무차원량

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1. 개요2. 특징3. 예시

3.1. 수학 상수3.2. 단위벡터3.3. 지수함수 / 로가리듬3.4. 삼각함수 / 역삼각함수3.5. 일부 초월함수들3.6. 계수량(counting quantity)3.7. 분율/배율3.8. 각, 입체각3.9. 학문 분야에 따른 무차원량

3.9.1. 경제학3.9.2. 광학3.9.3. 물리화학3.9.4. 생물학3.9.5. 소립자 물리학3.9.6. 약리학3.9.7. 역학3.9.8. 유체역학, 열 및 물질전달3.9.9. 일반화학3.9.10. 재료공학3.9.11. 전자기학

4. 관련 문서

1. 개요

無次元量 / dimensionless quantity

도량형학(metrology)에서 쓰이는 용어로, 차원 분석 시 모든 차원의 지수가 [math(0)]이 되는 물리량을 가리킨다. 수학적으로 곱셈· 나눗셈의 항등원이므로 차원 기호는 [math(\sf 1)]로 나타낸다.

물리량은 수와 단위의 곱으로 이루어져있으므로 단위가 없는 수학 상수들은 [math(1)]이라는 단위가 곱해진 물리량으로 간주할 수 있어 무차원량이며, 단위는 미지수의 계수 [math(1)]을 생략해서 나타내듯이 [math(1)]이 생략된 물리량으로 간주할 수 있으므로 차원이 없는 단위 역시 무차원량이다.

기하학의 성질인 공간을 나타내는 측도로써의 차원과는 의미가 많이 다르다.

2. 특징

어떤 물리량 [math(Q)]의 차원 [math(\dim Q)]는 7가지의 기본 차원(base dimension), 즉 길이([math(\sf L)]), 질량([math(\sf M)]), 시간([math(\sf T)]), 전류([math(\sf I)]), 온도([math(\sf\Theta)]), 물질량([math(\sf N)]), 광도([math(\sf J)])를 각각 밑으로 하는 지수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉

[math(\dim Q = {\sf L}^\alpha{\sf M}^\beta{\sf T}^\gamma{\sf I}^\delta{\sf\Theta}^\epsilon{\sf N}^\zeta{\sf J}^\eta)]

[math(Q)]가 2가지 이상의 물리량의 곱셈·나눗셈으로 이루어져 있을 경우 그 차원 역시 똑같은 연산의 영향을 받으므로 [math(\dim Q)]의 식에서 각 차원의 차수가 어떻게 되는지를 수학적으로 계산할 수 있다. 이를 차원분석(dimensional analysis) 또는 차원 해석이라고 하는데 계산 결과 모든 차원의 지수가 [math(0)]이면 [math(Q)]는 '무차원량'이라고 한다.

단, 이들 기본 차원으로 나타낼 수 없거나 차원 분석이 불가능한 단위들(특히 셈 측도에 해당하는 것들[1])은 통상적으로 무차원량으로 약속한다.

3. 예시

3.1. 수학 상수

[math(1)], 원주율 [math(pi)], 자연로그의 밑 [math(e)]을 포함한 모든 수학 상수는 무차원량이다. 허수 단위 [math(i)]를 포함한 사원수의 다른 허수 단위 [math(j)], [math(k)]도 무차원량이며 이를 확장한 체계의 다른 단위들 역시 무차원량이다.

3.2. 단위벡터

단위 벡터는 어떤 벡터의 단위를 포함한 벡터의 크기(물리량 값)로 원래 벡터의 성분을 나눈 것이기 때문에 단위도 없으며 따라서 무차원량이다.[2] 가령 속도 벡터 [math(\bf v)]를 [math({\bf v} = (v_x,\,v_y,\,v_z))]로 나타내면 각 성분 [math(v_i)]는 [math(\bf v)]와 똑같은 단위와 차원을 공유하는데 속도의 단위 벡터 [math({\bf\hat v})]는 [math({\bf\hat v} = \cfrac{\bf v}{\|{\bf v\|}} = \biggl(\cfrac{v_x}{\|{\bf v}\|},\,\cfrac{v_y}{\|{\bf v}\|},\,\cfrac{v_z}{\|{\bf v}\|}\biggr))]로 정의되며, 단위 벡터의 각 성분은 차원이 약분되어 [math(\sf1)]이 되므로 단위 벡터는 무차원량이다.

3.3. 지수함수 / 로가리듬

로가리듬은 지수의 역함수, 즉 지수함수의 지수에 해당하기 때문에 항상 무차원량이다. 따라서 이들 수식을 바탕으로한 단위 역시 모두 무차원량이다. 거꾸로 지수의 결과값 역시 무차원량이기 때문에 각 로가리듬의 정의역에는 무차원량이 대입돼야 한다.

좀 더 엄밀하게는 각 함수의 테일러 전개에 차원분석을 적용하면 된다. 먼저 [math(e^x)]는

[math(\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ &= \frac1{0!} + \frac x{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{aligned})]

로 전개되는데 전술한대로 [math(e)]는 수학 상수이므로 무차원량([math(\dim e = {\sf1})])이기에 [math(\dim(e^x) = {\sf1^x} = {\sf1})]로 [math(e^x)]는 무차원량이다. 차원 동차성(dimensional homogeneity)의 원리에 의해 우변의 무한급수 역시 무차원량이어야 하며, 물리량의 수식에서 덧셈/뺄셈은 차원이 같은 것끼리만 가능하므로 급수의 각 항은 무차원량이다. 일반항 [math(\cfrac{x^n}{n!})]이 무차원량이기 위한 필요충분조건은 [math(\dim x = {\sf1})]이므로 지수함수의 정의역은 무차원량이어야 함을 알 수 있다. 이때 [math(e^x = t)]라고 하면 [math(x = \ln t)]로 정의되는데 [math(\dim x = {\sf1})]이므로 차원 동차성의 원리에 의해 [math(\ln t)]는 무차원량이다.

밑이 다른 지수함수나 로그는 밑 변환 공식 [math(a^x = e^{x\ln a})], [math(\log_ax = \cfrac{\ln x}{\ln a})]에 차원분석을 적용하면 되는데 [math(\ln a)]가 수학 상수로서 무차원량이므로 [math(a^x)], [math(\log_ax)] 역시 무차원량이 되며 모든 지수함수와 로그함수는 무차원량이다.

네퍼 [math(\rm Np)] - 분율에 자연로그를 취한 것의 단위.
데시벨 [math(\rm dB)] - 분율에 상용로그를 취한 것의 단위. 벨([math(\rm B)])의 [math(1/10)].
[math(rm pH)] - 수소 이온의 활동도의 역수에 상용로그를 취한 것. 이 밖에도 [math(\rm pOH)], 산이온화상수 [math({\rm p}K_a)], 염기이온화상수 [math({\rm p}K_b)], 등전점 [math(\rm pI)] 등 로가리듬을 이용한 모든 물리량 포함.

3.4. 삼각함수 / 역삼각함수

삼각함수는 반지름이 [math(r)]인 원을 이용해서 정의할 수 있는데, 원은 차원과 단위가 같은 평면상에 존재하므로 그 원 위의 좌표 [math((x,\,y))]를 이용하여

[math(\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac xr \\ \sin\alpha &= \frac yr \\ \tan\alpha &= \frac yx\end{aligned})]

와 같이 비로 정의되는 삼각함수는 무차원량이다.

이때, [math(\alpha)]의 범위를 주욧값으로 제한하면 가령 [math(\alpha = \arcsin\cfrac yr)]로 나타낼 수 있는데 역삼각함수 역시 다음과 같이 테일러 급수로 전개할 수 있으며

[math(\begin{aligned} \arcsin\frac yr &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!{\cdot}(2n+1)}{\left(\frac yr\right)}^{2n+1} \\ &= \frac yr + \frac16{\left(\frac yr\right)}^3 + \frac3{40}{\left(\frac yr\right)}^5 + \frac5{112}{\left(\frac yr\right)}^7 + \cdots\end{aligned})]

일반항인 [math(\cfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!{\cdot}(2n+1)}\biggl(\cfrac yr\biggr)^{2n+1})]이 무차원량이므로 역삼각함수 역시[3] 무차원량이다. 그런데, 역삼각함수는 호도법으로 나타낸 각도의 수치로 수렴하므로 [math(\alpha)]는 [math(\rm rad)]이 없는 무차원량이며[4], 각도 물리량 [math(\theta)]로 나타내면 [math(\theta = \alpha{\rm\,rad})]이므로 [math(\alpha = \theta/{\rm rad})]이다. 아울러, 육십분법 각도를 [math(\theta_\degree)]로 나타내면 비례식으로부터 단위 환산식

[math(\theta_\degree : 360\degree = \theta : 2\pi{\rm\,rad} \Leftrightarrow \cfrac{\theta_\degree}{180\degree} = \cfrac\theta{\pi\rm\,rad})]

을 적용하여 [math(\sin\cfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree})]와 같이 나타내는 것이 정확한 표기임을 알 수 있다.[5]

따라서 삼각함수를 각도 물리량으로 나타낼 경우 [math(\sin(\theta/{\rm rad}))]와 같이 [math(\rm rad)]으로 나눈 각도로 나타내는 게 정확한 표기이다.

3.5. 일부 초월함수들

상기 네 함수가 차원분석상으로 무차원량이므로 이 함수들을 이용해서 정의되는 초월함수들 역시 무차원량이다.

지수함수 계열: 쌍곡선 함수, 정규분포 함수, 지수 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수 등
로그함수 계열: 폴리로그함수, 로그 적분 함수 등
삼각함수 계열: 싱크함수, 삼각 적분 함수, 프레넬 적분 함수, 바이어슈트라스 함수, 볼테라 함수 등

3.6. 계수량(counting quantity)

개수를 세는 데에 관련된 단위들은 모두 무차원량이다. 자세한 것은 셈 측도 참조.
분자생물학에서 핵산의 염기 개수를 나타내는 베이스([math(\rm b)]) 혹은 염기쌍의 개수를 나타내는 베이스페어([math(\rm bp)]).
양자역학에서의 축퇴(degeneracy).

3.7. 분율/배율

단위가 같은 두 물리량의 율이기 때문에 분율이나 배율에 속하는 모든 단위는 무차원량이다.

분율

% - 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율.
‰ - 전체를 [math(1\,000)]으로 놓았을 때의 비율.
‱ - 전체를 [math(10\,000)]으로 놓았을 때의 비율.
ppm, ppb, ppt - %, ‰을 확장한 개념으로 [math(\rm1\,ppm)]은 전체를 [math(10^6 = 100)]만으로 놓았을 때의 비율을 의미하며 [math(\rm ppb)], [math(\rm ppt)]는 국가에 따라 그 의미가 다르다. milliard, billiard가 포함된 소위 long scale 체계를 쓰는 나라[6]에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^{12})](1조분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{18})](100경분의 1)을 의미하지만 milliard, billiard가 없는 소위 short scale 체계를 쓰는 나라[7]에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^9)](10억분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{12})](1조분의 1)을 의미한다. 이 때문에 국제단위계에서는 [math(\bf ppb)], [math(\bf ppt)]의 사용을 허용하지 않는다.
단, 분야에 따라 [math(\rm ppm)]을 무차원이 아닌 밀도의 단위([math(\rm\textμg/mL = mg/L = g/m^3)] 등)로 사용하는 경우가 있다. 국제단위계의 정의에 의하면 둘은 혼용될 수 없지만, 묽은 수용액을 다루는 상황에서는 물의 밀도를 [math(\rm1\,g/mL)]로 근사할 수 있으므로 [math({\rm\textμg/mL}\approx{\rm\textμg/g} = 10^{-6} = {\rm ppm})], 즉 [math(\rm ppm)]과 [math(\rm\textμg/mL)]을 동일한 단위으로 쓰는 것이므로 데이터를 읽을 때 주의를 요한다.
할, 푼, 리 - 척관법 기반의 분율. 주로 야구에서 타율을 나타낼 때 쓰인다.

배율

배( 倍) - 몇 배 할때 쓰이는 그 배.
옥타브, 디케이드 - 각각 2배, 10배의 진동수를 나타내는 표현.

3.8. 각, 입체각

라디안([math(\rm rad)]) - 반지름에 대한 호의 길이의 비로 나타낸 평면각의 단위.
스테라디안([math(\rm sr)]) - 반지름 제곱에 대한 구 표면의 넓이 비로 나타낸 입체각의 단위.

사실 평면각은 '회전'(turn)을 단위로 하여 나타낼 수도 있는데 회전이 무차원의 단위이기 때문에 평면각 자체가 무차원량이다.[8] 라디안은 이를 수학적으로 더 엄밀하게 나타낸 표현에 불과하다. 입체각은 평면각의 제곱과 같으므로 입체각 역시 그 자체로 무차원량이며 이를 엄밀하게 정의한 것이 스테라디안이다.

3.9. 학문 분야에 따른 무차원량

자연 단위계에서 다루는 모든 물리량[9]

3.9.1. 경제학

대체탄력성 [math(\rho)]

3.9.2. 광학

굴절률 [math(n)]

3.9.3. 물리화학

이온화도 [math(\alpha)]
활동도 [math(a)]
활동도 계수 [math(\gamma)]
화학 반응의 모든 평형상수 [math(K)]

3.9.4. 생물학

베버의 법칙에서 베버 상수 [math(k)]

3.9.5. 소립자 물리학

미세 구조 상수 [math(\alpha)]

3.9.6. 약리학

반수치사량 [math({\rm LD}_{50})]
치료 지수 [math(\rm TI)]

3.9.7. 역학

반발계수 [math(e)] - 충돌 전후 상대속도의 비율.

3.9.8. 유체역학, 열 및 물질전달

무차원 수가 넘쳐난다. 자세한 내용은 전공서적을 참고 바란다.

레이놀즈 수 [math(\rm Re)] - 유체의 관성력과 점성력의 비율. 두 물리량의 단위는 [math(\rm Pa = kg/(m{\cdot}s^2))]이다.
레일리 수 [math({\rm Ra}_x)] - 확산에 의한 열 전달 속도와 대류에 의한 열 전달 속도의 비율.
마하 수 [math(\rm Ma)] - 음속에 대한 유체 흐름의 속도 비.
프루드 수 [math(\rm Fr)] - 중력/관성력
웨버 수 [math(\rm We)]
프란틀 수 [math(\rm Pr)] - 운동량 확산률과 열확산률의 비, 유체의 특성으로 유체의 종류와 유체의 온도에 의해 달라지며 대류열전달계수를 계산하는 데 사용된다.

3.9.9. 일반화학

원자량, 분자량 등 화학식량의 범주에 들어가는 것 모두.

3.9.10. 재료공학

푸아송 비 [math(\nu)]

3.9.11. 전자기학

비유전율 [math(\varepsilon_{\rm r})]
비투자율 [math(\mu_{\rm r})]
자화율 [math(\chi)]

4. 관련 문서

[1] 몰 제외. 몰은 셈 측도이지만 차원이 [math(\sf N)]이다. [2] 즉, 단위벡터는 크기가 1일뿐만 아니라 도량형학적으로도 차원이 [math(\sf1)]이며 그 단위는 [math(1)]이라고 볼 수 있다. [3] 다른 역삼각함수도 위와 같은 테일러 전개로 나타낼 수 있으며 순수한 수치의 합으로 이루어져있다. [4] 삼각함수를 호도법 각도로 나타낼 때 [math(\rm rad)]을 안 쓰는 이유가 바로 이것이다! [5] 이는 양 방정식(quantity equation)은 단위에 관계없이 방정식의 꼴이 일정하지만 물리량을 단위로 나눈 수치 방정식(numerical-value equation)은 단위 환산식이 방정식에 본격적으로 드러나기 때문에 무슨 단위를 쓰느냐에 따라 방정식의 꼴이 바뀐다는 일반적인 법칙이 여전히 성립한다는 것을 보여주는 부분이기도 하다. 즉 삼각함수 및 역삼각함수 자체가 수치 방정식이기 때문에 무슨 단위를 쓰느냐에 따라 식의 형태를 다르게 써야한다. [6] 유럽 등 [7] 미국 등 [8] 단, '회전량'이 정말 무차원량인지에 대해서는 학계에서도 이견이 있다. 국제단위계에서는 [math(\rm rad = 1)], [math(\rm sr = 1)]이라고 규정하는데 이는 [math(\rm sr = rad^2)]이라는 관계를 고려하면 수학적으로 둘은 필연적으로 같아질 수 밖에 없어 모순이 발생한다. 이 밖에도 물리학적으로는 분명 다른 물리량인 진동수와 각진동수가 같은 차원 [math(\sf T^{-1})]을 갖는다든지, 국제단위계의 지침과는 달리 실생활에선 휘도와 조도를 구분하기 위해 [math(\rm sr)]을 생략하지 않는 용법 등 이러한 문제점이 모두 각도와 관련된 물리량에서 나타난다. 자세한 것은 해당 문서의 항목 참고. [9] [math(E = m)]같은 괴악한 수식을 쓸 수 있는 것도 사실 에너지([math(E)])와 질량([math(m)])이 엄밀하게는 무차원량으로 규격화된(즉, 단위가 없는) [math(E_{\rm N})], [math(m_{\rm N})]이기 때문이다.(무엇으로 규격화됐는지는 사용하는 단위계에 따라 다르다. 자세한 것은 자연 단위계 참조) 그러나 자연 단위계를 쓰는 대부분의 학자들은 이 표기가 매우 번거롭기 때문에 규격화 표기를 생략한다.

무차원량

1. 개요

2. 특징

3. 예시

3.1. 수학 상수

3.2. 단위벡터

3.3. 지수함수 / 로가리듬

3.4. 삼각함수 / 역삼각함수

3.5. 일부 초월함수들

3.6. 계수량(counting quantity)

3.7. 분율/배율

3.8. 각, 입체각

3.9. 학문 분야에 따른 무차원량

3.9.1. 경제학

3.9.2. 광학

3.9.3. 물리화학

3.9.4. 생물학

3.9.5. 소립자 물리학

3.9.6. 약리학

3.9.7. 역학

3.9.8. 유체역학, 열 및 물질전달

3.9.9. 일반화학

3.9.10. 재료공학

3.9.11. 전자기학

4. 관련 문서

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