타원 적분

특수함수 Special Functions
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1. 개요2. 분류

2.1. 르장드르 형태

2.1.1. 제1종 타원 적분2.1.2. 제2종 타원 적분

2.2. 야코비 형태

2.2.1. 제1종 타원 적분2.2.2. 제2종 타원 적분

2.3. 초기하함수를 통한 정의2.4. 그래프

2.4.1. 불완전 타원 적분2.4.2. 완전 타원 적분2.4.3. 완전 타원 적분의 극한값

2.5. 관련 공식

3. 야코비 타원 함수4. 기타 5. 관련 문서

1. 개요

타원 적분( 楕圓積分, elliptic integral)은 타원의 둘레를 구하는 과정에서 등장한 적분꼴 함수이며, 초등함수의 원시함수가 초등함수로 표현되지 않는 대표적인 경우이다.[1]

이 문서는 초등적인 방법으로 타원 적분을 다루고 있으므로 타원 적분에 대한 심층적인 내용 정보가 필요하면 이곳(영어)을 참고해볼 것을 권한다.

2. 분류

2.1. 르장드르 형태

2.1.1. 제1종 타원 적분

불완전 제1종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the first kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

[math(\displaystyle F(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 완전 제1종 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)이라 하며

[math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

로 정의된다.

2.1.2. 제2종 타원 적분

불완전 제2종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the second kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

[math(\displaystyle E(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 완전 제2종 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)이라 하며

[math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

로 정의된다.

2.2. 야코비 형태

야코비 형태의 유도는 위의 르장드르 형태에서 라이프니츠 표기법을 이용하여 변수를 치환하는 것부터 시작한다.

[math(\displaystyle t = \sin{\theta} )]

라 놓으면

[math(\displaystyle {\rm d}\theta=\frac{{\rm d}t}{\cos{\theta}}=\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^{2} }})]

가 되고, 적분 영역은

[math(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \phi \,\to\, 0 \leq t \leq x )]

로 바뀐다. 여기서 [math(x = \sin{\phi})]이다.

이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.

2.2.1. 제1종 타원 적분

야코비 형태의 불완전 제1종 타원 적분은 아래와 같다.

[math(\displaystyle F(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.

[math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}} }\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} K(k) &=\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\& =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n} \end{aligned})]

2.2.2. 제2종 타원 적분

야코비 형태의 불완전 제2종 타원 적분은 아래와 같다.

[math(\displaystyle E(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.

[math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]

완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

[math(\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] )]

2.3. 초기하함수를 통한 정의

완전 제1종⋅제2종 타원 적분은 다음과 같이 초기하함수를 사용해 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}
K(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr) \\
E(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( -\dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr)
\end{aligned} )]

[유도 과정]: -------
완전 제1종 타원 적분만 증명한다. 증명 과정에서 이항급수, 이항계수 및 하강 계승의 성질이 사용된다. 제2종도 비슷한 방법으로 유도할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
K(k) &= \int_0^{\pi/2} \frac1{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}} \,{\rm d}\theta \qquad (0\le k\le1) \\
&= \int_0^{\pi/2} (1-k^2 \sin^2 \theta)^{-1/2} \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \binom{-1/2}n (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1/2)^{\underline n}}{n!} (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (1/2)^{\overline n}}{n!} (-1)^n k^{2n} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \cdot \frac\pi2 \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} \\
&= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{n!} \frac{(k^2)^n}{n!} \\
&= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{1^{\overline n}} \frac{(k^2)^n}{n!} \\
&= \frac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \frac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr)
\end{aligned} )]

2.4. 그래프

2.4.1. 불완전 타원 적분

아래는 [math(k^{2}=0.9)]일 때, [math(F(\phi,\,k))]와 [math(E(\phi,\,k))]의 그래프를 [math([0,\,2\pi])] 영역에서 나타낸 것이다.

2.4.2. 완전 타원 적분

아래는 [math(\displaystyle K(k))]와 [math(\displaystyle E(k))]의 그래프를 [math(\displaystyle 0 \leq k \leq 1)]의 영역에서 나타낸 것이다.

이때, 다음이 성립한다.

2.4.3. 완전 타원 적분의 극한값

[math(\displaystyle \lim_{k \to 0} E(k)=\lim_{k \to 0} K(k) =\frac{\pi}{2})]
[math(\displaystyle \lim_{k \to 1} E(k)=1)]
[math(\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)= \infty)]
[math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} E(k) =\infty)]
[math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} K(k)=0)]

2.5. 관련 공식

[math(F(-\phi, k) = -F(\phi, k))]
[math(E(-\phi, k) = -E(\phi, k))]
이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 홀함수임을 얻는다.

[math(F(n\pi \pm \phi, k) = 2nK(k) \pm F(\phi, k))]
[math(E(n\pi \pm \phi, k) = 2nE(k) \pm E(\phi, k))]
(단, 여기서 [math(n\in\;)] [math(N)]이고, 복부호 동순이다.)

[math(\displaystyle \int_{\phi_1}^{\phi_2} \frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \,{\rm d}\theta = F(\phi_2, k) -F(\phi_1, k))]
[math(\displaystyle \int_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} \,{\rm d}\theta = E(\phi_2, k) -E(\phi_1, k))]

르장드르 항등식
[math(K(k)E(1-k^2) +K(1-k^2)E(k) -K(k)K(1-k^2) = \dfrac\pi2)]

[math(\displaystyle \int_0^1 K(k) \,{\rm d}k = 2G \approx 1.8319311884)]
[math(\displaystyle \int_0^1 E(k) \,{\rm d}k = G+\frac12 \approx 1.4159655942 \quad)] (단, [math(G)]는 카탈랑 상수)

각 타원 적분의 르장드르 형태를 대입한 후 [math(k\sin\theta = \sin\phi)]로 치환하면 된다. 이 경우 [math({\rm d}k = \dfrac{\cos\phi}{\sin\theta} \,{\rm d}\phi)]이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 K(k) \,{\rm d}k &= \int_0^1 \int_0^{\pi/2} \frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \,{\rm d}\theta \,{\rm d}k \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \,{\rm d}k \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_0^\theta \frac1{\cos\phi} \cdot \frac{\cos\phi}{\sin\theta} \,{\rm d}\phi \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac1{\sin\theta} \int_0^\theta {\rm d}\phi \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac\theta{\sin\theta} \,{\rm d}\theta \\
&= 2G \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]

[math(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac\theta{\sin\theta} \,{\rm d}\theta = 2G)]인 이유는 카탈랑 상수 문서의 항등식 문단에 증명되어 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 E(k) \,{\rm d}k &= \int_0^1 \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} \,{\rm d}\theta \,{\rm d}k \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} \,{\rm d}k \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_0^\theta \cos\phi \cdot \frac{\cos\phi}{\sin\theta} \,{\rm d}\phi \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \int_0^\theta \frac{1+\cos2\phi}{2\sin\theta} \,{\rm d}\phi \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac1{2\sin\theta} \biggl[ \phi +\frac12 \sin2\phi \biggr]_{\phi\to0}^{\phi\to\theta} \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac1{2\sin\theta} \biggl( \theta +\frac12 \sin2\theta \biggr) {\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \frac{\theta +\sin\theta \cos\theta}{2\sin\theta} \,{\rm d}\theta \\
&= \frac12 \int_0^{\pi/2} \frac\theta{\sin\theta} \,{\rm d}\theta +\frac12 \int_0^{\pi/2} \cos\theta \,{\rm d}\theta \\
&= \frac12 \cdot 2G +\frac12 \cdot 1 \\
&= G +\frac12 \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]

}}}||

[math(\operatorname{igd}(x) = F(x, 1) \qquad)] ([math(\operatorname{igd}(x))]는 구데르만 역함수)
증명은 구데르만 함수 문서의 항등식 문단 참고. 증명은 매우 쉽다. 그저 제1종 타원 적분의 르장드르 형태 [math(F(\phi,k))]에 [math(\phi=x)], [math(k=1)]를 대입한 후 피적분함수를 정리하면 끝이다.

3. 야코비 타원 함수

자세한 내용은 야코비 타원 함수 문서 참고하십시오.

4. 기타

타원 적분은 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다르다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기가 어떤지를 주의 깊게 살펴본 후 써야 한다.

수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 [math(k^{2} := m)]을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.

타원의 둘레를 구할 때 등장하며, 긴 반지름이 [math(r_{\text{max}})]이고 이심률이 [math(k)]인 타원의 둘레는 [math(4r_{\text{max}} E(k))]가 된다.

사인 곡선의 길이를 구할 때도 등장하게 되며, [math(1/4)]주기의 사인 곡선 [math(y(x)=a\sin{bx})]의 길이는
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math( \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 b^2 + 1}}{b} \, E \biggl( \sqrt{1 - \frac{1}{a^2 b^2 + 1}} \biggr) )] }}}

이다. 코사인 곡선 또한 사인 곡선의 평행 이동이므로 [math(1/4)]주기의 코사인 곡선의 길이 또한 같다.

단진자의 주기[2]를 구할 때도 타원 적분이 등장하게 된다. 자세한 내용은 단진자 문서를 참고할 것.

타원곡선은 원래는 타원 적분의 역함수로 고안된 것이지만, 지금은 아무래도 상관없다는 듯 다른 길을 가고 있다.

5. 관련 문서

[1] 다른 경우로는 지수 적분 함수, 로그 적분 함수, 삼각 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수, 프레넬 적분 함수, 오차함수 등이 있다. [2] 즉, 미소 진동이 아닌 일반적 진동 상황을 고려할 때.