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1. 개요
물리량(Physical Quantity)의 차원. 물리량 중에는 다른 단위로 표현될 수 없는 기본량(base quantity)이 존재하며 이것이 수학에서의 차원과 똑같은 성질[1]을 지니기 때문에 이러한 명칭이 붙었다.2. 상세
본 개념은 단위의 일종으로 생각할 수 있으나 엄밀히 말하자면 단위에 차원이라는 속성이 있는 것이므로 차원이 상위개념이며, 단위가 다르지만 같은 물리량을 나타낸다면 그 단위들은 '차원이 같다'고 표현한다. 예를 들어 미터, 인치, 리(里)는 모두 길이의 단위로서 차원이 [math(\sf L)]로 같지만 킬로그램, 초, 미터는 각각 질량, 시간, 길이의 단위로서 차원이 각각 [math(\sf M)], [math(\sf T)], [math(\sf L)]로 모두 다르다. 기호 뿐만 아니라 차수가 달라도 다른 차원이며 대표적으로 넓이는 [math(\sf L^2)], 부피는 [math(\sf L^3)]으로 길이의 차원 [math(\sf L)]과 다르다.한편, 무차원량의 존재 때문에 차원이 같다고 해서 실제 단위까지 꼭 같지는 않은데 대표적으로 진동수와 각진동수가 있다. 이 둘은 차원이 [math(\sf T^{-1})]로 같지만 각진동수는 진동수에 [math(2\pi\,\rm rad)]이 곱해진 물리량이기 때문에 전자는 단위가 [math(\rm s^{-1})], 후자는 단위가 [math(\rm rad\,s^{-1})]이다.[2]
표기 시에 물리량은 이탤릭체, 단위는 로만체로 나타내기 때문에 차원 기호는 이들과의 구분을 위해 산세리프의 직립체로 나타내는 것이 일반적이다.
국제 단위계에서 정한 기본량은 다음과 같으며 각각 고유한 물리량 기호, 차원 기호가 있다.
| 기본량 | 물리량 기호 | 차원 기호 | SI 기본 단위 |
| 길이 | [math(l)] | [math(\sf L)] | 미터([math(\rm m)]) |
| 질량 | [math(m)] | [math(\sf M)] | 킬로그램([math(\rm kg)]) |
| 시간 | [math(t)] | [math(\sf T)] | 초([math(\rm s)]) |
| 전류 | [math(I)] | [math(\sf I)] | 암페어([math(\rm A)]) |
| 온도 | [math(T)] | [math(\sf \Theta)] | 켈빈([math(\rm K)]) |
| 물질량 | [math(n)] | [math(\sf N)] | 몰([math(\rm mol)]) |
| 광도 | [math(I_{\rm v})] | [math(\sf J)] | 칸델라([math(\rm cd)]) |
평면각, 입체각 같이 차원이 없는 물리량들은 차원분석을 하면 차원이 모두 약분되어 [math(1)]이 되기 때문에 차원 기호를 [math(\sf1)][3]로 나타낸다.[4] 그러나 이 숫자는 단순히 수학적으로 계산된 결과일 뿐, 예를 들면 진동수의 단위가 [math(\rm Hz = s^{-1})]이라고 해서 '진동수는 [math(-1)]의 차원을 갖는다'고 표현하지 않으며 그냥 '차원이 [math(\sf T^{-1})]이다'라고 표현한다. 어디까지나 본 차원의 정의는 도량형학(metrology)에서의 이야기이지, 이론 물리학에서 말하는 [math(\bm n)]차원과는 별개의 이야기이다.
한편, 물질량의 단위인 몰은 본래 입자의 개수를 의미하는 단위이기 때문에 원래대로라면 무차원의 단위(즉 차원 기호가 [math(\sf1)])여야 하지만 위 표에서 알 수 있듯이 [math(\sf N)]이라는 고유의 차원 기호를 쓴다. 이에 대한 비판 역시 끊이지 않고 있는데 자세한 것은 몰 문서로.
기본적으로 물리량은 측정을 통해서만 그 값을 알 수 있으며, 어떤 물체의 질량을 자로 재서 알 수 없듯이, 한 차원의 물리량을 측정하는 방식으로 다른 차원의 물리량을 측정할 수 없다. 이는 곧 차원이 다른 물리량끼리 덧셈, 뺄셈을 할 수 없으며, 등식에서 양변의 항들이 모두 같은 차원을 가져야 한다는 것을 의미한다. 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않는 걸 생각하면 왜 그런지 설명이 될 것이다.
- [math(6\,{\rm m} + 36\,{\rm kg} =~???)]
-
[math(3\,{\rm m^2} + 5\,{\rm N} - 985\,{\rm hPa} =~???)]
?
과학에서 수식을 쓸 때에는 등호 및 부등호의 좌우변이 단위는 물론 차원도 일치해야하기 때문에, 각종 물리 상수, 이를테면 플랑크 상수 [math(h)], 쿨롱 상수 [math(k_e)]는 물론 광속 [math(c)] 같은 것에도 단위가 붙어있으며[5], 해당 상수가 수식에서 양변의 차원을 동일하게 맞춰준다는 것을 쉽게 알 수 있다. 뿐만 아니라 처음 보는 물리 상수가 등장하더라도 단위와 차원만 파악하면 해당 상수가 어떤 분야에서 쓰이는지, 무엇에 대한 상수인지도 대략적으로 짐작할 수있다. 물리 공식을 계산할 때, 양변의 차원이 맞는지 늘 검토하는 습관( 차원분석)을 들인다면 유용하며, 양변의 차원이 맞지 않는다면 기본적으로 수식에 문제가 있다는 것이므로 어디선가 계산이 틀린 것이다.
단적인 예시로 우주의 팽창에 관하여라는 유사과학 서적에서도 이런 차원 개념의 부재로 인한 초보적인 실수를 찾아 볼 수 있다. 해당 서적에서는 광속 [math(c)]에 대해, [math(1{\rm\,s}\times c=300000{\rm\,km})]이며, 여기서 상수인 [math(c)]를 생략하여 [math(\rm1\,s=300000\,km)], 즉 1초는 30만[math(\rm km)]라는 공간[6]에 대응된다는 결론을 도출하는데, 이는 [math(\sf LT^{-1})]이라는 차원을 가진 상수 [math(c)][7] 를 좌변에서 멋대로 지워버렸기 때문에 생긴 오류에 불과하며[8], 실제로 [math(c)]를 없애기 전 양변의 차원은 [math(\sf L)]로 동등했음을 알 수 있다. 즉, 저건 초보적인 계산 오류 그 초과도 미만도 아니다. 위는 간단한 식의 예시지만, 복잡한 계산을 다룰 때에도 이러한 오류를 피하기 위해 계산할때 양변의 차원이 맞는지 체크하는 습관을 들인다면 좋다.
다만 곱셈, 나눗셈은 가능하며, 곱셈의 경우 어느 한 물리량이 다른 물리량과 동시에 작용하여 의미를 갖는 것[9], 나눗셈의 경우 어느 한 물리량에 대한 다른 물리량의 비[10]로서의 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니며, 오로지 그것이 물리적으로 의미를 가져야만 가치를 인정받을 수 있다. [math(\rm kg^2m)] 같은건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예.[11] 또한 [math(rm kg,m^2s^{-3}A^{-1})], [math(rm m^2s^{-2})] 같이 단위만 갖고는 어디에 쓰이는지 알기 어려운 것도 있기 때문에 각종 유도 단위의 사용이 허용되어 있다. 단, 이런 SI 기본 단위의 사용이 구속력을 지니지는 않기 때문에 어디까지나 권장되는 수준에 머물러 있으며 분야에 따라서는 SI 단위가 아닌 것들도 많이 쓰인다.
자연 단위계는 어떤 물리학적인 고찰 없이 순수하게 물리 상수들의 차원분석만을 통해 구성된 단위계로, 플랑크 단위계가 대표적이다. 플랑크 단위계에서는 기본 단위인 플랑크 질량 [math(m_{\rm P})], 플랑크 길이 [math(l_{\rm P})], 플랑크 시간 [math(t_{\rm P})], 플랑크 온도 [math(T_{\rm P})]가 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(\hbar)], 중력 상수 [math(G)], 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})]의 조합(수식)으로 정의되며 각각 [math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)], [math(\sf \Theta)]의 차원을 갖는다는 특징이 있다. 앞선 물리량 [math(l)], [math(m)], [math(t)] 등의 차원과 무슨 차이가 있겠냐 싶겠지만, 플랑크 단위계의 기본 단위들은 모두 물리 상수의 조합으로 구성되어있기 때문에 구체적인 값이 있는 상수이자 그 자체로 차원 단위라는 특징이 있다.[12] 또한 앞선 물리 상수들은 플랑크 단위계의 기본 단위를 이용해서 전부 대체되기 때문에[13] 결과적으로 각종 물리 공식들에서 [math(c = \hbar = G = k_{\rm B} = 1)]이 된 듯한 간단한 식으로 바뀐다는 특징이 있다.[14]
이와 비슷하게 상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상의 편의 및 단위 변환을 간단히 하기 위해서 빛의 속도가 [math(1)]이 되도록 규격화하고, [math(E=mc^2 \Leftrightarrow m = \dfrac E{c^2} \rightarrow m_{\rm N} = E_{\rm N})]으로부터 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 이는 양자역학에서 질량의 단위로 [math({\rm eV}/c^2)]을 쓰는 것과 일맥상통하는데, 역시 [math(c \rightarrow 1)]로 규격화하는 자연 단위계를 쓴 경우 질량의 단위는 그냥 전자볼트가 되며[주의] 자연 단위계를 썼는지의 여부 역시 문맥을 통해 파악하는 수 밖에 없다. 또한 화학에선 [math(\rm kg)]이 무의미할 만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소-12 원자([math(\rm{}^{12}C)])의 질량을 [math(12)]로 놓고 이에 대한 비율로 나타낸 원자량(차원 [math(\sf1)])이나 돌턴(단위)([math(\rm Da)])을 단위로 하는 통일 원자 질량 단위([math(m_{\rm u})], 차원 [math(\sf M)])를 기준으로 나타낸다.
SI 단위를 제외한 도량형은 차원 개념이 빈약하다.[16][17]
3. 무차원량
4. 차원분석
[1]
즉,
아벨 범주(Abelian category)다.
[2]
그러나 이 사례는
국제단위계에서 각도를 무차원량으로 잘못 정의하고 있기 때문으로
입체각의 존재 및
[math({rm sr}={rm rad^2})]를 감안하면 각도는 무차원량일 수 없다. 각도를 차원 [math(\sf A)]의 물리량으로 다룰 경우 진동수와 각진동수는 그 단위와 마찬가지로 차원 역시 구분할 수 있다. 각도가 관련된 더 많은 사례는
국제단위계 참고.
[3]
차원 기호가 [math(\sf1)]일뿐
무차원이다. 1차원이 아님은 물론
[math(bf0)]차원도 아니다.
[4]
단, 이렇게
각을 무차원량으로 다루는 것이 타당한지에 대해서는 아직까지도 논란이 많다.
차원분석상 차원이 모두 약분된 것은 자명하게 단위가 없어야(=무차원량이어야) 하는 각도의 수치 성분이고, 단위가 무차원량인지를 설명하는 게 아니기 때문이다. 자세한 것은
현행 국제단위계의 문제점 부분 참고.
[5]
물론 단위가 없는
미세구조상수처럼
무차원량인 것도 존재하긴 한다.
[6]
심지어 길이도 아니고 공간이다.
[7]
차원이 [math(\sf LT^{-1})]이면 속력과 차원이 같다. 즉, 여기서 [math(c)]를 지우면 (시간)×(속력)=(거리)라는 중학교에서 배우는 내용과도 모순된다.
[8]
플랑크 단위계처럼 [math(c=1)]로 놓는 단위계도 문제가 있는 것 아니냐고 생각할 수 있겠지만, 플랑크 단위계에서는 애초에 모든 물리량이 규격화(normalization)되어있어
무차원량이기 때문에 문제가 없다.(
플랑크 단위계 문서로.) 즉, 플랑크 단위계에서는
[math(E = mc^2)]을 [math(E = m)]으로 나타내는데 엄밀히는 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})]처럼 규격화됐음을 의미하는 표기를 같이 병기해줘야한다. 문제는
이걸 일일이 다 표기하면 매우 번거롭기 때문에 규격화 표기를 떼고 그냥 물리량 기호만 쓰는 경우가 태반이다. 게다가 규격화를 거친 단위계다보니 구체적인 값을 계산할 때에는 일일이 환원하는 귀찮은 작업을 거쳐야해서 보통 구체적인 값이 필요없는 분야에서 주로 쓰인다.
[9]
일반화하면
적분의 개념
[10]
일반화하면
미분의 개념
[11]
다만, 언젠가 의미를 가질 수 있을 가능성까지 무시하면 안 된다.
[12]
이 때문에 플랑크 단위계의 몇몇 단위들은 우리 우주에서 관측 가능하고 유의미한 최소 단위라고 해석하는 시각도 있다. 가령
플랑크 길이 [math(l_{\rm P})]의 구체적인 값은 [math(l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 1.616\,255(18)\times\boldsymbol{10^{-35}}\rm\,m)]로 매우 작은 값이다. 단,
플랑크 질량 [math(m_{\rm P})]는 약 [math(\rm0.0218\,mg)]으로 생각보다 그렇게 작은 값은 아니다.
[13]
이를테면 [math(c = \dfrac{l_{\rm P}}{t_{\rm P}})] 같은 식.
[14]
[math(c)]의 경우 [math(E = mc^2)]으로부터 유도 단위인 플랑크 에너지 [math(E_{\rm P})]를 정의할 수 있는데 [math(E_{\rm P} = m_{\rm P}c^2)]이므로 [math(c = \sqrt{\dfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}})]로도 나타낼 수 있다. 이걸 원래 식에 대입하면 [math(E = m\dfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}})]가 되고 식을 정리하면 [math(\dfrac E{E_{\rm P}} = \dfrac m{m_{\rm P}})]가 된다. 이때 각 물리량은 단위와 차원이 같은 것끼리 약분되어
무차원량이 된 상황이고(이를 '규격화'라고 한다) [math(\dfrac E{E_{\rm P}} = E_{\rm N})], [math(\dfrac m{m_{\rm P}} = m_{\rm N})]으로 나타내면 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})], 즉 마치 [math(E = mc^2)]에서 [math(c = 1)]이 된 듯한 식이 된다. 문제는 저 규격화 기호를 일일이 쓰기가 매우 번거롭기 때문에 보통 생략하고 [math(E = m)]처럼 쓰는데 차원을 고려하면 하나도 말이 안 되는 식이다.
[주의]
질량의 단위를 [math({\rm eV}/c^2)]로 나타내는 것 자체가 [math(E_{\rm QF} = 1{\rm\,eV})]를 에너지 단위로 쓰는 규격화를 적용한 것이기 때문에 여기에 [math(c \rightarrow 1)]을 적용해서 [math({\rm eV}/c^2 \rightarrow {\rm eV})]로 나타내는 건 틀린 용법이다.(
자연 단위계 문서 참조) 즉 질량 단위가 [math(m_{\rm QF} = 1{\rm\,eV}/c^2 = 1.782\,662\,92\times10^{-36}{\rm\,kg})]이고 앞선 [math(c \rightarrow 1)]이 된 듯한 규격화된 관계식 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})]에서 [math(m_{\rm N} = \dfrac m{m_{\rm QF}})]이므로 [math(m = m_{\rm N}m_{\rm QF} = m_{\rm N}{\rm\,eV}/c^2)]으로서 [math(c)]가 남아있어야 맞는다.
[16]
아예 같은 차원임에도 여러 단위가 물려 있다. 단위 간의 간격이 제멋대로인 것은 덤. 심지어
온스 같이 한 단위를 둘 이상의 차원에 돌려쓰는 경우도 있다.
[17]
사실 간격이 다른 이유는 '측정하려는 대상에는 거기에 맞는 단위를 써야 한다'는
불문율 때문이기도 한데, SI 단위의 경우 차원이 같기만 하면
접두사만 바꿔서 생각하는 것으로 끝나지만, 전통 도량형은 작은 물건의 차원, 중간 물건의 차원, 큰 물건의 차원 등이 암묵적으로 정해져 있고(당연히
외부인을 위한 설명은 일절 없다.)
이를 어길 경우 눈총을 받게 된다.