| 논리 연산 관련 틀 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. 개요2. 논리 연산의 종류
2.1. 부정 (NOT; ¬)2.2. 논리곱 (AND; ∧)2.3. 논리합 (OR; ∨)2.4. 부정 논리곱 (NAND; ⊼)2.5. 부정 논리합 (NOR; ⊽)2.6. 배타적 논리합 (XOR; ⊻)2.7. 동치 (EQV; ≡)
3. 성질4. 연산 법칙(law)4.1. 교환법칙(commutatitve)4.2. 결합법칙(associative)4.3. 분배법칙(distributive)4.4. 동일법칙(idempotent)4.5. 흡수법칙(absorption)4.6. 이중부정 법칙(involution)4.7.
드모르간 법칙(de Morgan's)4.8. 합의 법칙(consensus)4.9. 그 밖의 연산 법칙
5. 관련 문서1. 개요
論 理 演 算 / logical operation논리 연산(logical operation, logical connective)은 19세기 중반 영국의 수학자 조지 불(George Boole, 1815년 11월 2일 ~ 1864년 12월 8일)이 고안하고 형식화한 대수 체계를 의미한다. 고안자의 이름을 따 불 대수(Boolean algebra)라고도 한다.
수리논리학이나 컴퓨터과학에서는 두 개의 상태인 참(1, T, true)과 거짓(0, F, false)을 사용하는 연산을 불 연산(Boolean expression)이라 한다. 불 대수의 출현 이후로 논리학은 기호논리학의 성향이 강해지기 시작한다.
프로그래밍에서는 조건에 의한 분기나 반복을 만드는 데 이용되고, 디지털 논리 회로를 배울 때 유용하게 사용된다. 디지털 회로의 신호는 0과 1로만 구성되어 있기 때문이다. 전자계통에선 논리 연산을 하는 소자를 게이트(gate)라고 하며 트랜지스터 여러 개를 조합해서 만들 수 있다.
이산수학에서는 속(lattice) 중 complementary lattice이며 distributive lattice인 lattice를 불 속(Boolean lattice)이라 하며 이를 대수(algebra)식으로 나타낸 것을 불 대수(Boolean algebra)라고 한다. 불 속의 원소 개수는 해당 원자(atom) 개수 [math(n)]에 대해 [math(2^n)]개이다. 즉, 불 속의 원소 개수는 2의 제곱수대로 올라간다고 보면 된다.
불 대수는 집합으로 해석할 수 있다. [math(A)], [math(B)], [math(C)] 등 문자를 전체집합 [math(U=\{0, 1\})]의 공집합이 아닌 진부분집합으로 생각할 때, 논리합(or)은 합집합으로, 논리곱(and)는 교집합으로, 부정(not)은 여집합으로 생각할 수 있다.[1][2]
집합 기호는 고안자의 이름을 따서 [math(\mathbb B)]로 표현한다.[3] 아래의 연산과 함께 환을 이룬다.
상태값은 편의상 {0, 1} 을 사용하지만, 경우에 따라서는 {False, True} 또는 {F, T} 를 쓰기도 한다.
| 0 = False(F) |
| 1 = True(T) |
2. 논리 연산의 종류
시작하기 앞서, 처음 보는 연산의 경우 진리표(truth table)를 사용하면 비교적 단순한 연산의 결과는 직접 확인할 수 있다. 다만 변수의 개수가 늘어나면 확인해야 하는 값이 대폭 증가하기 때문에, 기초적인 이해를 돕는 이상의 활용은 어렵다. 아래의 진리표를 보자.아래는 [math(A \text{ and } B)]를 나타낸 것으로서, [math(A)]와 [math(B)] 값이 모두 참이면 1(true)을 출력하고 둘 중 하나의 값이라도 거짓이면 0(false)를 출력한다.
| [math(A)] | [math(B)] | [math(A\wedge B)] (AND) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
2.1. 부정 (NOT; ¬)
말 그대로 부정(否定)이다. 즉, 참과 거짓을 뒤집는다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 !를 부정 연산자로 사용하며, 그 외에 [math(\sim A)]도 많은 프로그래밍 언어에서 사용되고[4], 필기나 서적 등에서는 [math(A')] [5]또는 [math(A)] 위에 ㅡ를 그려넣은 [math(\bar{A} )] 기호가 주로 쓰인다. 불 보수(Boolean complement)로도 불린다. 이 연산을 하는 회로는 따로 보수기(inverter)라는 이름으로 불린다.| [math(A)] | [math(\neg \ A)] |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2.2. 논리곱 (AND; ∧)
두 명제가 모두 참이어야 참값을 돌려준다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 &를 논리곱 연산자로 사용하며, 불 대수에서는 AND는 곱셈과 동치이다. 불 곱(Boolean multiplication) 혹은 논리곱이라 부른다. 아래의 연산결과를 보면 왜 곱셈과 동치인지 쉽게 알 수 있을 것이다. [math(AB)] 또는 [math(A\cdot B)][6]로도 표시한다.| [math(A)] | [math(B)] | [math(A \wedge B)] |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
2.3. 논리합 (OR; ∨)
두 명제 중 어느 한 명제만 참이어도 참값을 돌려준다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 |를 논리합 연산자로 사용한다. 불 대수에서는 OR는 덧셈과 동치여서, 논리합(Boolean addition)으로 부른다. 아래에서 보듯 [math(\boldsymbol{1 + 1 = 1})] 임을 주의해야 한다. [math(A+B)][7]로도 표시한다.| [math(A)] | [math(B)] | [math(A \vee B)] |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
2.4. 부정 논리곱 (NAND; ⊼)
Not AND. 논리곱의 결과값을 부정한 것이다. 즉, 두 명제가 모두 참이면 거짓값을 돌려주고 그 외에는 참값을 돌려준다. 참고로 NAND만을 통해 다른 논리 연산식을 모조리 구현할 수 있기 때문에[8] 현재 사용되는 플래시 메모리들은 대부분이 NAND 회로로 구성되어 있다.| [math(A)] | [math(B)] | [math(A \barwedge B)] |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
2.5. 부정 논리합 (NOR; ⊽)
Not OR. 논리합의 결과값을 부정한 것이다. 즉, 두 명제가 모두 거짓이면 참값을 돌려주고 그 외에는 거짓값을 돌려준다. NAND와 마찬가지로 NOR만으로 다른 논리 연산식을 모조리 구현할수 있기에 초기 플래시 메모리들은 대부분이 NOR 회로로 구성하였다. 근데 NAND 회로가 값이 싸다보니 이쪽은 자연스럽게 도태되었다.| [math(A)] | [math(B)] | [math(A~\overline{\vee}~B)] |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
2.6. 배타적 논리합 (XOR; ⊻)
두 명제 중 정확히 하나만 참이어야, 혹은 두 명제의 참거짓 여부가 다를 때 참값을 돌려준다. [math(A'B+AB')][9]와 동치이다. 논리학에서는 기호 [math(\veebar)]를 사용하지만, 공학에서는 [math(\oplus)]를 사용한다.C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는
^를 배타적 논리합 기호로 사용한다. 다만 일반적인 경우에는 ^가 제곱으로 사용되기 때문에 처음 프로그래밍 언어를 배우는 사람들은 제곱을 하려고 ^ 기호를 사용했다가 낭패를 겪는 경우가 있다.(…)[10][11] 이 방식으로 특정 '키'를 이용해 암호화를 하면 그 '키'로 복호화가 가능해서, 암호화 기법으로도 널리 사용된다. 비교 대상의 비트가 0이든 1이든 상관 없이 같기만 하면 0을 돌려준다는 특성을 이용하여 어셈블리어 등의 언어에서 어떤 레지스터나 변수를 0으로 초기화할 때 사용되기도 한다.[12] 이런 특성때문에 XOR을 이용해 임시 변수 없이 변수를 스왑하는 기법[13]은 메모리 사용량에서야 좀 이득을 보겠지만 실제론 거의 사용되지 않는다. 스왑하는 값이 같은 주소를 참조한다면 엉망이 되기 때문.결합법칙이 성립하므로 n항연산으로 일반화 가능하다. 이 경우 n개의 입력 중 참의 개수가 홀수이면 출력이 참이 되는 연산으로 정의된다.
| [math(A)] | [math(B)] | [math(A\veebar B)] |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
2.7. 동치 (EQV; ≡)
두 명제가 다 참이거나 다 거짓이면, 즉 두 명제의 진리값이 같으면 참값을 돌려준다. 배타적 논리합(XOR)의 부정이라고 할 수 있으므로 배타적 부정 논리합(XNOR) 또는 배타적 논리곱(XAND)이라고도 한다. 논리학에서는 기호 [math(\equiv)]를 사용하나, [math(\underline{\wedge})] 혹은 [math(\overline\veebar)]를 사용하기도 하고, 공학에서는 [math(⊙)]를 쓰기도 한다.수학적으로는 크로네커 델타([math(\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; \text{if} \; \; \; i \neq j \\ 1 \; \; \; \text{if} \; \; \; i = j \end{matrix}\right.)])로 정의돼 있다. C언어 및 그 파생 언어에서 '
='는 대입(:=)을 의미하므로 동치 연산자를 '=='로 표기한다. [math((A\underline{\wedge}B)= AB+A'B')]와 동치이다.| [math(A)] | [math(B)] | [math(A\equiv B)] |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. 성질
공리(axiom)전제(postulation)라고도 부른다.3.1. 항등원(identity)
|
[math(A\cdot 1 = A = 1\cdot A)] [math(A+0 = A = 0+A)] |
3.2. 연산 우선 순위
NOT > AND > OR 이다.- 부정(NOT) 연산은 AND와 OR보다 연산 우선 순위가 높다.
- 대수학에서 곱셈 연산이 덧셈 연산보다 우선이듯이, 논리 연산에서도 논리곱(AND)이 논리합(OR) 보다 연산 순위가 높다.
분배법칙의 아래 두 식 중에 첫 번째 식의 우변에는 괄호가 없다. 이는 AND가 OR보다 연산 우선 순위가 높기 때문이다. 괄호가 생략된 것이라 보아도 되는데 [math(A\cdot B)]와 [math(A\cdot C)]에 대한 괄호의 존재 여부는 우변의 결과에 영향을 미치지 않는다.
|
[math(A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C)] [math(A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C))] |
| [math(A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)=A\cdot B+A\cdot C)] |
4. 연산 법칙(law)
혼동 방지를 위해, 다음 기호만을 사용하여 표기한다.| 연산 | 표기 |
| NOT | [math(')] |
| AND | [math(\cdot)] |
| OR | [math(+)] |
| XOR | [math(\oplus)] |
4.1. 교환법칙(commutatitve)
|
[math(A+B=B+A)] [math(A\cdot B=B\cdot A)] [math(A\oplus B = B\oplus A)] |
4.2. 결합법칙(associative)
|
[math((A+B)+C=A+(B+C))] [math((A\cdot B)C=A\cdot (B\cdot C))] [math((A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C))] |
NXOR을 포함하여 NAND, NOR 등 모든 부정 연산은 결합법칙이 성립하지 않는다.
4.3. 분배법칙(distributive)
|
[math(A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C)] [math(A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C))] [math(A\cdot (B\oplus C) = A\cdot B\oplus A\cdot C)] |
논리연산의 분배법칙 결과는 [math(A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C))]가 된다. 드모르간 법칙 하단의 설명을 보면 쉽게 이해할 수 있다.
4.4. 동일법칙(idempotent)[14]
|
[math(A\cdot A = A)] [math(A + A = A)] |
4.5. 흡수법칙(absorption)
|
[math(A+A\cdot B=A)] [math(A\cdot (A+B)=A)] |
두 흡수법칙 식의 증명은 아래와 같다. 증명의 3행에 흡수법칙의 위쪽 식이 등장한다.
|
[math(\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{clr} &A \cdot (A+B) &\\ =&A \cdot A + A \cdot B &\because 분배법칙\\ =&A + A\cdot B &\because 동일법칙\ A\cdot A = A\\ =&A\cdot 1 + A\cdot B &\because 항등원\ A\cdot 1 = A\\ =&A\cdot (1 + B) &\because 분배법칙\\ =&A\cdot 1 &\because B + 1 = 1\\ =&A &\because 항등원\ A\cdot 1 = A\\ \end{array})] |
4.6. 이중부정 법칙(involution)
| [math((A')' = A)] |
4.7. 드모르간 법칙(de Morgan's)
|
[math((A \cdot B)'=A'+B')] [math((A+B)'=A' \cdot B')] |
사실 머리를 좀 굴려보면 AND와 OR은 같은 구조의 함수지만(항등원끼리 연산하면 항등원, 나머지 경우는 항등원이 아닌 것) AND는 항등원이 1(=0')이고 OR은 항등원이 0(=1')일 뿐이라는 걸 알 수 있는데, 다시 말해 NOT은 ({0 || 1}, AND)에서 ({0, 1}, OR)로 가는 isomorphism이다. 이중 부정규칙을 이용하면 동시에 NOT은 ({0 || 1}, OR)에서 ({0, 1}, AND)로 가는 isomorphism이므로 결론적으로 NOT은 ({0 || 1}, AND, OR)에서 ({0, 1}, OR, AND)로 가는(연산이 서로 바뀌었다) isomorphism이다.
이걸 이용해 드모르간 법칙을 쉽게 증명할 수 있을 뿐만 아니라 성질 항목에 나와있는 한쌍의 공식이 서로를 유도할 수 있다는 걸 쉽게 보일 수 있다.
4.8. 합의 법칙(consensus)
|
[math(AB + {\color{red}BC} + CA' = AB + CA')] [math((A + B){\color{red}(B + C)}(C + A') = (A + B)(C + A'))] |
증명은 아래와 같다.
|
우선 [math(\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{clr} &BC&\\ =&1\cdot BC &\because 항등원\ A\cdot 1 = A\\ =&(A+A')\cdot BC &\because A+A' = 1\\ =&ABC+ A'BC &\because 분배법칙\\ =&ABC + CA'B &\because 교환법칙\end{array})] 임을 이용한다. [math(\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{clr} &AB + BC + CA'&\\ =&AB + ABC + CA'B + CA'&\\ =&(AB+AB\cdot C) + (CA'\cdot B + CA') &\because 결합법칙\\ =&(AB + AB\cdot C) + (CA' + CA'\cdot B) &\because 교환법칙\\ =&AB + CA' &\because 흡수법칙\ A+A\cdot B = A\end{array})] |
4.9. 그 밖의 연산 법칙
|
[math(A + A' = 1)] [math(A\cdot A' = 0)] |
|
[math(A+1=1)] [math(A\cdot 0 = 0)] |
|
[math((A\oplus B)' = A\oplus B' = A'\oplus B)] [math(A'\oplus B' = A\oplus B)] |
|
[math(A+A'\cdot B=A+B)] [math(A\cdot (A'+B)=A\cdot B)] |
마지막 두 식의 증명은 다음과 같다.
|
[math(\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{clr} &A+A'\cdot B\\ =&A\cdot(B+1) + A'\cdot B &\because B+1=1\\ =&A\cdot B + A + A'\cdot B = 0\\ =&A+B\cdot(A+A')=A+B &\because A+A'=1\end{array})] [math(\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{clr} &A\cdot (A'+B)&\\ =&A\cdot A' + A\cdot B &\because 분배법칙\\ =&0 + A\cdot B &\because A\cdot A' = 0\\ =&A\cdot B &\because 항등원\ 0 + A = A\end{array})] |
5. 관련 문서
- 마인크래프트/레드스톤: 본격 게임속 논리 연산 시뮬레이터, 누군가 아예 컴퓨터도 만들었다.
-
Oxygen Not Included/건조물/자동화: NOT, AND, OR은 기본, 용도에 따라 온갖 논리연산자를 이용해야 한다.
회로도 직접 연결해야 한다. 꼬이는 순간... - 러스트(게임)/전기장치
- 논리 회로(logic circuit)
- 논리학 관련 정보
[1]
단, 0을 원소로 가지는 집합끼리의 교집합은 공집합이므로, 교집합을 논리곱(and)이라고 하려면 공집합 또한 0으로 보아야 한다.
[2]
이 방법을 통해 드모르간 법칙이 불 대수에서 성립함을 직접적 증명 없이 이해할 수 있다.
[3]
원소가 두 개(binary)뿐인 집합이라는 의미도 함의하고 있다.
[4]
~는 C언어에서도 마찬가지로 부정으로 사용되긴 하나, 논리 연산이 아닌 비트 연산이다.
[5]
프라임이라 읽는다.
미분 기호로도 쓰인다.
[6]
주의하자면 곱셈이 절대로 아니다! [math(A \boldsymbol{\text{ and }} B)], [math(A)] 논리곱 [math(B)]. 이래도 헷갈린다(...)
[7]
[math(A \boldsymbol{\text{ or }} B)]
[8]
[math(p\uparrow p=\neg p, (p\uparrow q)\uparrow (p\uparrow q)=p\wedge q,(p\uparrow p)\uparrow (q\uparrow q)=p\vee q)]
[9]
((not A) and B) or (A and (not B))
[10]
C언어에서 제곱은
math.h라는
헤더 파일을 include(포함)하고(<math.h>), pow(밑, 지수) 함수를 사용하면 가능하다.
[11]
PHP 5.6 이상이나
Python 등의 언어에서는 또 **로 지수를 표현하는 것이 가능하다.
[12]
예를 들어, AX라는 레지스터를 0으로 초기화 할 땐 MOV AX,0을 써도 되지만 XOR AX,AX를 해도 된다는 의미이다. AX에 뭔 값이 들어있는지는 알 수 없지만, 같은 것끼지 연산시키면 무조건 0을 반환하는 XOR의 특성 상 해당 연산의 결과는 AX의 원래 값과는 상관 없이 항상 0이 된다.
[13]
[math(A=A\veebar B)]; [math(B=A\veebar B)]; [math(A=A\veebar B)]
[14]
멱등(冪等)법칙이라고도 한다.