x})]가 된다.
[math(\cot{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\cot)]이 적힌 곳의 부호를 [math(-)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\csc)]으로 향하는 화살표밖에 없고, 이중선이므로 제곱하면 구하는 도함수는 [math(-\csc^{2}{x})]가 된다. 이중선을 지나왔으므로 2번 따라간 것으로 간주 돼, 더 이상 이동하면 안된다.
[math(\csc{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\csc)]이 적힌 곳의 부호를 [math(-)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\csc)]로 돌아오다 [math(\cot)]로 향하므로 두 개를 곱한다. 따라서 구하는 도함수는 [math(-\csc{x}\cot{x})]가 된다. 이때, [math(\boldsymbol{\cot})]로 간 뒤 다시 [math(\boldsymbol{\csc})]로 향하는 화살표가 있어도 움직이면 안된다. 이는 최대 따라갈 수 있는 허용량 2를 초과했기 때문이다.

한편, 미분 육각형으로 역도함수를 구할 수도 있으나, 이때는 [math(\sin)], [math(\cos)]만 사용할 수 있다.[1] 이 경우, 도함수 구할 때와는 반대로 부호는 화살표가 향한 부분을 따른다.

[math(\displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + \mathsf{const.})]
[math(\displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + \mathsf{const.})]